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第十三讲矩阵的秩一、矩阵的秩的定义二、矩阵的秩的求法三、矩阵的秩的性质矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征.在有些运算(比如初等变换)下，它是一个不变量.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1k阶子式：在矩阵A中，任取k行与k列，由这些行和列交点上个元素按原有顺序构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.一般地，矩阵的阶子式共有个.一、矩阵的秩的定义想一想:多少个？阶子式共有的矩阵kA2如:矩阵的秩：

设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D

且所有r

1阶子式(如果存在的话)全等于0

那么D称为矩阵A的最高阶非零子式

数r称为矩阵A的秩

记作R(A)

并规定零矩阵的秩等于0

3如：因为所以矩阵A的秩R(A)=2.)(

阶数不等于零的子式的最高中是的秩矩阵也就是说：AARAnm

×4（2）设n阶方阵A可逆，则R(A)=n.（1）设矩阵A为m×n矩阵,则秩R(A)≤m,R(A)≤n注：由矩阵秩的定义，可知51)行阶梯形矩阵其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即是非非零行的行数；阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，称为首非零元.行阶梯形矩阵:自上而下，每个非零行的首非零元前面的零的个数依次增加；零行在最下方.二、矩阵秩的求法1.先介绍两个概念：62)行最简形矩阵其特点是:是阶梯形矩阵；非零行的第一个非零元（首非零元）为１；首非零元所在的列的其它元素都为０．注意：

1)对于任何矩阵A，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．

2)行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.3)一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的(只用初等行变换).7方法一：寻找最高阶不为零的子式.此方法的依据是矩阵的秩为最高阶非零子式的阶数.例1求矩阵A和B的秩.解：先计算A的4个三阶子式r1-2(r2)=r32.矩阵秩的求法8这4个三阶子式全为零，再计算2阶子式所以R(A)=2.注意：行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数.在B中，显然所有的4阶子式全为零，又所以R(B)=3.9定理任意矩阵经初等变换后，其秩不变.

根据这一定理

为求矩阵的秩

只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩

方法二：用初等变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的行数就是矩阵的秩，依据定理

.求矩阵秩的方法二10例4解:作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：对A1112由阶梯形矩阵有三个非零行可知13从中找一个非零子式，运算量是很大的。阶梯形矩阵为的行则矩阵),,(421aaaB=记),,,,,(54321aaaaaA=

的一个最高阶非零子式下面求A14则这个子式便是的一个最高阶非零子式.这就减小了运算量.个的子式共有而,B415(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1

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