第六章 定积分习题(期末)

章定积分习题课

2021/5/911．定积分的定义：

定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限2．定积分的几何意义：用图表示:一、定积分的概念与性质曲边梯形的面积

2021/5/923．可积的充分条件①若在区间上连续，则在上可积.

②

若在区间上有界，且只有限个间断点，则在上可积.

4．定积分的性质①反号性：

②与积分变量无关性：

③线性性质：

④区间可加性:

2021/5/93⑤区间长：

⑥保号性：如果在区间上,，则⑦单调性：如果在区间上,则⑧估值定理：设和分别是函数在区间上的最大值和最小值，则2021/5/94⑩奇偶对称性：若在上连续，则

二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式

1．积分上限函数：是奇函数是偶函数0，设函数在区间上连续，则称⑨定积分中值定理：如果函数在闭区间

上连续,

则至少存在一点,使下式成立：

2021/5/95(1)

(2)

(3)

3．牛顿—莱布尼兹公式：若函数为连续函数在区间上的个原函数，则

2．积分上限函数的微分2021/5/96三、定积分的计算方法求定积分的总体原则：先求被积函数的原函数,然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算，即

1．换元积分法（1）凑微分法：

（2）变量置换法：函数满足条件：

2021/5/972．分部积分法：

四、反常积分1．无穷限的反常积分

2021/5/982．无界函数的反常积分设为的瑕点,则

设为的瑕点,则设为的瑕点，则有

2021/5/99五、典型例题解：由于在上连续,

且是在上的一个原函数，故

【例1】设在上有连续导数，且是在上的一个原函数,,求2021/5/910【例2】求定积分

解：

注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将其去掉，并且要特别注意被积函数的符号．2021/5/911【例3】设,求

解:2021/5/912【例4】设求

分析：利用变量代换将在上的定积分化为在

上的定积分再计算。

解:设,则2021/5/913【例5】设为连续函数，求

解:令,则,当时,

当时,则故2021/5/914【例7】求定积分解:设,则2021/5/915【例8】计算定积分解:令则当时,当时,

2021/5/916【例9】计算定积分

解:2021/5/917【例10】求定积分分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性．解:原式2021/5/918【例11】设求解：因为

所以2021/5/919【例17】求反常积分

解：2021/5/920【例18】求积分

分析：被积函数在积分区间上不是连续的，

牛顿—莱布尼兹公式失效．这是一个反常积分。

该积分的瑕点。

解：因为故该积分发散．2021/5/921注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时要特别注意。错误在于将反常积分误认为定积分。

在应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分时，必须注意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续．常见的错误做法：

2021/5/922定积分应用2021/5/923一、定积分应用的类型几何应用

平面图形的面积特殊立体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知立体的体积2021/5/924二、构造微元的基本思想及解题步骤1.构造微元的基本思想元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部

上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分．无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。2021/5/9252.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：

①选取适当的坐标系；②确定积分变量和变化范围；③在

上求出微元解析式（积分式）。④把所求的量表示成定积分

三、典型例题1.几何应用定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素。2021/5/926【例1】求由所围成图形的面积。

分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如果取为积分变量,则

设区间所对应的曲边梯形面积为则面积元素

就是在

上以“以直代曲”所形成的矩形面积。解：(1)确定积分变量和积分区间：的交点为和,取为积分变量,则由于曲线

和2021/5/927（2）求微元：任取

如果将图形上方直线的纵坐标记为,将图形下方抛物线的纵坐标记为,那么，就是区间所对应的矩形的面积。因此（3）求定积分：所求的几何图形的面积表示为计算上面的积分得：

2021/5/928【例5】设由曲线，及围成平面图形

绕轴,轴旋转而成的旋转体的体积。分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕

轴旋转时，取为积分变量;绕轴旋转时,取为积分变量。设区间对

或对或所对应的曲边梯形为

是以直代曲所形成的矩形为则绕

轴、轴旋转而成的旋

转体的体积微元就是矩形分别绕

轴、轴旋转而成的体积.2021/5/929解:(一)求绕轴旋转而成的旋转体的体积

（1）确定积分变量和积分区间：绕

轴旋转如图,旋转体体积元素是对应的矩形绕轴所得的旋转体的体积，即

（2）求微元：对取为积分变量,则2021/5/930（3）求定积分：绕轴旋转而成的旋转体的体积表示为计算积分得：（1）确定积分变量和积分区间：绕轴旋转如图,

取为积分变量,则(二)求绕

轴旋转而成的旋转体的体积2021/5/931（2）求微元：对旋转体的体积元素

是对应的矩形绕

轴所得的旋转体体积,即（3）求定积分：绕轴所得的旋转体的体积表示为

2021/5/932计算积分得:2021/5/933

【例7】计算底面是半径为2的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择积分变量为

,如果能求出平面

所截立体的截面面积那么，

所对应的体积元素为.

建立如图所示的坐标系，解:(1)确定积分变量和积分区间：则底圆方程为