晶体的宏观对称 点群 对称型课件

第二章晶体的宏观对称

对称的概念晶体对称的特点对称要素和对称操作晶体的对称定律对称要素的组合点群和对称型的概念及其推导晶体的分类对称型的国际符号和圣佛利斯符号晶体的宏观对称点群对称型2.5对称要素的组合晶体学任意两个对称要素同时存在一个晶体上时，将产生新的对称要素，且产生的个数一定。立方体上3L44L36L29PC

L66L27PC（绿柱石）晶体的宏观对称点群对称型四、对称要素的组合从上面的结果可以看出什么规律？◆对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；◆当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。晶体学晶体的宏观对称点群对称型定理1：Ln

P//LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P

夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?对称要素组合定理：晶体学晶体的宏观对称点群对称型对称要素的组合晶体学晶体的宏观对称点群对称型对称要素组合定理：定理2：Ln

L2

LnnL2

（相邻L2的夹角是Ln基转角的一半）逆定理：

L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。例如:L4

L2

L44L2,L3

L2

L33L2晶体学思考:两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?晶体的宏观对称点群对称型对称要素的组合晶体学晶体的宏观对称点群对称型定理3：Ln

P

LnP

C

（n为偶数）逆定理：

Ln

C

LnP

C

（n为偶数）

PCLnP

C（n为偶数）这一定理说明了Ln、P、C三者中任两个可以产生第三者。对称要素组合定理：晶体学正长石：L2+P⊥=L2PC。晶体的宏观对称点群对称型

定理4：LinL2

=LinP//

Linn/2L2

n/2P//

（n为偶数）

LinnL2

nP//（n为奇数）

逆定理：如有一L2与一P斜交，P的法线与L2的交角为δ，则平行P且垂直于L2的直线必为一n次旋转反伸轴Lni，n＝360°/2δ。对称要素的组合晶体学例：四方四面体

Li42L22P黄铜矿

Li4+L2⊥(或P//)=Li4

2L22P晶体的宏观对称点群对称型五、32个对称型及其推导

晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。

根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？

晶体学晶体的宏观对称点群对称型1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6

。2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂直它的L2的组合。根据上节所述对称要素组合规律Ln

L2→LnnL2，可能的对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2

如果L2与Ln斜交有可能出现多于一个的高次轴，这时就不属于A类了。1.A类对称型（高次轴不多于一个）的推导晶体学晶体的宏观对称点群对称型3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。考虑到组合规律Ln（偶次）

P⊥→Ln（偶次）PC，则可能的对称型为：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规律Ln

P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。A类对称型（高次轴不多于一个）的推导晶体学晶体的宏观对称点群对称型5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直Ln的P与包含Ln的P的交线必为垂直Ln的L2，即Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥

L2⊥

=LnnL2（n+1）P（C）（C只在有偶次轴垂直P的情况下产生），可能的对称型为：（L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC;（L33L24P=Li63L23P）;L44L25PC;L66L27PC。A类对称型（高次轴不多于一个）的推导晶体学晶体的宏观对称点群对称型6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；当n为偶数时Lin(n/2)L2(n/2)P可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。A类对称型（高次轴不多于一个）的推导晶体学晶体的宏观对称点群对称型

多个高次轴的组合。

1·原始式：四面体的对称轴3L24L3

2·中心式：原始式与对称中心组合3L24L33PC

3·轴式：原始式与对称轴的组合3L44L36L2

4·面式：原始式与对称面的组合3Li44L36P

5·轴面式：轴式的基础上加对称面3L44L36L29PC2.B类对称型（高次轴多于一个）晶体学5个B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。晶体的宏观对称点群对称型这样推导出来的对称型共有32个，见下表。原始式轴式面式中心式轴面式倒转原始式倒转轴面式共同式LnLnnL2Ln

P(C)LnnPLnnL2(n+1)P(C)LinLinnL2nPLinn/2L2n/2P

A

类L1Lin=

CL23L2L2PCL22P3L23PCLi2=

PL3L33L2L33PLi3=L3CL33L23PCL4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi4Li42L22PL6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi6=L3PLi63L23P=L33L24PB类3L24L33L44L36L23L24L33PC3Li44L36P3L44L36L29PC晶体学晶体的宏观对称点群对称型晶族（crystalcategory）的划分

根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族高级晶族（highercategory）中级晶族（intermediatecategory）低级晶族（lowercategory）问题:什么是高次轴?最多有多少高次轴?晶体学六、晶体的对称分类及点群符号1、晶族、晶系、晶类的划分晶体的宏观对称点群对称型晶体的对称分类晶系（crystalsystem）的划分 根据对称轴或旋转反伸轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系,分属于三个晶族等轴晶系（isometricsystem）,又称立方晶系（cubicsystem）六方晶系（hexagonalsystem）四方晶系（tetragonalsystem）三方晶系（trigonalsystem）斜方晶系（orthorhombicsystem）,亦称正交晶系单斜晶系（monoclinicsystem）三斜晶系（triclinicsystem）晶体学晶体的宏观对称点群对称型晶体的对称分类

表3－2

thebelowandnextpage晶体学晶体的宏观对称点群对称型晶体的宏观对称点群对称型2.对称型的国际符号

对称型的国际符号很简明，国际符号既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位。有以下几个特点：

它不将所有的对称要素都写出来；并且可以表示出对称要素的方向性；但它不容易看懂。

注：在国际符号中有1～3个序位，每一序位中的一个对称要素符号可代表一定方向的、可以互相派生（或复制）的多个对称要素，即凡是相同的对称要素和可以推导（派生）出来的对称要素都省略了。对称轴以1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔开，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示（由此可以看出，对称中心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C）。晶体学晶体的宏观对称点群对称型

由于1=Li1=C，2=Li2=P=m，习惯用1代表对称中心。m代表2。所谓的相同对称要素，并不仅仅指同种对称要素，而且必须是能够借助于对称型中其他对称要素的变换作用而相互重复的同种对称要素。例如：3m（L33P）对称型中的三个P全部是相同对称要素；但在4/mmm（L44L25PC）对称型中，垂直于L4的P与其它4P都不相同，而且剩下的4个P之中，只有相互垂直的两个P才构成一组相同对称要素，而以45°交角相邻的任二P都不是相同的对称要素。晶体学晶体的宏观对称点群对称型

具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个序号位中规定了具体方向上(a,b,c,a+b,a+b

+c,2a+b)的对称要素，对称意义完全相同方向上的对称要素，不管有多少,只写一个就行了。

不同晶系中，这三个序号位所代表的方向完全不同，所以，不同晶系的国际符号的写法也就完全不同，一定不要弄混淆。

每个晶系的国际符号写法见表3-3(此表很重要，要熟记！）

对称型的国际符号晶体学晶体的宏观对称点群对称型点群的国际符号各个序位的方向4/mmm123晶系三个位所表示的方向（依次列出）等轴ca+b+ca+b[001][111][110]四方caa+b[001][100][110]斜方abc[100][010][001]单斜b

[010]

三斜任意方向任意方向三六方ca2a+b[001][100][210]112332表3-3：晶体学晶体的宏观对称点群对称型符号顺序：依不同晶系的规定排列符号位数：不超过三个符号表示：每个位分别表示晶体该方向上所存在的全部对称要素。即：对称轴或旋转反伸轴垂直的对称面当这两类对称要素在同一方向上同时存在时，则写成分式的形式，例如：4/m；不存在对称要素时，则将该位空着。对称型国际符号的书写晶体学举例：L2PC的国际符号的写法

L2PC属于单斜晶系，只一个序位，代表方向b；第1方向（Y轴）上的对称要素，一个L2和垂直的对称面P，写成2／m。第二、第三位空着。在此符号中没有写出c，它可根据组合定理推导出来。晶体的宏观对称点群对称型举例：L44L25PC的国际符号的写法L44L25PC四方晶系，国际符号三个位的方向：c、a、（a+b）。第I方向（Z轴）c：L4（4）和垂直L4对称面P（m），写做4/m；第Ⅱ方向（X轴）a：一个L2（2）和垂直的对称面P（m），写做2/m；第Ⅲ位（X轴与Y轴的角平分线）（a+b）：一个L2（2）和垂直的对称面P（m），写做2/m。将三个位的符号按照序位排列：4/m2/m2/m。其余的没有直接写出来，但根据组合定理可由符号中写出的对称要素推导出来。实际上简化成4/mmm仍然可以导出对称型的全部对称要素。所以，L44L25PC的国际符号通常都写成4/mmm。

对称型国际符号的书写晶体学晶体的宏观对称点群对称型晶体学晶体的宏观对称点群对称型晶体学晶体的宏观对称点群对称型晶体学晶体的宏观对称点群对称型晶体学晶体的宏观对称点群对称型晶体学晶体的宏观对称点群对称型点群国际符号应用和举例1.根据国际符号判断所属晶系①低级晶族对称特点判断：无2无m者为三斜晶系；2或m不多于1者为单斜晶系；2或m，多于1者为斜方晶系。②国际符号中有一个高次轴时，首位符号确定晶系。如首位是4或-4者为四方晶系；③国际符号中第二位是3或-3者为等轴晶系。

晶体学晶体的宏观对称点群对称型2.由国际符号写出点群（对称型）首先确定所属晶系；明确三个序位所代表方向上的对称要素；运用组合定理推导出全部的对称要素，之后组合成点群。例如：6／mmm首位6为六方晶系。国际符号的三个位c、a、（2a+b）。第I方向c，z轴，有L6和垂直L6的P，新产生对称中心C；第II方向a，x轴，有包含L6的P；所以L66P，包含L6的P（第Ⅱ方向）与垂直L6的P（第1方向上）的交线，为垂直L6的L2，所以6L2；第Ⅲ方向上的P平行L6，与第II方向上重复，推导完毕。最后，将原有的、新产生的对称要素组合在一起，便得到对称型L66L27PC。

晶体学晶体的宏观对称点群对称型3.对称型的圣弗利斯符号对称型的圣弗利斯符号，是根据对称要素组合的几种基本规律，用不同字母来表示对称型中对称要素的基本组合而写出的。现分别加以说明。

Cn——表示Ln单独存在，如L1、L2、L3、L4、L6分别以Cl，C2、C3、C4、C6表示。

Cnh——表示Ln×P⊥=LnP（C）。如P、L2PC、L3P(Li6)、L4PC、L6PC分别以Clh、C2h、C3h、

C4h、

C6h表示。晶体学晶体的宏观对称点群对称型

Cnv——表示Ln×P∥=LnnP

，如L22P、L33P、L44P、L66P分别以C2v、C3v、C4v、C6v表示。

Dn——表示Ln×L2⊥=LnnL2，如L22L2

（3L2）、L33L2

、L44L2、L66L2分别以D2、D3、D4、D6表示。

Dnh——表示Ln×L2⊥×P⊥=LnnL2（n+1）P（C），如3L23PC、L33L24P（Li63L23P）、L44L25PC、L66L27PC分别以D2h、D3h、D4h、

D6h表示。

Dnd——表示对称面不包含L2，而是处于平分L2的夹角的位置上，