2023-2024学年福建省厦门市高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年福建省厦门市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据复数的运算法则，化简得的，结合复数的概念，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得，可得故复数的虚部为.故选：B.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则此三角形中的最大角的大小为（）A． B． C．92° D．135°【正确答案】B【分析】根据三角形边的比设出三边，得到最大边，进而可得最大角，再根据余弦定理求最大角即可.【详解】，设，最大，即最大，，又，.故选：B.3．已知向量，若，则（

）A．(－2，－1) B．(2，1) C．(3，－1) D．(－3，1)【正确答案】A【分析】由，利用向量共线的坐标运算解得x，再利用向量和的坐标运算求.【详解】解析：因为，所以，解得x＝－4．所以.故选：A4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则此三角形的解的情况是（

）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定【正确答案】C【分析】根据正弦定理求解出的值，根据，解出角，可判断出选项.【详解】由正弦定理可得，，即，解得，由可知，无解.故选：C.5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据题设公式可判断A,B，由可得，两式联立可判断C,D.【详解】对于A，不一定等于0，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，因为，①所以，即，②联立①②可得，，故C正确，D错误，故选：C.6．在矩形中，，为上一点，.若则的值为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，设，由向量垂直的坐标表示求出，再由向量运算的坐标表示求解即可.【详解】以为坐标原点建立如图所示坐标系，由题意可得，设，所以，，因为，所以，解得，又因为，所以，即，解得，所以，故选：C7．在△ABC中，，，直线AM交BN于点Q，若，则λ=（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】、、三点与、、三点分别共线，根据平面向量共线定理，结合向量加减法，可找出与等式关系，即可求解出结果.【详解】设，，由平面向量基本定理可得，，，，，，，解得，，，，，故选：D.8．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（

）A． B． C．3 D．【正确答案】B【分析】根据已知条件可以判断是直角三角形，且随着的变化三条边的长度也会随着发生改变，因此先根据余弦定理和正弦定理确定与边的变化关系，再构造一个关于边的三角形，根据与边的关系在新构造的三角形中解出的表达式，找出最大值.【详解】由可知，是，的直角三角形，如图所示：设，，，则由余弦定理得，即由正弦定理得，所以.连接，在中，由余弦定理，得当时，的长度取得最大值，为故选:B思路点睛：可变动图形与某一变量的变化关系引出的求边求角类问题（以本题为例）：①确定变动图形的变化规律：如上题的变化是角度不变，边长可等比例变化②确定图形变化与某个变量的联系：变化发生变化整体变化③找到有直接联系的两个变量的数学关系，然后推广到整体变化上：此处最为困难，需要学生根据已知条件活用所学的数学知识.二、多选题9．已知复数满足，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．C．若，则 D．【正确答案】BD【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设则，不满足，也不满足，故选项AC错误；对于B，设在复平面内对应的向量分别为，且，由向量加法的几何意义知，故，故选项B正确；对于D，设，则，所以，，故选项D正确；故选：BD.10．若向量满足，则（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为【正确答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以，则，故A不正确；又，，所以，即与的夹角为，故B正确；又，所以，故C正确；又在上的投影向量为，故D不正确.故选：BC.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有（

）A． B．C． D．【正确答案】ACD【分析】利用平面向量数量积的定义，判断夹角的范围即可判断A选项；对于B选项，利用正弦定理进行边化角处理，化简可得到角的关系；对于C选项，利用正弦定理进行角花边处理，再利用余弦定理求得；对于D，利用角的正切值在的正负关系，直接得出结果.【详解】对于A选项：，则，故A选项正确；对于B选项：，由正弦定理可得，则，即，故，则，故B错误；对于C选项：由正弦定理可得，，即，解得，，故C正确；对于D选项：、、三个必有一个为负值又，，，故D正确.故选：ACD.12．中华人民共和国国旗上的五角星均为正五角星，正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，依次连接A，B，C，D，E形成的多边形为正五边形，且，则下列结论正确的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．【正确答案】BCD【分析】根据平面向量的线性运算，向量共线定理得推论，结合平面向量数量积的定义和平面几何知识综合判断.【详解】对于A选项，，又易知，又，，故A选项错误；对B选项，，又，，三点共线，，解得，故B选项正确；对于C选项，，又，，故C选项正确；对于D选项，设，，，，，，，，，，故D选项正确；故选：BCD.三、填空题13．在中，，，，则的面积为__________．【正确答案】【分析】根据平面向量的夹角公式可求得，从而可得到，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】依题意可得，解得，又，所以，所以的面积为．故．14．已知关于x的实系数方程的一个虚根为，则___________.【正确答案】1【分析】根据方程的根为，将根代入方程即可求解.【详解】因为关于x的实系数方程的一个虚根为，所以，即，也即，所以，解得，故答案为:1.15．在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为___________m.【正确答案】【分析】根据题意作出直观图，可知当取得最小值时，在处的仰角最大，利用余弦定理可构造方程求得的长，利用面积桥可求得.【详解】设塔高为，如下图所示，由题意知：，，，平面，，若在处的仰角最大，即最大，则取得最大值，，当取得最小值时，最大，设，则，，，解得：，，，，当时，最小，，即若在处的仰角最大，则点到塔底的距离为.故答案为.16．在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________.【正确答案】【分析】如图，取BC中点为M，做，将化为，后找到间关系，可得答案.【详解】如图，取BC中点为M，做，则，又，，则，得.注意到，则.又由图可得，则，当且仅当，且，即时取等号.故四、解答题17．已知z为虚数，若，且.(1)求z的实部的取值范围；(2)求的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用复数的概念以及除法运算求解；（2）利用复数的模的概念求解.【详解】（1）设,则，又，则，所以，因为，所以且，所以z的实部的取值范围是.（2）∵，又所以，所以，因此.18．设向量(1)求与垂直的单位向量；(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【正确答案】(1)或(2)【分析】(1)先设单位向量坐标，再应用与垂直求向量坐标即可；(2)因为向量与向量的夹角为钝角可得数量积小于0，列式计算可得取值范围.【详解】（1）由已知，设与垂直的单位向量为则，解得或即与垂直的单位向量为或（2）由已知所以，因为向量与向量的夹角为钝角，所以，解得，又因为向量不与向量反向共线，设，则从而或（舍去），所以解得19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（其中S为△ABC的面积）.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的数量积公式和三角形的面积公式求解；（2）利用正弦定理边化角将转化为三角函数，利用三角函数的性质求解.【详解】（1）因为，则，所以，又，则；（2）由△ABC为锐角三角形及，得且，所以，由正弦定理，得，因为，所以，即的取值范围是.20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)若，求△ABC的周长；(2)已知，且边BC上有一点D满足，求AD.【正确答案】(1)9；(2).【分析】（1）利用诱导公式，正弦定理边化角，结合二倍角正弦求出A，再利用余弦定理求解作答.（2）由余弦定理求出a，由面积关系可得，再利用余弦定理建立方程组求解作答.【详解】（1）由可得：，又，得，由正弦定理得，因为，即有，显然，又，有，于是，即，则，若，由余弦定理，得，解得，所以△ABC的周长为9.（2）设，则，由（1）知在△ABC中，由及余弦定理得：，即，由，知，在△ABD中，，即，在△ADC中，，即，联立解得，，所以.21．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.（1）将、用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？【正确答案】（1），；（2）当时，取最大值.【分析】（1）本题可通过正弦定理得出、；（2）本题首先可根据题意得出，然后通过余弦定理得出，通过转化得出，最后通过以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为，，，所以，，.（2）因为，，所以，在中，由余弦定理易知，即，因为，所以，，当，即时，取最大值，取最大值，此时，，故当时，取最大值.关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.22．锐角中，内角所对的边分别为，且，.(1)求证：；(2)将延长至，使得，记的内切圆与边相切于点，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)为定值【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理得到，结合的范围和可证得结论；（2）将进行角化边可整理得到的关系，根据向量线性运算可得到，根据向量数量积运算律可求得长，根据切线长相等的原理可推导得到结果.【详解】（1）由，得：，即，整理得：，由正弦定理得：，又，，，，又，，，.（2）由（1）得：，，又，整理可得：，，设内切圆圆心为，内切圆与边分别相切于点，则，，，，，，，又，.2023-2024学年福建省厦门市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标.【详解】因为，，则.故选：A.2．若复数，则的虚部为（

）A． B．1 C．-1 D．【正确答案】B【分析】根据复数除法化简复数，根据共轭复数概念求出虚部.【详解】，故，的虚部为1.故选：B3．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用余弦定理直接构造方程求解即可.【详解】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故选：D.4．下列说法中正确的是（

）A．直四棱柱是长方体B．圆柱的母线和它的轴可以不平行C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【正确答案】C【分析】根据相关立体几何图形的性质逐项判断即可.【详解】对于A：由直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，故A错误；对于B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；对于C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对于D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误.故选：C.5．若复数，则（

）A．-1 B． C． D．0【正确答案】A【分析】根据复数的运算法则即可求解.【详解】因为，所以，所以.故选：A.6．已知的顶点坐标分别为、、，则的面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，最后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】因为的顶点坐标分别为、、，则，，所以，，则为锐角，所以，，因此，.故选：B.7．在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（

）A．8 B．10 C．13 D．16【正确答案】D【分析】由题设且，进而可得，将目标式化为，结合基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立条件.【详解】由题意，如下示意图知：，且，又，所以，故且，故，仅当，即时等号成立.所以的最小值是16.故选：D8．在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据化简可得，代入，所以，再根据正弦定理化简可得，进而根据余弦定理可得.【详解】由题意，为的外心，为边上的中点，可得：，因为，可得：，又，所以有即，因为，所以，又因为，所以，由余弦定理：故选：C.二、多选题9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（

）A．的虚部为B．的模为C．的共轭复数为D．在复平面内对应的点位于第一象限【正确答案】BCD【分析】利用复数除法法则，计算得到，从而判断出虚部，求出模长及共轭复数，写出在复平面内对应的点的坐标，判断其所在象限.【详解】由，所以，所以的虚部为2，故A错误；，故正确；的共轭复数为，故正确；在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.故选：BCD.10．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（

）A．，，； B．，，；C．，，； D．，，.【正确答案】AD【分析】由正弦定理解三角形后可得结论.【详解】对于A，由正弦定理得：，，，即，，则三角形有唯一解，A正确；对于B，由正弦定理得：，，，即，或，则三角形有两解，B错误；对于C，由正弦定理得：，无解，C错误；对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.故选：AD11．已知中，其内角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题正确的有（

）A．若，则B．若，，则的外接圆半径为10C．若为锐角三角形，则D．若，，，则【正确答案】ACD【分析】利用正弦定理来判断AB，利用正弦函数的性质来判断C，利用三角形的面积公式来判断D.【详解】对于A：，，由正弦定理得，A正确；对于B：的外接圆半径为，B错误；对于C：若为锐角三角形，则，，，C正确；对于D：，D正确.故选：ACD.12．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（

）A．点，与向量共线的单位向量为B．非零向量和满足，则与的夹角为C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则D．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为【正确答案】BD【分析】对于A，根据共线向量及单位向量的概念运算即得；对于B，利用向量夹角公式结合条件即得；对于C，由题可得即可判断；对于D，根据投影向量的概念结合条件即得.【详解】对于A，因为，且，所以与向量共线的单位向量为，故错误；对于B，因为，所以，即，化简得，所以，即，又，所以，因为，所以，故正确；对于C，由，，向量与的夹角为锐角，则，所以且，故错误；对于D，因为，，所以在上的投影向量的坐标为，故正确.故选：BD.三、填空题13．已知向量，，若，则______.【正确答案】##【分析】利用向量平行的坐标运算列式计算即可.【详解】，，，，.故答案为.14．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边与平行于轴.已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为__________.【正确答案】【分析】作出原图形，根据原图形与直观面积之间的关系求解．【详解】根据题意得，原四边形为一个直角梯形，且，，，，则，所以，.故答案为.15．已知复数，，则的最大值为__________.【正确答案】【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值.【详解】因为复数，则，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故答案为.16．如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB（AB与底面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为60°和30°（其中B，E，D三点共线），该学习小组利用这些数据估算出AB约为60米，则CD的高h约为______米．

【正确答案】20【分析】分别在和中，求得AE，CE，然后在中，利用正弦定理求解.【详解】解：在中，，在中，，在中，由正弦定理得：，即，解得，故20四、解答题17．当实数m取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件：(1)与原点重合；(2)位于直线上；(3)位于第三象限.【正确答案】(1)(2)或(3)无解【分析】（1）根据实部和虚部均为零列方程组求解；（2）根据点在直线列方程求解；（3）根据实部和虚部均小于零列不等式组求解.【详解】（1）由已知得，解得，即时，复平面内表示复数的点与原点重合；（2）由已知得，解得或，即或时，复平面内表示复数的点位于直线上；（3）由已知得，解得无解，即不存在的值使复平面内表示复数的点位于第三象限.18．已知平面向量、，若，，.(1)求向量、的夹角；(2)若且，求.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）在等式两边平方，结合平面向量数量积的运算性质可求得向量、的夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解；（2）由已知可得，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得.【详解】（1）解：因为，则，所以，，又因为，因此，，即向量、的夹角为.（2）解：因为且，则，解得，因此.19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC的面积．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由整理得，，由，；（2），由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.20．如图，为了测量两山顶之间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一铅垂平面内.飞机从点到点路程为，途中在点观测到处的俯角分别为，在点观测到处的俯角分别为.(1)求之间的距离（用字母表示）；(2)若，求之间的距离.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用正弦