501定积分概念与性质

积分学不定积分定积分第五章定积分第五章目录上页下页返回结束一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质§5.1

定积分的概念及性质第五章目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积定积分的概念及性质目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得一、定积分问题举例解决步骤目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积一、定积分问题举例解决步骤目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质2.变速直线运动的路程

(1)分割:

T1

t0<t1<t2<

<tn

1<tn

T2,

Dti

ti

ti

1;(2)近似代替:

物体在时间段[ti

1,

ti]内所经过的路程近似为DSi

v(

i)Dti(

ti

1<

i<ti

);物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程近似为(3)求和:

(4)取极限:

记

max{Dt1,

Dt2,

,

Dtn},物体所经过的路程为

已知物体直线运动的速度v

v(t)是时间t的连续函数,

且v(t)

0,

计算物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程S.一、定积分问题举例解决步骤目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:

特殊乘积和式的极限一、定积分问题举例目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质定积分的定义在小区间[xi

1,

xi]上任取一点xi

(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

记Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;在区间[a,

b]内插入分点:设函数f(x)在区间[a,

b]上有界.

如果当

0时,

上述和式的极限存在,

且极限值与区间[a,

b]的分法和xi的取法无关,

则称此极限为函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分,

记为即二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质定积分各部分的名称

————积分符号,

f(x)———被积函数,

f(x)dx

——被积表达式,

x————积分变量,

a

————积分下限,

b

————积分上限,

[a,

b]———积分区间，

定积分的定义———积分和.

二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质定积分的定义说明：

定积分的值只与被积函数及积分区间有关,

而与积分变量的记法无关,

即二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质函数的可积性

如果函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分存在,

则称f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理1

如果函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理2

如果函数f(x)在区间[a,

b]上有界,

且只有有限个间断点,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定积分的定义二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质定积分的几何意义

当f(x)

0时,f(x)在[a,

b]上的定积分表示由曲线y

f(x)、直线x

a、x

b与x轴所围成的曲边梯形的面积.

当f(x)

0时,

f(x)在[a,

b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.

二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质利用定义计算定积分

解

把区间[0,1]分成n等份,分点为和小区间长度为

例1

二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质利用几何意义求定积分

解

函数y

1

x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.

因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,

其底边长及高均为1,

所以

例2

二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质三、定积分的性质两点规定性质1目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质三、定积分的性质性质1性质2性质3性质4目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质推论1

如果在区间[a

b]上f(x)

g(x)

则如果在区间[a

b]上f(x)

0

则性质5

三、定积分的性质

|f(x)|

f(x)

|f(x)|推论2

性质6

设M及m分别是函数f(x)在区间[a

b]上的最大值及最小值

则目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质三、定积分的性质

如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

则在积分区间[a

b]上至少存在一个点x

使下式成立

这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)

——积分中值公式

由介值定理,至少存在一点x

[a,b],使两端乘以b

a即得积分中值公式.目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质小结与作业１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限作业：3；7（2）；10（3）（4）目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及