高三北师大版文科数学第48讲 抛物线 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业（四十八）［第48讲抛物线］(时间:45分钟分值：100分)eq\a\vs4\al\co1（基础热身）1．设抛物线的顶点在原点,准线方程为x＝－2,则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x2．动点P到点F（0，1)的距离比到x轴的距离大1，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线3．点P在抛物线y2＝－2x上移动，点Q（2,－1）,则线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．（2y＋1)2＝4x－4B．(2y－1)2＝－4x＋4C．(2y＋1）2＝－4x＋4D．(2y－1）2＝4x－44．已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝2，则a＝________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2012·皖南八校一联］若直线mx－y＋eq\f（n，2)－1＝0(m>0,n〉0)经过抛物线y2＝4x的焦点，则eq\f（1,m)＋eq\f（1，n)的最小值为()A．3＋2eq\r（2)B．3＋eq\r(2）C。eq\f（3＋2\r（2）,2)D.eq\f(3＋\r(2）,2）6．[2012·泉州质检]若抛物线y2＝2px（p>0）的焦点到双曲线x2－y2＝1的渐近线的距离为eq\f(3\r(2)，2),则p的值为（）A．6eq\r(5）B．6C．2eq\r(3）D．37．正数a,b的等差中项是eq\f（9，2)，一个等比中项是2eq\r(5)，且a>b，则抛物线y2＝－eq\f(b,a）x的焦点坐标为（）A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(5，16），0））B.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（2，5），0））C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,5)，0))D。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，5），0）)8．如图K48－1所示,过抛物线y2＝2px（p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B,C,若|BC｜＝2|BF|，且|AF|＝3,则抛物线的方程为(）图K48－1A．y2＝eq\f（3,2）xB．y2＝9xC．y2＝eq\f（9,2）xD．y2＝3x9．［2012·黄冈中学模拟]过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线(）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在10．［2012·宜春模拟］已知抛物线y2＝2px(p>0）与双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1(a>0，b〉0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．11．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上,抛物线上的点P（k，－2）与点F的距离为4，则抛物线方程为________．12．已知P为抛物线y2＝4x上一点，设P到准线的距离为d1,P到点A（1，4)的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．13．［2012·邯郸一模]设抛物线y2＝x的焦点为F,点M在抛物线上,线段MF的延长线与直线x＝－eq\f(1,4）交于点N,则eq\f（1，|MF|)＋eq\f（1,｜NF｜)的值为________．14．（10分)一抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a〉0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，又此抛物线与双曲线的一个交点为eq\f(3,2），eq\r（6)，求该抛物线与双曲线的方程．15．(13分)已知圆C过定点Feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，4）,0））,且与直线x＝eq\f(1,4)相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B两点．（1)求曲线E的方程;（2)当△OAB的面积等于eq\r(10）时,求k的值．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16．(12分)A，B是抛物线y2＝2px（p>0）上的两点，且OA⊥OB.(1）求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)求弦AB中点P的轨迹方程;（4）求△AOB面积的最小值．

课时作业（四十八）【基础热身】1．B［解析］由题意设抛物线方程为y2＝2px(p〉0），又∵其准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－2，∴p＝4，所求抛物线方程为y2＝8x.2．D［解析］由题意知动点P坐标到点F（0，1)的距离与到直线x＝－1的距离相等，∴点P的轨迹是抛物线．3．C[解析]设点P(x0,y0），中点M（x，y），∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x0＋2＝2x，,y0－1＝2y,））即得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－2，，y0＝2y＋1，))∵点P在抛物线y2＝－2x上，∴（2y＋1)2＝－2（2x－2）,即（2y＋1）2＝－4x＋4，故选C.4．－eq\f(1，8）[解析］抛物线方程为x2＝eq\f（y,a）,因为准线方程为y＝2，所以eq\f（p,2)＝2,所以p＝4，于是eq\f(1,a)＝－2p＝－8,所以a＝－eq\f（1，8).【能力提升】5．C[解析］抛物线的焦点为(1，0），该点在直线mx－y＋eq\f（n,2)－1＝0（m〉0，n〉0）上,所以有2m＋n＝2，于是eq\f(1，m)＋eq\f（1，n)＝eq\f(1,2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，m)＋\f(1，n)））（2m＋n)＝eq\f(1,2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(n，m）＋\f（2m，n)＋3）)≥eq\f（1,2)(2eq\r（2）＋3）．故选C。6．B［解析］抛物线焦点为Feq\f（p，2），0，双曲线的渐近线为x±y＝0，根据对称性知，抛物线焦点到两条渐近线的距离相等，所以eq\f（\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（p，2)））,\r（2））＝eq\f（3\r(2)，2)，解得p＝6。故选B.7．D［解析］正数a，b的等差中项是eq\f（9，2),所以a＋b＝9；又因为正数a，b的一个等比中项是2eq\r（5），所以ab＝(2eq\r（5)）2＝20;而a>b，所以a＝5,b＝4。抛物线方程为y2＝－eq\f（4，5）x，其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5),0)），故选D.8．D[解析]过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则｜BF｜＝|BD｜。又2｜BF|＝|BC|，所以在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又｜AF｜＝3，所以｜AA′｜＝3，所以｜AC|＝6，|FC｜＝3.所以p＝eq\f（1,2)|FC|＝eq\f（3,2），所以y2＝3x。9．D［解析]设点A（x1,y1），B(x2,y2）．因为A，B两点到直线x＝－2的距离之和等于5，所以x1＋2＋x2＋2＝5。所以x1＋x2＝1.由抛物线的定义得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝3。而过抛物线焦点的弦的最小长度(当弦AB⊥x轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．10。eq\r(2)＋1［解析]由题知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（\f（p，2)＝\r(a2＋b2），，p＝\f（b2,a），)）解得离心率为eq\r(2)＋1。11．x2＝－8y［解析]依题意,设抛物线方程为x2＝－2py(p〉0），根据抛物线的定义，由点P(k，－2)到焦点的距离为4可得eq\f（p,2)＝4－|－2|＝2，所以p＝4,抛物线的方程为x2＝－8y。12．4［解析］由抛物线定义得P到准线的距离d1等于点P到焦点F(1，0)的距离|PF|，又点A(1，4）在抛物线外部，所以当点P，A，F三点共线时，d1＋d2取得最小值|AF|,即最小值为4。13．2[解析]由题意知，该表达式的值为定值．过点F作x轴的垂线，设该垂线与抛物线的一个交点为M，则直线MF与y轴没有交点，可理解为｜NF|→＋∞，则eq\f（1,|NF|)→0；由抛物线定义易得｜MF|＝eq\f(1，2),所以eq\f(1,｜MF｜)＋eq\f(1，|NF|）＝2。也可以用直接法解．14．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c设抛物线方程为y2＝4c·x.∵抛物线过点eq\f（3,2)，eq\r(6),∴6＝4c·eq\f（3,2）.∴c＝1。故抛物线方程为y2＝4x。又双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1过点eq\f（3,2），eq\r(6)，∴eq\f(9,4a2)－eq\f（6，b2）＝1。又a2＋b2＝c2＝1，∴eq\f(9,4a2）－eq\f（6，1－a2)＝1.∴a2＝eq\f（1，4）或a2＝9(舍）．∴b2＝eq\f（3，4）。故双曲线方程为4x2－eq\f（4y2,3）＝1。15．解:（1）由题意，点C到定点Feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)）和直线x＝eq\f（1,4)的距离相等，∴点C的轨迹方程为y2＝－x.(2）由方程组eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（y2＝－x,，y＝k（x＋1）)）消去x后,整理得ky2＋y－k＝0。设A(x1，y1)，B（x2，y2),由韦达定理有y1＋y2＝－eq\f(1,k），y1y2＝－1.设直线l与x轴交于点N，则N（－1,0)．∴S△OAB＝eq\f（1,2)|ON｜|y1－y2｜＝eq\f(1，2）·1·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2）＝eq\f（1，2)eq\r（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,k）））\s\up12(2）＋4).∵S△OAB＝eq\r(10），所以eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，k）)）\s\up12（2)＋4)＝eq\r（10),解得k＝±eq\f(1,6）.【难点突破】16．解:（1）设A(x1，y1）,B（x2，y2),中点P（x0，y0)，kOA＝eq\f(y1,x1),kOB＝eq\f(y2，x2).∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，∵yeq\o\al（2，1)＝2px1，yeq\o\al(2,2）＝2px2，∴eq\f（yeq\o\al(2,1），2p)·eq\f（yeq\o\al(2,2)，2p)＋y1y2＝0。∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2，（2)证明：∵yeq\o\al(2，1）＝2px1,yeq\o\al(2,2）＝2px2，∴（y1－y2）（y1＋y2)＝2p（x1－x2),∴当x1≠x2时，eq\f（y1－y2,x1－x2）＝eq\f(2p，y1＋y2)。∴kAB＝eq\f(2p,y1＋y2)，∴直线AB：y－y1＝eq\f（2p,y1＋y2）(x－x1)．∴y＝eq\f(2px,y1＋y2）＋y1－eq\f（2px1,y1＋y2).∴y＝eq\f（2px,y1＋y2)＋eq\f(yeq\o\al（2，1)－2px1＋y1y2，y1＋y2）。∵yeq\o\al(2，1)＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝eq\f（2px,y1＋y2)＋eq\f(－4p2，y1＋y2)。∴AB过定点（2p，0），设M(2p，0)，当x1＝x2时，知AB方程为x＝2p，过（2p，0）．由上可知，直线AB过定点．(3）如图,设OA：y＝kx，代入y2＝2px得x＝0或x＝eq\f(2p,k2)。∴Aeq\f（2p，k2)，eq\f(2p,k）,同理，以－eq\f(1，k）代替k得B(2pk2，－2pk)，设P（x0,y0），∴eq\b\