辽宁省重点六校协作体2024届高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

辽宁省重点六校协作体2024届高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线与椭圆相交于A、B两点.若，点P到直线l的距离不小于，则椭圆C离心率的取值范围为（）A. B.C. D.2．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.3．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A B.C. D.4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为人，那么高三被抽取的人数为（）A. B.C. D.5．如图，在直三棱柱中，且，点E为中点．若平面过点E，且平面与直线AB所成角和平面与平面所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是（）A.128 B.64C.16 D.327．已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（）A.8 B.10C. D.128．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）A. B.C. D.9．直线的倾斜角的大小为A. B.C. D.10．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（）A. B.C. D.11．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（）A. B.C. D.12．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆，若圆的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是______.14．二进制数转化成十进制数为______.15．已知正数满足，则的最小值是__________.16．经过、两点的直线斜率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且离心率为.（1）椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积.18．（12分）如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且.（1）求动点的轨迹；（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.19．（12分）设椭圆过，两点，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由20．（12分）设等差数列的前n项和为，已知（1）求数列通项公式；（2）设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值21．（12分）已知圆C经过点，，且它的圆心C在直线上.（1）求圆C的方程；（2）过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求三角形PMN的面积.22．（10分）在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并说明理由；（2）若，求证：平面平面；（3）若是线段的中点，求证：直线平面；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设椭圆的左焦点为，由题可得，由点P到直线l的距离不小于可得，进而可求的范围，即可得出离心率范围.【详解】设椭圆的左焦点为，P为短轴的上端点，连接，如图所示：由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则，又，∴四边形为平行四边形，∴，又，解得：，点P到直线l距离：，解得：，即，∴，∴.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是由椭圆定义得出，再根据已知条件得出.2、C【解析】利用函数的奇偶性求出，求出函数的导数，根据导数的几何意义，利用点斜式即可求出结果【详解】函数的定义域为，若为奇函数，则则，即，所以，所以函数，可得；所以曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即故选：C3、A【解析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围.【详解】因为圆心到直线的距离，故要满足题意，只需，解得.故选：A.4、C【解析】利用分层抽样求出的值，进而可求得高三被抽取的人数.【详解】由分层抽样可得，可得，设高三所抽取的人数为，则，解得.故选：C.5、B【解析】构造出长方体，取中点连接然后利用临界位置分情况讨论即可.【详解】如图，构造出长方体，取中点，连接则所有过点与成角的平面，均与以为轴的圆锥相切，过点绕且与成角，当与水平面垂直且在面的左侧（在长方体的外面）时，与面所成角为75°（与面成45°，与成30°），过点绕旋转，转一周，90°显然最大，到了另一个边界（在面与之间）为15度，即与面所成角从75°→90°→15°→90°→75°变化，此过程中，有两次角为30

，综上，这样的平面α有2个，故选：B.6、C【解析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果.【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下：1、成立，则；2、成立，则；3、成立，则；4、成立，则；5、不成立，输出；故选：C7、B【解析】根据椭圆的定义可得：，所以的周长等于【详解】因为，，所以，故的周长为故选：B8、B【解析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解.【详解】，，，令，解得：，而，故函数关于点对称，，，故选：B.9、A【解析】考点：直线的倾斜角专题：计算题分析：因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以欲求直线的倾斜角，只需求出直线的斜率即可，把直线化为斜截式，可得斜率，问题得解解答：解：∵x-y+1=0可化为y=x+，∴斜率k=设倾斜角为θ，则tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故选A点评：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于直线方程的基础题型，需要学生对基础知识熟练掌握10、B【解析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF，BK，然后求解三角形的面积即可【详解】如图，设拋物线的准线为，过作于，过作于，过作于，设，则根据抛物线的定义可得，，，的面积为，故选：.11、B【解析】利用条件概率公式进行求解.【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，故选：B12、A【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，得，所以，点，易知点、，，，因为，则，得，可得，则，点到右准线的距离为为，则，，因此，椭圆的方程为.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】根据题意，求得过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.【详解】圆的圆心，半径，设点为点，因为，故点在圆内，当直线过点，且经过圆心时，该直线截圆所得弦长取得最大值；当直线过点，且与直线垂直时，该直线截圆所得弦长取得最小值，此时，则满足题意的直线为，即，又，则该直线截圆所得弦长为；根据题意，要使得数列的公差最大，则，故最大公差.故答案为：.14、13【解析】根据二进制数和十进制数之间的转换方法即可求解.【详解】.故答案为：13.15、8【解析】利用“1”代换，结合基本不等式求解.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最小值8.故答案为：8.16、【解析】利用斜率公式可求得结果.【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意求出即可求解；（2）由椭圆的定义和三角形面积公式求解即可【小问1详解】因为椭圆C与椭圆有相同的焦点，所以椭圆C的焦点，，，又，所以，，所以椭圆C的标准方程为.【小问2详解】由，，得，，而，所以，所以18、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）设点M,P,Q的坐标,将向量进行坐标化，整理即可得轨迹方程；（2）设点，，直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，用斜率公式计算得到，即可计算kAB；（3）若，由两直线斜率积为-1，可得到关于与的等量关系，写出直线AB的方程，将等量关系代入直线方程整理可得直线AB经过的定点【详解】（1）设，，.由，得，即.因为，所以，所以.所以动点的轨迹为抛物线，其方程为.（2）证明：设点，，若直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，又，，所以，，整理得，所以.（3）因为，所以，即，①直线的方程为：，整理得：，②将①代入②得，即，当时，即直线经过定点.【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，考查直线斜率为定值的求法和直线恒过定点问题.19、（1）（2）存在，，【解析】（1）根据椭圆E：（）过，两点，直接代入方程解方程组，解方程组即可.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到，结合题意求解即可，当切线斜率不存在时，验证即可.【小问1详解】将，的坐标代入椭圆的方程得，解得，所以椭圆的方程为【小问2详解】假设满足题意的圆存在，其方程为，其中，设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点，当直线的斜率存在时，令直线的方程为，①将其代入椭圆的方程并整理得，由韦达定理得，，②因为，所以，③将①代入③并整理得，联立②得，④因为直线和圆相切，因此，由④得，所以存在圆满足题意当切线的斜率不存在时，易得，由椭圆方程得，显然，综上所述，存在圆满足题意当切线的斜率存在时，由①②④得，由，得，即当切线的斜率不存在时，易得，所以综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且20、（1）（2）10【解析】（1）由等差数列的前项和公式求得公差，可得通项公式；（2）用裂项相消法求和求得，根据新定义求得，然后分组，结合等差数列的前项和公式计算后解方程可得【小问1详解】设等差数列的公差为d，因为，则.因为，则，得.所以数列的通项公式是【小问2详解】因为，则所以.当时，因为，则.当时，因为，则.因为，则，即，即，即．因为，所以21、（1）；（2）.【解析】（1）由题设知，设圆心，应用两点距离公式列方程求参数a，进而确定圆心坐标、半径，写出圆C的方程；（2）利用两点距离公式、切线的性质可得、，再应用三角形面积公式求三角形PMN的面积.【小问1详解】由已知，可设圆心，且，从而有，解得.所以圆心，半径.所以，圆C的方程为.【小问2详解】连接PC，CM，