上海市徐汇区2023-2024学年高一上册期末数学学情检测模拟试题合集2套（含解析）

上海市徐汇区2023-2024学年高一上册期末数学学情检测模拟试题一、填空题1．已知，，则_______.【正确答案】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，因此，.故答案为.2．“且”的否定形式为________.【正确答案】或【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论.【详解】原命题的否定形式为：或，故或.3．若实数、、满足，，则与的大小关系是______.【正确答案】＞【分析】一般利用作差比较法解答.【详解】由题得，所以a＞b.故答案为＞本题主要考查作差法比较大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4．已知，则____.【正确答案】利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可求得的值.【详解】，，因此，.故答案为.5．函数的图象恒过定点________.【正确答案】【分析】根据过定点可得函数的图象必过定点.【详解】因为，，所以，当时，总有，∴必过点，故．6．已知，则的最小值是___________.【正确答案】2+22##22+2【分析】首先利用配凑法，将原式配成积为定值的形式，再结合基本不等式以及的范围，即可求解.【详解】由，知0则当且仅当时，即，等号成立.故7．若幂函数在上严格减，则________.【正确答案】【分析】根据幂函数得到，解方程再验证单调性得到答案.【详解】由是幂函数，则，解得或.当时，，函数在上严格增，不满足；当时，，函数在上严格减，满足；综上所述：故8．已知，则________.【正确答案】【分析】欲求的值，根据反函数的概念，只要求出使成立的x的值即可．【详解】令得：⇒，∴．故．9．关于的不等式的解集为_______.【正确答案】【分析】构造函数，根据其单调性解不等式即可.【详解】函数，单调递增，解之：故10．已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为_______.【正确答案】【分析】根据分段函数的单调性得到，解得答案.【详解】函数在上为严格减函数，则，解得.故11．设是定义在R上的奇函数，且当时，.若函数的值域为R，则实数的取值范围是__________.【正确答案】【分析】由于函数是R上的奇函数，所以要使函数的值域为R，只要当时，的函数能取到所有正数即可，从而可求出实数a的取值范围【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，，所以要使的值域为R，则当时，能取到所有正数即可,所以，解得，又因为是定义在R上的奇函数，所以在上可以取到所有的负实数，又,故函数的值域为R，所以实数a的取值范围是，故12．已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_______.【正确答案】【分析】由题意知，函数和函数在上单调性相同，由和单调性相反，可得在上恒成立，进而求出的取值范围．【详解】因为函数与的图象关于y轴对称，所以,因为为函数的“不动区间”，所以函数和函数在区间上的单调性相同,又因为和的单调性相反，所以在上恒成立，而在时，，所以在上恒成立，所以，故答案为.已知函数单调性求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．二、单选题13．已知实数，下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据指数函数的单调性、特殊值、差比较法确定正确答案.【详解】依题意，A选项，在上递增，所以，所以A选项正确.B选项，，满足，但，所以B选项错误.C选项，，其中，但的符号无法确定，所以C选项错误.D选项，，满足，但，所以D选项错误.故选：A14．下列函数中，值域为的函数是（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可.【详解】对于A，因为函数的定义域为，值域为，不是所以选项A不符合题意；对于B，因为函数的定义域为或所以值域为，不是，选项B不符合题意.对于C，因为函数的定义域为，则，所以则值域为，不是，所以选项C不符合题意；对于D，因为函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即函数值域为，所以选项D符合题意.故选：D15．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】在上单调递增，，所以的零点在区间.故选：B16．设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案.【详解】根据题意，设，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即时，，此时函数在上单调递减，在单调递增；当时，，此时函数在上单调递增，在单调递减；所以函数在上单调递减，若，即，又由，且，必有时，，解得：，所以不等式的解集为.故选.方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.三、解答题17．已知函数的定义域为，不等式的解集为.(1)求集合、；(2)已知全集，求.【正确答案】(1)或，(2)【分析】（1）根据函数的定义域的求法、不等式的解法求得.（2）根据补集和交集的知识求得.【详解】（1）由解得或，所以或，，所以.（2）由（1）得，所以.18．已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值.【正确答案】【分析】先求出二次函数的对称轴，再分，，和四种情况，进行分类讨论，根据最大值列出方程，求出实数的值.【详解】，对称轴为，开口向上，当时，在上单调递增，故当时，取得最大值，，解得：，满足，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，取得最大值，由，解得：，与矛盾，舍去；当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，取得最大值，由，解得：，与矛盾，舍去；当时，在上单调递减，故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去；综上.19．已知函数是定义在上的奇函数.(1)求实数的值；(2)求函数的值域.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)根据奇函数的定义即可求解；(2)结合（1）的结论和指数函数的值域即可求解.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得：，此时，故对于任意的，有，即函数是上的奇函数，所以实数的值为.（2）由（1）可知：，因为，所以，则，，所以，故函数的值域为.20．设，函数．(1)若，求函数在区间上的最大值；(2)若，写出函数的单调区间（不必证明）；(3)若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．【正确答案】(1)9(2)单调递增区间为和，单调递减区间为(3)【分析】（1）当时，，结合去绝对值求每段区间上的最值即可；（2）采用去绝对值解法，写出分段函数，画出函数大致图象，判断函数增减区间即可；（3），分析二次函数的对称轴与的大小关系，确定的单调性，画出函数图象，数形结合得出关于参数的不等式求解即可.【详解】（1）当，时，，当时，函数为增函数，；当时，函数为增函数，；所以函数在区间上的最大值为9.（2）当时，，当时，函数对称轴为，所以当时，单调递增；当时，函数对称轴为，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，综上所述，当和时，函数单调递增，当时，函数单调递减；（3）当时，函数的对称轴，所以函数在时单调递增，函数的对称轴，则在时，单调递增，在时，单调递减，函数图象如图所示:要使有三个不相等的实数根，即应介于如图所示两虚线范围之间，而，，即，化简得，即存在，使得上式成立.只需.令，设，则，由得，，故，所以，所以在为增函数，所以当时，，故，故21．如果存在非零常数，对函数定义域内的任意，都有成立，则称函数为“Z函数”.(1)判断和是否为“Z函数”，并说明理由；(2)证明：定义域为的严格单调函数一定是“Z函数”；(3)高斯函数是为“Z函数”，求正实数的最小值，并证明.（表示不超过的最大整数）【正确答案】(1)是“Z函数”；不是“Z函数”，理由见解析(2)证明见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据“Z函数”的定义得到恒成立，考虑和两种情况，得到结果；，不等式不恒成立，得到答案.（2）考虑函数为增函数和减函数两种情况，根据“Z函数”定义得到证明.（3）首先举反例排除的情况，再证明时，函数是“Z函数”，得到最小值.【详解】（1）假设是“Z函数”，则，即，即恒成立，当时，，，，故，当时，，，不恒成立，排除.综上所述：存在使恒成立，故是“Z函数”；假设是“Z函数”，则，即，即，即，不等式不恒成立，故不是“Z函数”，（2）若是单调增函数，当时，都有，故函数为“Z函数”；若是单调减函数，当时，都有，故函数为“Z函数”；综上所述：定义域为的严格单调函数一定是“Z函数”；（3）高斯函数为“Z函数”，则，当时，取，则，，不成立，故，现证明时成立：设，，则，，故，即恒成立，故函数是“Z函数”，即正实数的最小值为上海市徐汇区2023-2024学年高一上册期末数学学情检测模拟试题一、填空题1．若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是__________【正确答案】【分析】根据扇形面积公式求得正确答案.【详解】依题意，扇形的面积为.故2．已知一元二次方程的两个实根为，则____【正确答案】【分析】先利用韦达定理得到，再由代入即可求解.【详解】因为一元二次方程的两个实根为，所以.故故3．函数的定义域是__________.【正确答案】【分析】先利用对数式中真数为正得到，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解.【详解】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域是.故答案为.4．已知，则__________【正确答案】【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得的值，进而求得的值.【详解】因为，所以，所以，所以.故5．定义且，若，则______【正确答案】【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.【详解】根据集合且的定义可知，当时，可得，；所以故6．将函数的图象向左平移__________个单位可得到函数的图象.【正确答案】【分析】根据指数对数的运算知，即可求解.【详解】因为，所以将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象.故7．当，时，则的最小值是__________．【正确答案】【分析】由且，得出，用均值不等式即可得出答案．【详解】，且，而函数在上单调递增，，即，且，，，当且仅当，即，时，等号成立，故8．已知关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围___________.【正确答案】.【分析】由题知转化为函数与有个不同的交点，画出函数的图像即可求出的取值范围.【详解】方程有四个不相等的实数根，等价于函数与有个不同的交点.由函数的图像知：的取值范围为.故本题主要考查方程的根的问题，转化为函数的交点问题为解题的关键，属于中档题.9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角形，则________．【正确答案】1【分析】由狄利克雷函数分析得出的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．【详解】，或1，存在三个点、、，使得为等边三角形，不同时为0或1，不妨设，分析得的位置有两种情况，第一种情况：当为有理数时，即，如图，过点作，垂足为，得，，，可知，为无理数，为无理数，即，，与图形不一致，舍去；第二种情况：当为无理数时，即，如图，过点作，垂足为，得，，，可知，，，存在，使得，且为无理数，即，与图形一致，符合题意，此时，，故1．10．已知函数在是严格增函数，在上为严格减函数，若对任意，都有，则k的取值范围是_________【正确答案】【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出的最大值，对两边取自然对数，分离，利用不等式恒成立求解即可.【详解】因为在是严格增函数，在上为严格减函数，所以.由，可得，又时，由可得，即恒成立，所以，即.故二、单选题11．若为第三象限角，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C利用为第三象限角，求所在象限，再判断每个选项的正误.【详解】因为为第三象限角，所以，可得，所以是第第一，二象限角，所以，不确定，故选：C本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.12．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（

）A．在上是严格增函数 B．若，则C．若，则 D．函数的最小值为2【正确答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A；取值计算判断B，C；借助均值不等式求解判断D作答.【详解】任意，恒成立，且，假设，则有，显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，，取，有，则，于是得，，，，，对于A，函数，，，并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，A不正确；对于B，，则，B正确；对于C，，则，而，有，又，因此，C正确；对于D，，，则有，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D正确.故选：A关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.13．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒感染累计人数（的单位:天）的Logistic模型:其中为最大病毒感染数.当时，标志着该地区居民工作生活进入稳定窗口期.在某地区若以2022年12月15日为天，以Logistic模型为判断依据，以下表述符合预期的选项是（

）A．该地区预计2023年元旦期间进入稳定窗口期;B．该地区预计2023年1月底进入稳定窗口期;C．该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期;D．该地区预计2023年某时刻不起再有新冠病毒感染者.【正确答案】C【分析】根据条件列不等式，解指数型不等式即可.【详解】由题意知，，即：，所以，因为以2022年12月15日为天，所以天，即预计2023年2月18日后该地区进入稳定窗口期，即该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期.故选：C.14．已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（

）A．存在实数使得B．存在实数使得C．对任意实数D．对任意实数【正确答案】D【分析】设，考虑，，，，，几种情况，分别计算集合和，再对比选项得到答案..【详解】设，当，即时，设对应方程的两根为，，不妨取，当时，，，且；当时，，；当时，，，；当时，，；当时，，，，故；当时，函数无意义.对选项A：根据以上情况知不存在的情况，错误；对选项B：根据以上情况知不存在的情况，错误；对选项C：假设任意实数，，取，解得，则，对于，有，此时应满足，解得，易得不在此范围内，假设不成立，此时，错误；对选项D：根据以上情况知对任意实数，正确；故选：D关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能