《函数单调性复习》课件

函数单调性复习本课程将回顾函数的基础知识，并重点介绍函数单调性的相关概念和解题方法。帮助你更加深入理解函数单调性，提升数学应用能力。函数的单调性定义递增对于函数上的任意两点$x_1$和$x_2$，如果有$x_1递减对于函数上的任意两点$x_1$和$x_2$，如果有$x_1单调不降对于函数上的任意两点$x_1$和$x_2$，如果有$x_1单调不增对于函数上的任意两点$x_1$和$x_2$，如果有$x_1f(x_2)$或$f(x_1)\geqf(x_2)$。单调递增函数的判定方法导数若函数$f(x)$的导数$f'(x)$在其定义域上恒非负，则$f(x)$单调递增。斜率若函数$f(x)$在其定义域上单调递增，则其任意两点的斜率均为正数。股市股票市场中如果一只股票的价格单调递增，则该股票的上涨趋势得以肯定。越山行越山行时，走上升的路线会越来越高。单调递减函数的判定方法1导数若函数$f(x)$的导数$f'(x)$在其定义域上恒非正，则$f(x)$单调递减。2斜率若函数$f(x)$在其定义域上单调递减，则其任意两点的斜率均为负数。3蚂蚁爬山蚂蚁爬山时，走下降的路线会越来越低。函数单调性的图像表示1单调递增函数图像表现为从左到右逐渐上升。2单调递减函数图像表现为从左到右逐渐下降。3单调不增函数图像表现为从左到右逐渐水平或略微抬升。4单调不降函数图像表现为从左到右逐渐水平或略微下降。导数的符号与函数的单调性导数为正函数单调递增导数为零函数可能存在极值点导数为负函数单调递减一阶导数与二阶导数的符号变化一阶导数若$f'(x)$单调递增，则$f(x)$在$x$处斜率逐渐变大。二阶导数若$f''(x)>0$，则$f(x)$在$x$处为凸函数（图像下部为弧形）；若$f''(x)<0$，则$f(x)$在$x$处为凹函数（图像下部为凸形）。拐点若$f''(x)$在$x$处等于零，则该点可能为拐点，函数的单调性在该点发生改变。拐点与函数的单调性拐点为极小值点该点左侧是减小区间，右侧是增大区间。拐点为极大值点该点左侧是增大区间，右侧是减小区间。拐点为零点该点附近斜率由负变正，函数值由负变正，类似于无线电信号的波形。极值与函数的单调性极大值函数单调递减，右侧单调递增极小值函数单调递增，右侧单调递减函数单调性定理介绍一元函数单调性定理若函数$f(x)$在区间$I$上连续且一阶导数存在，则$f(x)$在$I$上单调递增的充要条件是：在$I$上$f'(x)\geq0$。二元函数单调性定理设函数$z=f(x,y)$在曲域$\Sigma$上各偏导数存在且连续，则：$\frac{\partialf}{\partialx}>0$且$\frac{\partialf}{\partialy}>0$时，$f(x,y)$在$\Sigma$上单调递增；$\frac{\partialf}{\partialx}<0$且$\frac{\partialf}{\partialy}<0$时，$f(x,y)$在$\Sigma$上单调递减。多元函数单调性定理多元函数单调性定理是一元函数单调性定理和二元函数单调性定理的自然推广。常见单调函数举例一次函数$f(x)=kx+b$，斜率$k>0$的时候单调递增，$k<0$的时候单调递减。二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，当$a>0$时，开口向上，单调递增；当$a<0$时，开口向下，单调递减。指数函数$f(x)=a^x$，当$a>1$时，单调递增；当$0递增函数与递减函数图像比较递增函数图像表现为阳刚、热烈的上升。递减函数图像表现为柔弱、冷静的下降。函数单调性练习题1例一若$f(x)=x^3-3x^2+4$，则$f(x)$在何处单调递增？2例二若$y=x^3-3x+1$，则找出$y$的单调区间。3例三设$f(x)$在$(-\infty,-1)$单调递增，在$(-1,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增，求证$y=f(x)$必有一个拐点。函数单调性解题技巧方法一通过求导数或导函数的符号变化快速判断函数的单调性。方法二将函数的解析式转化成图像，通过观察图像上的变化来判断函数的单调性。方法三将函数根据定义区间的不同，拆分成多段，对每段单独判定函数的单调性。与函数单调性相关的数学应用1高中数学理解掌握函数单调性，可以帮助学生更好地掌握一元二次函数、指数函数、对数函数等有关知识点。2数学建模函数单调性是许多数学模型中的重要实际意义。比如，确定某些物质的化学反应速率，可通过探究反应物摩尔浓度与反应速率的单调性关系得到。3最优化问题在许多实际问题中，函数单调性也发挥着重要的作用。比如，为使函数取得最大值或最小值，在一定的约束条件下，我们需要掌握单调性判定技巧，从而减少计算工作量。函数单调性与物理图像的关系电压当电压单调递增时，电流也单调递增，例如，充电宝充电电流与电压关系的单调性。加速运动加速度与速度的单调性是运动物理中的重要知识点，能够帮助理解物理现象的本质。流体静力学液体或气体静力学中，液体压强随深度的增加而增加，气体密度随高度的增加而减小。函数单调性的错解与注意事项1错解一单调递增一定是全部上升，单调递减一定是全部下降。2错解二函数图像单调递增，导数一定是正数；函数图像单调递减，导数一定是负数。3注意事项设计数据观察点时，应该尽量多选取一些端点，方便判断边界与曲线的关系，避免因观测点选择不合适而导致的错误判断。函数单调性的拓展及推广多元函数单调性的拓展在多元函数、多变量方程等领域，函数的单调性同样具有重要实际意义。函数单调性的推广除了在数学和物理等学科中，函数单调性的相关概念和方法在日常生活和职业发展中也有广泛应用