逆矩阵的计算

★逆矩阵的概念★矩阵可逆的条件★逆矩阵的求法§3逆阵

下页矩阵之间没有定义除法，而数的运算有除法，本节相对于实数中的除法运算，引入逆矩阵的概念。2021/5/91则说方阵

A是可逆的，并把方阵

B称为

A的逆矩阵。逆阵的概念注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。

由定义即得：当B为A的逆矩阵时，A也是B

的逆矩阵。例如

因为AB=BA=E，所以B是A的逆矩阵，同样A也是B的逆矩阵。定义7

对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使AB=BA=E，上页下页返回2021/5/92B=A-1

。

如果方阵A是可逆的，则

A的逆阵一定是唯一的。这是因为：设B、C都是

A的逆矩阵，则有B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C，所以A的逆阵是唯一的。A的逆阵记作A-1。即若AB=BA=E，则例如因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即A-1

=B上页下页返回2021/5/93

定理1

若方阵

A可逆，则

A的行列式不等于

0。

证A可逆，即有A-1

，使

AA-1

=E，故|A||A-1

|=|E|=1，所以|A|≠0。矩阵可逆的条件例如易见AB=BA=E，即A可逆。此时|A|=1≠0。

定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这个结论反过来也成立。请看下面的定理2。上页下页返回2021/5/94

定理2

若A的行列式不等于0，则A可逆，且

证由例9知AA*=A*A=|A|E，上页下页返回2021/5/95

当|A|=0时，A称为奇异方阵，否则称为非奇异阵。B=EB=（A-1

A）B=A-1

（AB）=A-1

E=A-1

。

由定理1和定理2可得：矩阵A是可逆方阵的充分必要条件是|A|≠0。推论若AB=E（或BA=E），则B=A-1

。证因为|A||B|=|E|＝1，故|A|≠0，因而A-1存在，于是上页下页返回2021/5/96注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。例如故A可逆。

需要说明的是：通常利用伴随阵A*来计算A的逆矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可能很大。对于阶数高于3的矩阵，以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵。上页下页返回2021/5/97方阵的逆阵满足下述运算规律：证证上页下页返回2021/5/98其中

k为正整数。定义上页下页返回2021/5/99A11=2，A21=6，A31=－4，A12=－3，A22=－6，A32=5，A13=2，A23=2，A33=－2，例9解经计算可得：|A|=2≠0，知A可逆。求方阵上页下页返回2021/5/910求矩阵X使满足AXB=C。例10

设

若A-1

，B-1

存在，则由A-1左乘AXB=C，又用B-1右乘AXB=C，有A-1

AXBB-1

=A-1

CB-1

，即X=A-1

CB-1

。分析：上页下页返回2021/5/911解上页下页返回2021/5/912矩阵的运算小结一、已定义过的运算：★矩阵与矩阵的加、减法；★矩阵与数的乘积；★矩阵与矩阵的乘积；★方阵的行列式；★逆矩阵；★矩阵的转置。上页下页返回2021/5/913二、不允许出现的“运算”：★矩阵与数的加、减法；★矩阵与矩阵相除；★数除以矩阵。矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母”中。这与行列式是根本不同的。因为行列式是“数”，当这个数不等于零时，就可以出现在分母中，因此行列式可以出现在分母中。上页下页返回2021/5/914三、矩阵运算中要注意的地方★以下运算都只有方阵才有：

(1).逆矩阵；

(2).方幂；

(3).矩阵的行列式。★矩阵的乘法通常没有交换律、消去律。★两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。★用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列即当两个矩阵的乘积为零矩阵时，不能推出其中必有一个为零矩阵。式是不同的。上页下页返回2021/5/915解又Ex.4上页下页返回2021/5/916于是上页下页返回2021/5/917也可以直接按定义来验证这一结论。上页下页返回2021/5/918解Ex.5上页下页返回2021/5/919解Ex.6上页下页返回2021/5/920上页下页返回2021/5/921上页返回2021/5/922设给定一个线性变换：它的系数矩阵是一个n

阶方阵A，上页下页返回2021/5/923则线性变换(7)可记为Y=AX.(8)记上页下页返回2021/5/924按克拉默法则，若|A|≠0，则由（7）可解出即x1,x2,….,xn可用y1,y2,…,yn

线性表示为：上页下页返回2021/5/925

从(8)、(10)两式分析变换所对应的方阵A与逆变换所对应的方阵B之间的关系：将(10)代入(8)，可得线性变换(9)称为线性变换(7)式的逆变换。若把(9)的系数矩阵记为B，则(9)也可写成X=BY(10)Y=A(BY)=(AB)Y，可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB=E。Y=AX.(8)前面已得