基于复势理论的圆形隧道弹塑性分析

基于复势理论的圆形隧道弹塑性分析

1基于岩土体的巷道围岩应力隧道开挖后，该层首次释放应力，应力重新分布，形成二次应力场，导致隧道变形。为了确保隧洞开挖后的稳定性,工程中常采用衬砌材料进行支护。但是,无论是Fenner公式、Kastner公式,还是Caquot公式,都未考虑衬砌本身对于围岩的制约作用。实际上围岩压力是通过衬砌和围岩的共同作用来承担的。关于衬砌和围岩的干涉作用,国内外有大量的研究[1~9]。任青文等针对上述经典解答在屈服准则主应力选取方面的缺陷进行了修正,且考虑了衬砌和围岩的协调作用;范文等[12~15]则利用双剪强度理论,得到了考虑中间主应力效应下的若干解答;陈卫忠等针对裂隙岩体中渗流对围岩的应力场有较大的影响问题,采用等效介质模型,提出合理的力学模型,数值分析了岔管衬砌和围岩内的渗透压力的分布规律及岔管围岩的位移场变化规律;刘保国和杜学东将释放荷载看作时间的函数,用解析方法分析推演了圆形隧洞围岩与支护结构之间相互作用的时效规律。可以看出,上述研究学者分别从数值、试验和理论分析的角度来研究隧道问题,然而,大多数力学模型可以退化为这样的情形:隧洞开挖,衬砌安装完,而后结构再受到地应力的影响。而事实上,岩(土)体是赋存了一定的初始应力,开挖导致隧洞发生部分变形,而后再安装衬砌。因而,必须提出一种合理的力学模型。本文考虑地应力的释放和衬砌安装的时序,提出了一种合理的力学模型,运用复势理论的级数展开技术,得到了全场应力解答,已有解答可以作为其特殊情况退化得到。2基于弹性变形条件的岩体衬砌刚度对于图1所示深埋圆形压力隧洞,岩体所占区域用1来表示,衬砌所占区域用2来表示,在其上建立坐标系oxy。其中,隧洞内、外径分别为a和t,受到的均匀内压为p,主地应力为σx∞和σy∞,σx∞和x轴所成角度为α。另外,还设σx∞=σy∞=-σ0。假若开挖洞室的原始尺寸为t′′,弹性变形完全结束后的尺寸为t′,发生部分变形后的尺寸为t′(见图2),定义衬砌和岩体的相对半径失配为式(1)中,ε=0对应于弹性变形完全结束后安装衬砌;ε=εmax对应于没有发生弹性变形即安装衬砌。根据Kirsch解答有则将式(3)代入式(2),得其次,定义下式为弹性变形率:将式(4)代入式(5)得将式(3),(4)和(6)代入式(1)有另外,定义量纲一的衬砌刚度为根据平面弹性理论,应力和位移可以用两个复应力函数ϕ(z),ψ(z)表示如下:式中:σr,σθ,τrθ均为极坐标下的应力分量;ur,uθ均为极坐标下的位移分量;Re(⋅)表示取实部;“′”表示对z求导数。此外,对于平面应变问题,κ=3-4γ;对于平面应力问题,κ=(3-γ)/(1+γ),γ为泊松比,G为剪切模量。沿任一曲线AB上的面力主矢表示为式中:Fx,Fy分别为曲线AB上x,y方向的面力分量。设围岩和衬砌内的应力复势有如下形式:其中,衬砌内的应力是由于弹性失配和内压造成的,根据力和位移边界条件:同时,考虑无穷远的边界条件,得到衬砌内的复势为其中,将式(17)代入到式(9)~(11),得到衬砌内的应力为类似地,围岩内的复势为其中,将式(21)代入到式(9)和(10),得到围岩内的应力为3屈服半径考虑弹塑性区交界面位于衬砌内时的情形,如图3所示,其中,rp为屈服半径。由于σx∞=σy∞,因而可以看作是一个轴对称问题,静力平衡方程为屈服区内的应力还应满足屈服条件,采用Mohr-Coulomb准则:其中,式中:c,ϕ为材料的抗剪强度参数。3.1弹性区应力的确定为了区分弹塑性区,用下标“p”和“e”来分别表示塑性区和弹性区的量。此时,Mohr-Coulomb准则改写成将其代入到式(25),并考虑到边界条件:可得式(29)即为屈服区的应力。对于弹性区的应力,利用式(20)和(24),注意要将p换为qrp,a换为rp,可得式中:qrp为弹塑性交界面上的法向接触压力;K0,W0,R0,H0可分别表示为在弹塑区交界面上,应满足如下的弹、塑性条件:根据将其代入到式(36),得另外,注意到将式(29)的第2式和式(38)代入到式(39),得这是一个超越方程,可以采用迭代法求解rp,代入式(38)就可以确定qrp,再代入到式(30)和(31)即可确定弹性区的应力。若令r=t,将得到围岩压力pi:在式(38)中,若令r=rp,则qrp=p,此值就是地应力卸荷引起的、使衬砌开始屈服的弹性极限压力pcr1。3.2弹塑区交界面的弹性分析此时,Mohr-Coulomb准则改写成将其代入式(25),并考虑到如下边界条件:则有式(44)即为屈服区的应力。对于弹性区的应力,在形式上和式(30)和(31)相同,略去。在弹塑区交界面上,应满足如下的弹性条件和塑性条件:根据将其代入到式(45),得另外,注意到将式(44)的第2式和式(47)代入到式(48),得这是一个超越方程,利用迭代法求解得rp。代入式(47)就可以确定qrp,类似地可以确定弹性区的应力和围岩压力。在式(47)中,若是令r=rp,则qrp=p,此值就是由于内压太大、使衬砌开始屈服的弹性极限压力pcr2。4应用4.1菲尼克斯公式在节3.1中,若令ε=εmax,Γ=1,且将其中的内压p视为支护压力,则解答将退化为经典的Fenner公式。4.2savi回答在节2中,若令ε=εmax,则相应的解答和已有的结果相一致。4.3第一临界压力在节3.1中,若令式(38)中的ε=εmax,即得到任青文和邱颖所谓的第一临界压力的解答;类似地,在节3.2中,若令式(47)中的ε=εmax,又可得到任青文和邱颖所谓的第二临界压力的解答。4.4压力洞穴的弹性响应在节2中,若令ε=0,即得到徐芝纶关于压力隧洞的解答。4.5kirch回答在节2中,若令ε=εmax,Γ=1,即得到静水压力状态下的Kirsch解答。5力学模型分析(1)本文运用Muskhelishvili的复势理论,建立合理模拟隧