高三北师大版文科数学第41讲 直线、平面垂直的判定与性质 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业（四十一）[第41讲直线、平面垂直的判定与性质]（时间:45分钟分值：100分)eq\a\vs4\al\co1（基础热身)1．直线l不垂直于平面α,则α内与l垂直的直线有(）A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线2．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD,AC，BD,则下列垂直关系正确的是（）①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD;③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC。A．①②B．①③C．②③D．②④3．在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，真命题是（）A．若lβ且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中,为真命题的是（)A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2012·北京东城区模拟]已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的为()A．α⊥β,且mαB．m∥n,且n⊥βC．α⊥β,且m∥αD．m⊥n，n∥β6．［2012·沈阳、大连联考]设a,b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a,且l⊥b”是“l⊥α”的(）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于(）A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′8．给出命题：(1)在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行;(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；（3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β"是“m⊥β”的充要条件；（4）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题的个数是(）A．0B．1C．2D．39．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是(）①若m⊥α，n∥α,则m⊥n；②若α∥β，β∥γ,m⊥α,则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。A．①②B．②③C．③④D．①④10．已知直线l，m，n,平面α，mα，nα，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．（填“充分不必要"“必要不充分”“充要"“既不充分也不必要"之一）11．如图K41－1所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD。（只要填写一个你认为是正确的条件即可)图K41－112．已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的________心．13．α,β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断为条件,余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________．14．(10分）[2012·临川一中模拟］如图K41－2，C，D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD＝2eq\r（3），AC＝BC，F是AB上一点,且AF＝eq\f(1,3）AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上．（1）求证：AD⊥平面BCE；(2）求证：AD∥平面CEF；(3）求三棱锥A－CFD的体积．图K41－215．(13分）[2012·广东卷]如图K41－3所示,在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD,AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝eq\f(1,2）AB，PH为△PAD中AD边上的高．（1)证明：PH⊥平面ABCD;（2)若PH＝1，AD＝eq\r（2），FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；（3）证明:EF⊥平面PAB.图K41－3eq\a\vs4\al\co1(难点突破）16．（12分)[2012·太原模拟］如图K41－4,在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段AD1上的点，且满足eq\o（D1P,\s\up6（→))＝λeq\o（PA，\s\up6(→))(λ〉0)．(1)当λ＝1时，求证：DP⊥平面ABC1D1;(2)当λ变化时，三棱锥D－PBC1的体积是否为定值？若是，求出其体积；若不是，请说明理由．图K41－4

课时作业(四十一)【基础热身】1．C[解析]可以有无数条．2．A［解析］易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC,又AD∥BC，故AD⊥平面PAB,则平面PAD⊥平面PAB，因此选A。3．B［解析]A显然不对，C,D中的直线有可能在平面α内．故选B。4．D［解析]当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对;若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确．【能力提升】5．B[解析］根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，mα⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面β内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确;若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n,n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．6．C[解析]由线面垂直的判定定理知，由于已知两直线a，b不一定相交，充分性不成立；由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故应为必要不充分条件．7．B[解析]连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′,∴B′D′⊥平面CC′E。而CE平面CC′E,∴B′D′⊥CE。又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.8．B[解析］(1)错;(2）正确；(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要条件，命题错误；（4）只有当异面直线a，b垂直时可以作出满足要求的平面，命题错误．9．A［解析]m∥α,n∥α，m，n可能平行、相交或异面,故③错;α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α⊥β,所以④错．10．充分不必要[解析]若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α。11．DM⊥PC(或BM⊥PC等）[解析］连接AC,则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，则BD⊥PC。∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD。12．垂[解析]如图所示，PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC，又PH⊥平面ABC，所以AE⊥BC。即H是△ABC高的交点，所以H一定是△ABC的垂心．13．②③④⇒①或①③④⇒②[解析］由题意可构造出四个命题（1)①②③⇒④；(2）①②④⇒③；（3）①③④⇒②；(4）②③④⇒①。只有（3）（4)是正确的．14．解：(1）证明：依题意：AD⊥BD，∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD,∵BD∩CE＝E，∴AD⊥平面BCE。(2）证明：Rt△ABD中,AB＝2eq\r(3），AD＝eq\r(3），∴BD＝3.连接AE，在Rt△ACE和Rt△BCE中，AC＝BC，CE＝CE,∴Rt△ACE≌Rt△BCE，∴AE＝BE。设DE＝x,则AE＝BE＝3－x，在Rt△ADE中,AD2＋DE2＝AE2，∴3＋x2＝(3－x)2,解得x＝1，∴BE＝2，∴eq\f(BF，BA)＝eq\f（BE，BD）＝eq\f(2，3），∴AD∥EF,∵AD⃘CEF，∴AD∥平面CEF.(3)由(2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED＝BD－BE＝1,∴F到AD的距离等于E到AD的距离，为1.∴S△FAD＝eq\f(1,2）×eq\r（3）×1＝eq\f（\r(3),2）.∵CE⊥平面ABD，∴VA－CFD＝VC－AFD＝eq\f(1，3)·S△FAD·CE＝eq\f（1，3）×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r（6），6).15．解：（1）证明:由于AB⊥平面PAD，PH平面PAD，故AB⊥PH.又因为PH为△PAD中AD边上的高，故AD⊥PH。∵AB∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD。（2）由于PH⊥平面ABCD,E为PB的中点，PH＝1，故E到平面ABCD的距离h＝eq\f(1,2)PH＝eq\f(1,2）。又因为AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD,故S△BCF＝eq\f（1,2）·FC·AD＝eq\f(1,2）×1×eq\r(2）＝eq\f(\r（2)，2）。因此VE－BCF＝eq\f(1,3)S△BCF·h＝eq\f（1，3）×eq\f（\r(2),2)×eq\f（1，2)＝eq\f（\r(2）,12）。(3)证明：如图,过E作EG∥AB交PA于G,连接DG.由于E为PB的中点，所以G为PA的中点．因为DA＝DP，故△DPA为等腰三角形,所以DG⊥PA。∵AB⊥平面PAD，DG平面PAD，∴AB⊥DG。又∵AB∩PA＝A，AB平面PAB,PA平面PAB，∴DG⊥平面PAB.又∵GE綊eq\f(1，2）AB,DF綊eq\f(1,2）AB，∴GE綊DF.所以四边形DFEG为平行四边形，故DG∥EF.于是EF⊥平面PAB。【难点突破】16．解：（1)证明:∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D又AB平面ABC1D1，∴平面ABC1D1⊥平面AA1D1D，∵λ＝1时，P为AD1的中点,∴DP⊥AD1，又∵平面ABC1D1∩平面AA1D1D＝AD1,∴DP⊥平面ABC1D1。(2）三棱锥D－PBC1的体积恒为定值．易证四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，