梁的弯曲振动-振动力学课件

第二节

梁的弯曲振动一、动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动假设：梁各截面的中心惯性轴在同一平面内,外载荷作用在该平面内,梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形,在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响。伯努利－欧拉梁（Bernoulli-EulerBeam）外部力：

单位长度梁上分布的外力梁参数：单位长度梁的质量

截面对中性轴的惯性矩

弹性模量,梁横截面积微段受力分析

截面上的剪力和弯矩微段的惯性力微段所受的外力距原点

处的截面在t时刻的横向位移动力平衡关系由达朗贝尔原理得此方程需待定2个关于的积分常数。故必须列出4个边界条件，2个初始条件。4个关于的积分常数二、固有频率和模态函数自由振动方程（1）式的解为

（2）式因除少数特殊情形，一般无解析解对于等截面为常数，则设有本特征方程

4个本征值:通解为或式中由梁的边界条件导出系统的振动解由系统初始位移和速度确定。由边界条件确定。解出无穷个固有频率对应有模态函数由此构成第个主振动固定端条件（位移边界）

挠度和转角等于零简支端（铰支）（位移、力混界）挠度和弯矩等于零自由端（力边界）弯矩和剪力等于零常见的约束状况与边界条件例题1：求简支梁的固有频率和模态

，

解：

由于

解出

固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零模态函数令频率方程

例题2：求悬臂梁的固有频率和模态

，

解：模态函数固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零其中参数定义为频率方程可利用数值方法和图解法各阶固有频率为对应的各阶模态函数为铅垂梁的前三阶模态形状例题3

求图示结构梁的频率方程。图中弹性支承的刚度均为已知。

剪力平衡条件：弯矩平衡条件：解：一端固定，另一端有弹性支撑边界条件固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比固定端

令

弹簧支撑端解出频率方程：导出悬臂梁频率方程：例题4：

悬臂梁自由端附有质量求频率方程。

解：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡利用相同的方法，得频率方程：其中：为集中质量与梁质量之比为梁质量说明：以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上）若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响

铁木辛柯梁（Timoshenkobeam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低。三、模态函数的正交性变截面梁的自由振动方程：主振动：代入，得：设：有：（1）右端乘沿全梁长度积分，分部积分得注意到导出的边界项，在任意边界支承情况下均为零。在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零。例如：(2)式两边乘并沿梁长积分可得：同理，相减得：(1)式左端沿全梁长度积分：若等截面为常数，则表示不同固有频率的模态函数(主振型)关于刚度的正交性。若等截面为常数，为权函数，（刚度正交性）为权函数，

表示不同固有频率的模态函数(主振型)关于质量的正交性。四、主质量和主刚度第阶主质量第阶主刚度正则模态函数各项乘后沿全梁长积分，利用正交性和分部积分结果其中

五、模态叠加法得完全解耦方程梁的振动方程：第个正则坐标方程

第个正则坐标的广义力假定梁的初始条件为：代入：两式乘并沿梁长积分，由正交性条件可得：得到后，即可得到梁的响应第个正则坐标方程第个正则模态响应：

如果作用在梁上的载荷不是分布力、力矩，而是集中力和集中力矩.利用函数，可以表示为:有：例题1：

等截面简支粱受初始位移激励，求响应。其中解：

因此

为奇数为偶数响应：

可以看出，响应中第三阶谐波只有第一阶的1/243，更高阶谐波所占的成分就更少。这是由于初始位移接近于第一阶模态的缘故。例题2：汽车匀速过桥问题可简化为常集中力沿梁匀速移动如图，试求初始静止条件下梁的响应。解:

（前题已求出）

总响应：

求出

再按例题4方法求解。其中可令后梁自由振动，新的初始条件：

（3）当时产生第阶共振；（2）第一项车辆载荷激起的受迫振动响应，第二项为车重自由振动；（1）简支梁初始响应中点受常力P作用产生静变形，求：当P突然移出时梁的响应。例题3：解：由材力得初始条件:梁中点的静挠度.梁两端简支固有频率：振型函数：代入归一化条件：正则模态梁两端简支固有频率：振型函数：代入归一化条件：模态初始条件：模态初始条件：没有激振力，正则广义力为零正则广义力模态响应：例题4：简支梁中点受力矩作用，求：梁的稳态响应。解：由上例知：固有频率：振型函数：正则广义力：因此有：第个正则方程：例题5：悬臂梁自由端作用有正弦力