2016年上海中环杯决赛四年级试题详解

第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛2016年3月5日930~110090分钟满分：100分A（本大题共8小题，每题68分）1题】计算：0.2631.91261969 。【分析与解】计算，提取公因数。0.2631.912619690.2631.963219690.2631.926319690.2633.86319690.23.8631969463196946374794637479463746317463846320162题】一个质数a比一个完全平方数b小10，则a的最小值为 （说明：完全平方数是指能表示为一个整数的平方的数，比如422，932，所以4、9都是完全平方数）【分析与解】数论，质数，完全平方数。a2，则b21012不是完全平方数；a是奇数，则ba10b为奇数的平方数；比10大的奇完全平方数从小到大依次为52257249、9281，……；25101535是合数，491039313是合数，811071是质数；a最小是71。33题】第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛如图，C、E、B三点共线，CBAB，AE//DC，AB8，CE5，则△AED的面积为 。C6EDA 8 B【分析与解】几何，等积变形。C C6 6E ED DA 8 B A 8 BAC；DC；；因为CBAB；SAECCEAB258220；SAED20。4题】三支蜡烛分别能燃烧3040、50分钟（但是不是同时点燃的。已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有10分钟，只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有20分钟。那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有 分钟。【分析与解】30400032025分钟。55题】第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛颜色，然后将其切割成12个111的小立方体。这12个小立方体中，有 个小立方体上既红色面又有蓝色面。【分析与解】H GFDFDCB故不妨设上、下、前染红色，左、右、后染蓝色；ABCDEFGHEFGHABCDABFEADHEBCGF、DCGH染蓝色；则红面与蓝面公共的棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面；即CD、GHAEBFADBCFGEH这8条棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面；注意到每个顶点的小正方体都被计算了2次，即多计算了1次；故有88856个小立方体上既有红色面又有蓝色面。6题】为k为自然数）的最大因数为 。【分析与解】数论，分解质因数，同余。将11!分解质因数：设112a3b5c7d11e；5221，221，a5218；11332，331，b314；11521，c2；，d1；11111，e1；故1128345271111；因为6k1既不是2的倍数又不是3的倍数；故所求的数既不含质因数2又不含质因数3；5271111的所有因数中，可以表示为6k1（k为自然数）的最大因数为几？”而52711115mod6；于是我们考虑571157113851mod6；故在11!的所有因数中，可以表示为6k1（k为自然数）的最大因数为385。PAGEPAGE7题】第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛在某次数学比赛中，一共有6道题目，每道题目的分值均为7分（最后每题的得分都是整数，最低为0分，最高为7分66道题目得分之和，从而评定名次高低。如果还相同，就算两人并列。在这次比赛中，一共有86262144位参赛者，这些参赛者中没有出现并列。排名为76117649的参赛者的得分为 分。【说明】⑴此题为错题。若两个人6道题每题得分完全相同；则66道题目得分的和也相同；则这两个人的排名相同，即这两个人并列。由题意，这86262144位参赛者中没有出现并列；则这86262144位参赛者每题得分均不完全相同。而每题的得分为0~7的整数，由乘法原理一共有86种得分情况；若甲第1~6题得分为0、0、0、0、0、0、1，乙第1~6题得分为0、0、0、0、0、1、0，甲、乙两人6道题目得分的乘积为06道题目得分的和为1；则甲、乙两人排名相同，即这两个人并列；故此题为错题。⑵若将原题中“这些参赛者中没有出现并列”改为“这些参赛者中，任意两人这6题的各题得分不完全相761749的参赛者的得分为1分。理由如下：若6题中，至少有一题得分为0，则6道题目得分的乘积为0；若6题中，没有一题得分为0，则6道题目得分的乘积不为0，这种情况下，每题的得分为1~7的整数，由乘法原理一共有76种得分情况；故排名为76117649的参赛者的得分为乘积最小的正整数；而第1~6题得分为1、1、1、1、1、1的参赛者，得分为1；故排名为76117649的参赛者的得分为1分。如图所示，两条直线与两个圆交于9个点。从这9个点中选出4个点，要求这4个点中的任意3个点既不在一条直线上，也不在一个圆圈上。不同的选法有 种。【分析与解】计数，乘法原理和加法原理。HHDEAO C GBF因为这4个点中的任意3个点不在一条直线上；所以这4个点都不是中心O点；故这个4个点均在这两个圆上；又因为这4个点中的任意3个点不在一个圆圈上；所以在这4个点中，有2个点在小圆上，另外2个点在大圆上。⑴如果小圆上的2个点在一条直线上，有2A、CBD；此时，每种情况下对应大圆上的2个点有1种可能；例如：当小圆上的2A、C时，大圆上的2BD。⑵如果小圆上的2个点不在一条直线上，有4ABB、C或CDDA；此时，每种情况下对应大圆上的2个点有224种可能；例如：当小圆上的2AB时，大圆上的2EFEH或GF或GH。综上所述，不同的选法有214418种。BB（本大题共4小题，每题8分，共2分）第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛9题】AB、CD四人参加一个会议，他们都获得一个相同的正整数，接下来每人对这个正整数进行描述。每人都说了三句话，其中至少有一句是真话，至少有一句是假话。他们说的话如下：A（1）这个数小于2；（A2）7不能整除这个数；（A3）5乘以这个数的结果小于70。B（1）2乘以这个数的结果大于100；（B2）10能整除这个数；（B3）这个数大于100。C（1）4能整除这个数；（C2）11乘以这个数的结果小于1000；（C3）9能整除这个数。D（1）这个数小于0；（D2）这个数是一个质数；（D3）7能整除这个数。这个数是 。【分析与解】我们把条件整理一下：A（1）n12（2）n（3）n70n14。B（B）12n00n31（B）10|n（B）n10。1 3 2 3C（C）4|n（C）1n100n010（C）9|n。1 2 11 3D（1）n0（2）n（3）7|n。⑴若（⑴若（3）（2）是假话；即7|n；第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛（A1）与（A3）中至少有一个是真话，但不可能为（1）（3）则（A3）n14；故（D1）是真话；故（D2）是假话；n14且7|nn7，而7（2）n是一个质数”是假话矛盾。⑵故若（3）（2）是真话；即n；（A1）与（A3）中至少有一个是假话，但不可能为（1）（3）则（A1）n≥12；再对（D1）进行讨论：🕔若（D1）是真话，即12≤n20；故（B1）与（B3）都是假话；则（B2）是真话；则10|n。但不存在既满足12n20，又满足10|nn。②故（D1）n20；则（D2）n是一个质数；则（C2）是真话，即20≤n≤90；故（B3）是假话；则（B1）是真话，即84n90；注意到，符合84n90nn89，即这个数是89。题】第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛如图，△ABC是一个等边三角形。在BC边上取点D、E，使得BC3DE。作等边△DEF，联结AF。作DG平行AF交边AB于点G，作EH平行AF交边AC于点H，作GIAF、HJAF。若△BDF的面积为45，△DEF的面积为30，则GIHJ 。AGGIJHFD E C【分析与解】几何，等积变形，燕尾模型。GIJGIJHFGIJHFB D KE C B

D E CAFBCKADAE。BDDES△BDFS△DEF453032；BC3DE；BDDEBC326；BDDECE321。因为ABCFDE60；AB；DKBKDFAB13；DKBD12；因为因为FEDACB60；第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛AC；EKCKEFAC13；EKCE12；BDDECE321；

313: : :122

6312。AGGIJHFB D KE CSADFSAEFDKEK31；SADFAFGI2SAEFAFHJ2；故GIHJSADFSAEF31；即GIHJ3。PAGEPAGE12题】第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛个。小正方形的边如果位于黑色部分，就称为黑边，反之就是白边。在55的方格内，相邻（有公共边）55方格的四条长边（b所示）上最少有 条黑边。图a 图b【分析与解】角上的小方格，每个有2条边在外面，故其中至少有1条是黑边；这样55方格的四条长边上，黑边不少于144条。每个小方格有35525个小方格一共有32575条黑边；而在55的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的；故内部的黑边的条数为偶数；则四条长边上的黑边的条数为奇数；所以55方格的四条长边上，黑边不少于5条。如图所示为55方格的四条长边上有5条黑边的例子。55方格的四条长边上最少有5条黑边。如图，在88的正方形网格中，A、B两点处各有一只臭虫（A点处的臭虫我们称其为a臭虫，B点处的为b走1若b臭虫走两格，a臭虫走三格，最后b臭虫与A点的距离小于等于a臭虫与A点距离的走法有 种。AB【分析与解】计数，乘法原理，加法原理，排列，组合。b臭虫走2格：→→，最后bA点3格；←←，最后bA点1格；5↑↑或↓↓，最后b臭虫距离A点 格（21长方形的对角线；55→↑或→↓以及其排列，最后bA点5→←以及其排列，最后bA点1格；

格（21长方形的对角线；←↑或←↓以及其排列，最后bA点1格；↑↓以及其排列，最后bA点1格；2最后bA点1格，有14P29种走法；25最后bA点5

格（21长方形的对角线，有22P26种走法；2最后bA点3格，有1种走法。2a臭虫走3格：aA点3格；aA点1格；→→↑或→→↓或←←↑或←←↓或↑↑→或↑↑←或↓↓→或↓↓←以及其排列，5最后a臭虫距离A点 格（21长方形的对角线；553 2 aA1格；aA点1格，有4C1C24P33653 2 aA点

格（21长方形的对角线，有8C1C224种走法；3 aA点3格，有43 第十六届“第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛⑶最后bAaA点距离:🕔当最后bA点1格，5aA点1格或5

格（21长方形的对角线）或3格，有936244964576种；5②当最后b臭虫距离A点 格（21长方形的对角线，55aA点5有6244168种；

格（21长方形的对角线）或3格，③当最后bA点3格，aA点3格，有144种；综上所述，最后bAaA点距离的走法有5761684748种。本大题共2小题，每题100题】A、BA0/50千米/A、B两地相距900BA地，速度变为50千米/时。当乙B40千米/AB地，速度恢复为/BA/A、B两40千米/时与50千米/2016次相遇时，甲车一共行驶了多少千米？【分析与解】行程问题，多次相遇。甲以40AB，再以50BA；乙以50BA，再以40AB；故甲、乙各走了一个来回用时相等。在甲、乙各走了一个来回的过程中，甲、乙相遇了2次。201621008，若甲、乙各走了1008个来回的过程中，甲、乙相遇了2016次。从第2016AB两地这个过程中，甲的速度为50千米/时，乙的速度为40千米/时；则甲、乙的速度比为504054；甲、乙的路程比也为54；其中甲行驶了900

5

500米。故当两车第2016次相遇时，甲车行驶的路程相当于1008个来回再去掉这500米，即为900100825001813900米。题】Dx、y（y≥x≥1xyAxyB。A、B（A、By≥x≥1：xy的值。xy的值了。xy的值。逻辑推理。Bxy的值”可得xy既不是1xy为合数。xy20Bxy的值”可得xy的乘积拆成两个和不大于20的正整数的乘积方法惟一确定；2137，22211，2555，26213，2739，33311，34217，3557，39313，44411，4977，50510，51317，52413，5469，55511，6379，65513，66611，75515，77711，80810，8199，88811，90910917139681299911，1001010。BxyAxy的值”可得在⑵所列的情况下，分别计算对应两个因数的和，这个和是惟一的。21372