chap8欧几里德空间

1第八章欧几里得空间

线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的内容与方法。2知识脉络图解内积欧氏空间欧氏空间的同构标准正交基

长度、夹角与正交对称变换正交变换对称矩阵正交矩阵

实对称阵正交相似于对角阵

正交变换化实二次型为标准形正交子空间正交补空间3重点、难点解读

本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征。利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单，这是引入标准正交基的好处。要求准确理解和掌握标准正交基的概念及基本性质，能熟练运用施密特正交化方法由一组基求出标准正交基。4

欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵Q，使为对角阵，以及以另一种形式出现的同一个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。

将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会求某些子空间的正交补。536782.Schmidt正交化方法设是维欧氏空间V的一组基，先用Schmidt正交化方法将其正交化，得到一组正交基再单位化得到V的一组标准正交基设Ｖ为欧氏空间，非零向量1.定义它们两两正交，则称之为正交向量组.此时如果由单位向量构成的正交基称为标准正交基.

n维欧氏空间中，由n

个向量构成的正交向量组称为正交基；设Ｖ为欧氏空间，非零向量1.定义它们两两正交，则称之为正交向量组.此时如果由单位向量构成的正交基称为标准正交基.

n维欧氏空间中，由n

个向量构成的9基

结论正交向量组必是线性无关向量组.1011即1213基1415例116n11n2nn2nnnn因A为一对称阵，找其一组基为于是有17

例1’、设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵是求V的一组标准正交基。18解采用初等变换法，由于…………………………………令则19又令即所以为V的一组标准正交基。

例2、在欧氏空间中，其内积令求使成为的标准正交基。

解已是两两正交的单位向量。令则由得20求得基础解系它们与正交，但本身只是线性无关的。正交化得再单位化为的标准正交基。则21例222

例3、给定维欧氏空间V的标准正交基设是V的正交变换，是的不变子空间，证明：V的子空间也是的不变子空间。

证根据题设条件知由于是的正交变换，所以也是V的标准正交基。

又是的不变子空间，所以是W标准正交基，从而任取有故是的不变子空间。23例324

例4、证明：维欧氏空间的每一个子空间的正交补空间是唯一的。

证设。当时，。当时，当时，取的一组正交基再扩充为V的一组正交基，则再证唯一性。设都是的正交补，则下证对，有，其中，且所以从而此即类似可证故这是因为25

例5、设是维欧氏空间V的子空间，且的维数小于的维数，证明：中必有一非零向量正交于中的一切向量。

证设，且，则令则由维数定理知但，于是即此即从而存在非零向量即26

例6、已知矩阵空间的子空间

中的内积为

的线性变换为（1）求子空间W的一个标准正交基；（2）证明W是的不变子空间；

（4）求W的一个标准正交基，使在该基下的矩阵为对角矩阵。

（3）将看成W上的线性变换，证明是W上的对称变换；

（3）将看成W上的线性变换，证明是W上的对称变换；27解（1）W的一组基为它们已正交，单位化得W的一组标准正交基（2）任取，有，而满足所以故W是的不变子空间。28（3）可求得可见在W的标准正交基下的矩阵为由于A是对称矩阵，所以是W中的对称变换。29（4）可求得从而A的特征值为又对应的特征向量为（已正交）对应的特征向量为故正交矩阵使得30由得W的一组标准正交基

在该组基下的矩阵为31