广东省揭阳市普宁市勤建学校2023-2024学年高三上学期第二次调研考试数学试题（含答案）

第第页广东省揭阳市普宁市勤建学校2023-2024学年高三上学期第二次调研考试数学试题（含答案）勤建学校高三年级上学期第二次调研考试

数学试卷2023.10

一单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分）

1在复平面内，（-2+2i）（3﹣2i）对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2.若集合，，则（）

A．B．C．D．

3.已知，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.．5.已知，则（）

A.B.C.D.

5.函数的部分图象可能是()

A.B.C.D.

6.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）

A.B.C.-2D.

7.函数y＝[f（x）]g（x）在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递增区间为（）

A．（0，e）B．（0，e﹣1）C．（e﹣1，+∞）D．（e，+∞）

8.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前13项和为（）

A7B.13C.20D.26

二、选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9.下列各不等式，其中不正确的是（）

A．B．

C．D..

10．已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点,若,则下列各式的符号不能确定的是().

A.B.C.D.

11.已知函数，有下列四个结论正确的是（）

A.为偶函数B.的值域为

C.在上单调递减D在上恰有8个零点

12.关于函数，下列结论正确的是（）

A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点

C.存在正实数，使得成立

D.对任意两个正实数，且，若，则

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。)

13.已知函数则=______.

14.已知，，且，，则______．

15.已知圆M圆心在曲线上，且圆M与直线相切，则圆M面积的最小值为_____.

16.若存在实数使得，则的值为__________.

四解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

(本小题满分10分)

在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，角A的角平分线交BC于点D，且，．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求线段AD的长．

(本小题满分12分)

已知数列的前项和为，且满足.

(1)求数列的通项公式：

(2).设为数列的前项和，求大于的最小的整数.

19.（本小题满分12分）

已知函数.

⑴求函数的单调区间；⑵设，求函数在区间上的最大值

20.(本小题满分12分)

在四棱锥中，底面是矩形，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝，.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝（）.（1）当＝时，求∠OPQ的大小；

（2）当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角的正弦值．

22.(本小题满分12分)已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.勤建学校高三年级上学期第二次调研考试（参考答案）

数学试卷2023.10

一单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分）

1．B2.D3.C4.A5.C6.A7.B8.D

二、选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9．BC10.AC11.AC12．BD

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。)

13.814.15.16.

四解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分10分)

（Ⅰ）将代入得

∴，又∵，所以，又∵，故．

（Ⅱ）方法1：因为AD为角A的角平分线，所以

在中，由余弦定理得，故

而故

所以

在中，由正弦定理得，故

方法2：因为AD为角A的角平分线，所以

由得

解得

方法3：因为AD为角A的角平分线，所以

而故

即，解得．

18.（1）①

时，②

①-②得，，

当时，，满足上式，

故；

（2）由（1）得：，

③，

两边同乘以得：④

③-④得：

，，.

19.⑴，令，解得；令，解得.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

⑵当，即时，函数在上区间单调递增，所以函数在区间上的最大值为；当时，函数在上区间单调递减，所以函数在区间上的最大值为；当，

即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在区间上的最大值为.

综上：当时，；当时，；

当时，。

20.（1）如图，取中点，连接、，根据题意，因为点为中点，

所以且，又因为四边形为矩形，为的中点，

所以且

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，则，令，则，

设平面的一个法向量为，则，令，则，

显然二面角为锐二面角，设其平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为.

21.(本小题满分12分)

（1）设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式．

因为∠AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝

在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝－α＋θ.

由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．

展开并整理，得tanα＝，其中θ∈.

此时当θ＝时，tanα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝.故当θ＝时，∠OPQ＝.

（2）设f(θ)＝，θ∈.则f′(θ)＝＝.

令f′(θ)＝0，得sinθ＝，记锐角θ0满足，

则，即

θ(0，θ0)θ0

f′(θ)＋0－

f(θ)单调递增单调递减

由上表可知，f(θ0)＝是极大值，也是最大值．

由（1）可知tanα＝f(θ)>0，则，tanα单调递增

则当tanα取最大值时，α也取得最大值．故在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ＝.

22.(本小题满分12分)

【解析】（1）当时，，.

，又切点为

切线方程为，化简得.

（2）【解法一】当时，恒成立，故，

也就是，即，由得，

令，则，

令，则，

可知在单调递增，则，即在恒成立，.

故在单调递增.

所以，故在恒成立.所以在单调递增，而，所以，故.

【解法二】因为当时，恒成立，故

由，令，得或，

①当，即时，在上恒成立，

在上单调递减，，

当时