广西南宁市2023年秋期人教版数学八年级期中试题01（含解析）

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广西南宁市2023年秋期人教版数学

八年级期中试题01

120分钟120分

一、填空题18分，每题3分

1．只有一条对称轴的三角形是三角形；等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有条；角的对称轴是这个角的；线段的对称轴是．

2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是.

3．小明把一副含45°，30°角的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于.

4．如图，在中，AD和AE分别是边BC上的中线和高，已知，求高．

5．已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是边形．

6．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q.点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，.下列结论：

①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是.

二、单选题36分每题3分

7．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

8．下列图形分别是等边三角形、正方形、正五边形、等腰直角三角形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

9．正八边形和下列哪种正多边形可以镶嵌整个平面（）

A．B．

C．D．

10．已点和关于x轴对称，则的值为（）

A．3B．0C．D．1

11．下列图案中，不是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

12．永寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，均为十三层八角形楼阁式砖塔，如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（）

A．80°B．100°C．120°D．135°

13．如图，射线AB，AC被射线DE所截，图中的∠1与∠2是（）

A．内错角B．对顶角C．同位角D．同旁内角

14．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（）

A．l垂直ABB．l平分ABC．l垂直平分ABD．不能确定

15．已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

16．如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则的长度为（）

A．B．1C．D．2

17．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）

A．AF＝CF

B．∠DCF＝∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有5个

D．tan∠CAD＝

18．如图，与是一对全等的等边三角形，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是轴对称图形.其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

三、解答题19题4分，20题6分，21至22每题8分，23至26每题10分

19．如图，在中，，是的中点，连接．，，是垂足．图中共有多少对全等三角形？请直接用“”符号把它们分别表示出来（不要求证明）．

20．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：．

21．如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝50°，OD平分AOC，∠DOE＝90°

①求∠BOD的度数；②OE是∠BOC的平分线吗？为什么？

22．如图在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：

甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

根据两人的作法请分别做出判断，并证明．

23．如图，点B在射线AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE．

求证：AC=AD．

24．在直角坐标系中，已知A（1，5），B（﹣4，﹣2），C（1，0）三点．

（1）点A关于x轴的对称的A′的坐标为；点B关于y轴的对称点B′的坐标为；点C关于y轴的对称点C′的坐标为．

（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．

25．已知命题：“P是等边△ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC．”

（1）写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．

（2）进一步证明：点P到等边△ABC各边的距离之和为定值．

26．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．

（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；

（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．

答案解析部分

1．【答案】等腰三角形；3；平分线；垂直平分线

【解析】【解答】解：三角形只有一条对称轴时，只能有一种折叠方式使两部分重合，故也只能有两条边相等或两个角相等，所以只能是等腰三角形；等边三角形任意一条边上的垂直平分线都是对称轴，故其有3条对称轴；角沿着其对称轴能折叠后，两部分能完全重合，故其对称轴是它的角平分线；线段的对称轴是线段两部分折叠能完全重合的，因此只能是其垂直平分线。

故答案为：等腰三角形；3；平分线；垂直平分线。

【分析】等腰三角形底边上的中线，高，角平分线三线合一，与等腰三角形的对称轴重合；等边三角形三边的中线，高，角平分线都三线合一，由此可得出对称轴条数；角的平分线将角分成相等的两部分，由此即可得出角的对称轴；根据线段的特点分析线段的对称轴即可.

2．【答案】（2，-1）

【解析】【解答】解：点与点关于轴对称，

点的坐标是：（2，-1）.

故答案为：（2，-1）.

【分析】关于轴对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答即可.

3．【答案】210°

【解析】【解答】解：如图，

∵，，

∴＝

＝

＝

＝210°.

故答案为：210°.

【分析】由三角形外角定理可得，，故＝＝，根据角的度数代入即可求得.

4．【答案】

【解析】【解答】是边BC上的中线

中，

故答案为：

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，利用勾股定理求出AB的长，根据△ABC的面积=，从而求出AE.

5．【答案】五或六或七

【解析】【解答】解：设内角和为的多边形的边数是，

，

解得：，

包装盒的底面是六边形，

如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；

如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；

如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．

故答案为：五或六或七．

【分析】根据多边形的内角和定理求出多边形的边的数量，继而判断得到答案即可。

6．【答案】①②④⑤

【解析】【解答】解：如图，连接BD，

∵正方形ABCD，

∴AP与BD互相垂直平分，

∴PB=PD，

∴①符合题意；

如图，延长DA使得AK=CF，连接BK，

又∵AB=BC，∠BAK＝∠BCF＝90°，

∴△BAK≌△BCF（SAS），

∴∠CBF＝∠ABK，BK=BF，∠K=∠BFC，

∵∠EBF=45°，

∴∠ABE+∠CBF=45°，

∴∠KBF=∠ABK+∠ABE=45°，

∴∠EBK＝∠EBF，

∴△EBK≌△EBF（SAS），

∴∠K=∠EFB，∠KEB=∠FEB，

∴∠EFB=∠BFC，

∴∠EFD＝180°-（∠EFB+∠BFC）＝180°-2∠BFC=180°-2（90°-∠FBC），

∴∠EFD＝2∠FBC

∴②符合题意；

如图，作∠CBG=∠ABP，使得BG=BP，与AC的延长线交于点M，连接CG，

∴∠PBM=∠ABC=90°，

∵∠BPM＞45°，

∴∠GMC＜45°，

易证△ABP≌△CBG（SAS），

∴∠BAP=∠BCG=45°，

∴∠GCM=∠PCG=90°，

∴GC≠CM，即AP≠CM，

∴PQ≠PA+CQ，

∴③不符合题意；

∵正方形ABCD，

∴∠EBF=∠BCP=∠FCP=45°，∠PQB=∠FQC，

∴△BQP∽△CQF，

∴BQ：CQ=PQ：FQ，

又∵∠BQC=∠PQF，

∴∠BCQ＝∠PFQ=45°，

∴∠PBF＝∠PFB＝45°，

∴△BPF是等腰直角三角形，

∴④符合题意；

如图所示，连接BD，

∴当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，

∵BC=CD=BA=AD=2，

∴BD=2，

∵∠EPF＝∠EDF＝90°，

∴E，D，F，P四点共圆，

∴∠PEF＝∠PDF，

∵PB＝PD＝PF，

∴∠PDF＝∠PFD，

∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，

∴∠AEB＝∠DFP=∠PDF=∠PEF，

∴∠AEB＝∠BEH，

∵BH⊥EF，

∴∠BAE＝∠BHE＝90°，

∵BE＝BE，

∴△BEA≌△BEH（AAS），

∴BA=BH=2，

∴DHmin=BD-BH=2-2.

∴正确的有①②④⑤.

故答案为：①②④⑤

【分析】如图，连接BD，根据正方形性质及线段垂直平分线的性质易得PB=PD，故①符合题意；如图，延长DA使得AK=CF，连接BK，先由“SAS”定理证出△BAK≌△BCF，得∠CBF＝∠ABK，BK=BF，∠K=∠BFC，通过角的和差关系推出∠EBK＝∠EBF，由“SAS”定理证出△EBK≌△EBF，得∠K=∠EFB，∠KEB=∠FEB，从而得∠EFB=∠BFC，通过角的互补关系及角的和差关系推出∠EFD＝2∠FBC，故②符合题意；作∠CBG=∠ABP，使得BG=BP，与AC延长线交于点M，连接CG，由∠PBM=∠ABC=90°，则∠BPM＞45°，∠GMC＜45°，易证△ABP≌△CBG，得∠BAP=∠BCG=45°，∠GCM=∠PCG=90°，可知GC≠CM，即AP≠CM，PQ≠PA+CQ，故③不符合题意；由两组角相等易证出△BQP∽△CQF，由相似性质及角的等量关系可得∠PBF＝∠PFB＝45°，即得出△BPF是等腰直角三角形，故④符合题意；如图所示，连接BD，当点B、H、D三点共线时，DH值最小，易求得BD=2，根据∠EPF＝∠EDF＝90°，则E，D，F，P四点共圆，由圆周角定理和角的等量关系代换可得∠AEB＝∠BEH，又∠BAE＝∠BHE＝90°，BE＝BE，即证出△BEA≌△BEH，可得BA=BH=2，再由DHmin=BD-BH，代入数据计算即可求解.

7．【答案】B

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，不合题意．

故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。

8．【答案】B

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、既是轴对称又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故答案为：B.

【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，据此对各选项逐一判断.

9．【答案】B

【解析】【解答】解：正八边形的每个内角是（82）×180°÷8＝135°，

正三角形的每个内角是60°，

正方形每个内角是90°，

正五边形每个内角是（52）×180°÷5＝108°，

正六边形每个内角是（62）×180°÷6＝120°，

∵135°×2＋90°＝360°，

∴两块正八边形和一块正方形可以实现密铺，故B符合题意．

故答案为：B．

【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键看位于同一顶点处的几个角能否为360°，若能，则可以进行平面镶嵌，反之，则不能，据此解答即可.

10．【答案】C

【解析】【解答】解：∵点和关于x轴对称，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：C．

【分析】根据关于x轴对称的点其横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而根据有理数的加法算出答案.

11．【答案】C

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故正确；

D、是轴对称图形，故错误．

故选C．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

12．【答案】D

【解析】【解答】解：正八边形的每个内角的度数为，

故答案为：D．

【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求解即可。

13．【答案】A

【解析】【解答】解：如图，∠1与∠2都夹在两被截直线AC、AB之间，在第三条直线DE的两侧，满足内错角的定义，

故∠1与∠2是内错角，

故答案为：A.

【分析】利用内错角的定义：两个角在两被截直线之间，在第三条直线的两侧，观察图形可得答案。

14．【答案】D

【解析】【解答】因为只知道直线l经过点C，所以无法判定直线l与AB的关系.

故答案为：D.

【分析】因为只说明了直线l经过点C，无其它条件限制，各种可能都能发生，所以无法确定直线L与AB的关系.

15．【答案】C

【解析】【解答】周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，共3个

故答案为：C

【分析】由于等腰三角形的两腰相等，且都是整数，周长为13，故根据三角形三边之间的关系即可得出答案。

16．【答案】B

【解析】【解答】解：∵△ADG的面积为，DG=GE，

∴S△ADE=2S△ADG=5；

∵将△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，

∴∠BFD=90°，S△ABD=S△ADE=5，

∴即，

解之：DF=1

故答案为：B.

【分析】利用已知条件可求出△ADE的面积，再利用折叠的性质可得到△ABD的面积，利用三角形的面积公式及△ABD的面积，可求出DF的长.

17．【答案】D

【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴＝，

∵AE＝AD＝BC，

∴＝，故A不符合题意；

B、过D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝BC，

∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF＝DC，

∴∠DCF＝∠DFC，故B不符合题意；

C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C不符合题意．

D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有＝．

∵tan∠CAD＝＝＝，故D符合题意．

故答案为：D．

【分析】A.由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以；

B.过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论；

C.根据相似三角形的判定即可求解，不符合题意；

D.由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D．

18．【答案】D

【解析】【解答】解：∵△ABP与△CDP是一对全等的等边三角形，

∴AB=AP=BP=DP=DC=PC，∠BAP=∠ABP=∠APB=∠DPC=60°，

∵，∴∠APD=90°，

∴∠PAD=∠ADP=45°，∠BPC=360°－90°－60°－60°=150°，

∴∠PBC=∠PCB=15°，故①错误；

∵∠BAD=60°+45°=105°，∠ABC=60°+15°=75°，

∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，

∴AD∥BC，故②正确；

延长CP交AB于点E，如图，

∵∠ABC+∠PCB=75°+15°=90°，

∴∠BEC=90°，即，故③正确；

∵AD∥BC，AB=DC，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

∴四边形是轴对称图形，故④正确；

综上，正确的是②③④.

故答案为：D.

【分析】根据题意可判断△APD是等腰直角三角形，△PBC是顶角为150°的等腰三角形，于是根据三角形的内角和可求出∠PBC的度数，进而可判断①；计算∠BAD+∠ABC的度数后即可判断②；延长CP交AB于点E，如图，计算∠ABC+∠PCB即可得出∠BEC的度数，于是可判断③；易知AB=CD，再结合②的结论即可判断④，进而可得答案.

19．【答案】解：共有3对．△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF

【解析】【分析】共有3对．△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF

20．【答案】证明：∵，

∴，

即，

在和中，

，

∴．

【解析】【分析】先证明，再利用“SSS”证明即可。

21．【答案】解：①∵∠AOC=50°，OD平分AOC，

∴∠1=∠2=∠AOC=25°，

∴∠BOD的度数为：180°﹣25°=155°；

②∵∠AOC=50°，

∴∠COB=130°，

∵∠DOE=90°，∠DOC=25°，

∴∠COE=65°，

∴∠BOE=65°，

∴OE是∠BOC的平分线．

【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质，求出∠1和∠2的度数，然后根据互补两角的关系求解；（2）通过角的和差关系求出∠COE和∠BOE的度数，然后得到角平分线OE.

22．【答案】解：甲、乙做法都正确．

甲做法：

证明：∵MN垂直平分AC，

∴AO=CO，∠AOM=90°，

又∵AD∥BC，

∴∠MAC=∠NCA，

在△AOPM和△CON中，

，

∴△AOPM≌△CON，

∴OM=ON，

∴AC和MN互相垂直平分，

∴四边形ANCM是菱形；

乙做法：

证明：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAF，

又∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA

∴AB=BE，

同理可得AB=AF，

∴BE=AF，

∵BE∥AF，

∴四边形ABEF为平行四边形

又∵AB=BE，

∴四边形ANCM是菱形

【解析】【分析】对于甲做法：利用MN垂直平分AC得到AO=CO，∠AOM=90°，再由AD∥BC得到∠MAC=∠NCA，则可证明△AOPM≌△CON，所以OM=ON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形ANCM是菱形；

对于乙做法：由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAF，再由AD∥BC得到∠EAF=∠BEA，则∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，同理可得AB=AF，所以BE=AF，于是可证明四边形ABEF为平行四边形，再加上邻边相等可判断四边形ANCM是菱形．

23．【答案】证明：∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABD+∠DBE=180°，∠CBE=∠DBE，

∴∠ABC=∠ABD，

在△ABC和△ABD中，

∴△ABC≌△ABD（ASA），

∴AC=AD．

【解析】【分析】首先根据等角的补角相等可得到∠ABC=∠ABD，再有条件∠CAE=∠DAE，AB=AB可利用ASA证明△ABC≌△ABD，再根据全等三角形对应边相等可得结论．

24．【答案】（1）（1，﹣5）；（4，﹣2）；（﹣1，0）

（2）解：S△A′B′B′=S△ABC=AC|xB|=×5×5=12.5.

【解析】【解答】解：（1）点A关于x轴的对称的A′的坐标为（1，﹣5）；点B关于y轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）；点C关于y轴的对称点C′的坐标为（﹣1，0）．

故答案为：（1，﹣5）；（4，﹣2）；（﹣1，0）.

【分析】（1）根据两点关于y轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出各个点坐标。

（2）根据坐标，得出三角形的底和高，求出面积即可。

25．【答案】（1）解：逆命题：P是等边三角形ABC内的一点，若PA=PB=PC，则P到三边的距离相等．该逆命题成立．已知：如图：P是等边△ABC内的一点，若PA=PB=PC，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，求证：PD=PE=PF.证明：∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C在AB的垂直平分线上，∴CP是AB的垂直平分线，∴CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴P是△ABC三个角的角平分线的交点，又∵PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，∴PD=PE=PF．

（2）证明：设AB边上的高为h，

∵AB=BC=AC且S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△APC，

∴AB.h=AB.PD+BC.PE+AC.PF，

∴h=PD+PE+PF，

∴点P到等边△ABC各边的距离之和为定值．定值为该三角形任意边上的高长.

【解析】【分析】（1）由垂直平分线的判定得出点P、点C均在AB的垂直平分线上，即CP是AB的垂直平分线；再根据等腰三角形的性质得出CP平分∠ACB；

同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得出PD=PE=PF．

（2）设AB边上的高为h，由S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△APC，从而得出h=PD+PE+PF，即为定值.

26．【答案】解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，∴3∠ABP＝120°﹣24°，∴∠ABP＝32°；（Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC，∴BM⊥AC，∴∠BMC＝90°，∵PD⊥BC，点D是BC边的中点，∴PD垂直平分BC，∴PB＝PC，∵△PCM的周长为m+2，∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2，∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BMCM＝m2+2BMCM＝（m+2）2，∴BMCM＝2m+2，∴△BCM的面积＝BMCM＝m+1．

【解析】【分析】（Ⅰ）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（Ⅱ）根据直角三角形的性质得到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BMCM＝2m+2，于是得到结论．

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八年级期中试题01

120分钟120分

一、填空题18分，每题3分

1．只有一条对称轴的三角形是三角形；等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有条；角的对称轴是这个角的；线段的对称轴是．

2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是.

3．小明把一副含45°，30°角的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于.

4．如图，在中，AD和AE分别是边BC上的中线和高，已知，求高．

5．已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是边形．

6．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q.点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，.下列结论：

①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是.

二、单选题36分每题3分

7．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

8．下列图形分别是等边三角形、正方形、正五边形、等腰直角三角形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

9．正八边形和下列哪种正多边形可以镶嵌整个平面（）

A．B．

C．D．

10．已点和关于x轴对称，则的值为（）

A．3B．0C．D．1

11．下列图案中，不是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

12．永寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，均为十三层八角形楼阁式砖塔，如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（）

A．80°B．100°C．120°D．135°

13．如图，射线AB，AC被射线DE所截，图中的∠1与∠2是（）

A．内错角B．对顶角C．同位角D．同旁内角

14．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（）

A．l垂直ABB．l平分ABC．l垂直平分ABD．不能确定

15．已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

16．如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则的长度为（）

A．B．1C．D．2

17．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）

A．AF＝CF

B．∠DCF＝∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有5个

D．tan∠CAD＝

18．如图，与是一对全等的等边三角形，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是轴对称图形.其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

三、解答题19题4分，20题6分，21至22每题8分，23至26每题10分

19．如图，在中，，是的中点，连接．，，是垂足．图中共有多少对全等三角形？请直接用“”符号把它们分别表示出来（不要求证明）．

20．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：．

21．如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝50°，OD平分AOC，∠DOE＝90°

①求∠BOD的度数；②OE是∠BOC的平分线吗？为什么？

22．如图在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：

甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

根据两人的作法请分别做出判断，并证明．

23．如图，点B在射线AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE．

求证：AC=AD．

24．在直角坐标系中，已知A（1，5），B（﹣4，﹣2），C（1，0）三点．

（1）点A关于x轴的对称的A′的坐标为；点B关于y轴的对称点B′的坐标为；点C关于y轴的对称点C′的坐标为．

（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．

25．已知命题：“P是等边△ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC．”

（1）写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．

（2）进一步证明：点P到等边△ABC各边的距离之和为定值．

26．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．

（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；

（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．

答案解析部分

1．【答案】等腰三角形；3；平分线；垂直平分线

【解析】【解答】解：三角形只有一条对称轴时，只能有一种折叠方式使两部分重合，故也只能有两条边相等或两个角相等，所以只能是等腰三角形；等边三角形任意一条边上的垂直平分线都是对称轴，故其有3条对称轴；角沿着其对称轴能折叠后，两部分能完全重合，故其对称轴是它的角平分线；线段的对称轴是线段两部分折叠能完全重合的，因此只能是其垂直平分线。

故答案为：等腰三角形；3；平分线；垂直平分线。

【分析】等腰三角形底边上的中线，高，角平分线三线合一，与等腰三角形的对称轴重合；等边三角形三边的中线，高，角平分线都三线合一，由此可得出对称轴条数；角的平分线将角分成相等的两部分，由此即可得出角的对称轴；根据线段的特点分析线段的对称轴即可.

2．【答案】（2，-1）

【解析】【解答】解：点与点关于轴对称，

点的坐标是：（2，-1）.

故答案为：（2，-1）.

【分析】关于轴对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答即可.

3．【答案】210°

【解析】【解答】解：如图，

∵，，

∴＝

＝

＝

＝210°.

故答案为：210°.

【分析】由三角形外角定理可得，，故＝＝，根据角的度数代入即可求得.

4．【答案】

【解析】【解答】是边BC上的中线

中，

故答案为：

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，利用勾股定理求出AB的长，根据△ABC的面积=，从而求出AE.

5．【答案】五或六或七

【解析】【解答】解：设内角和为的多边形的边数是，

，

解得：，

包装盒的底面是六边形，

如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；

如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；

如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．

故答案为：五或六或七．

【分析】根据多边形的内角和定理求出多边形的边的数量，继而判断得到答案即可。

6．【答案】①②④⑤

【解析】【解答】解：如图，连接BD，

∵正方形ABCD，

∴AP与BD互相垂直平分，

∴PB=PD，

∴①符合题意；

如图，延长DA使得AK=CF，连接BK，

又∵AB=BC，∠BAK＝∠BCF＝90°，

∴△BAK≌△BCF（SAS），

∴∠CBF＝∠ABK，BK=BF，∠K=∠BFC，

∵∠EBF=45°，

∴∠ABE+∠CBF=45°，

∴∠KBF=∠ABK+∠ABE=45°，

∴∠EBK＝∠EBF，

∴△EBK≌△EBF（SAS），

∴∠K=∠EFB，∠KEB=∠FEB，

∴∠EFB=∠BFC，

∴∠EFD＝180°-（∠EFB+∠BFC）＝180°-2∠BFC=180°-2（90°-∠FBC），

∴∠EFD＝2∠FBC

∴②符合题意；

如图，作∠CBG=∠ABP，使得BG=BP，与AC的延长线交于点M，连接CG，

∴∠PBM=∠ABC=90°，

∵∠BPM＞45°，

∴∠GMC＜45°，

易证△ABP≌△CBG（SAS），

∴∠BAP=∠BCG=45°，

∴∠GCM=∠PCG=90°，

∴GC≠CM，即AP≠CM，

∴PQ≠PA+CQ，

∴③不符合题意；

∵正方形ABCD，

∴∠EBF=∠BCP=∠FCP=45°，∠PQB=∠FQC，

∴△BQP∽△CQF，

∴BQ：CQ=PQ：FQ，

又∵∠BQC=∠PQF，

∴∠BCQ＝∠PFQ=45°，

∴∠PBF＝∠PFB＝45°，

∴△BPF是等腰直角三角形，

∴④符合题意；

如图所示，连接BD，

∴当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，

∵BC=CD=BA=AD=2，

∴BD=2，

∵∠EPF＝∠EDF＝90°，

∴E，D，F，P四点共圆，

∴∠PEF＝∠PDF，

∵PB＝PD＝PF，

∴∠PDF＝∠PFD，

∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，

∴∠AEB＝∠DFP=∠PDF=∠PEF，

∴∠AEB＝∠BEH，

∵BH⊥EF，

∴∠BAE＝∠BHE＝90°，

∵BE＝BE，

∴△BEA≌△BEH（AAS），

∴BA=BH=2，

∴DHmin=BD-BH=2-2.

∴正确的有①②④⑤.

故答案为：①②④⑤

【分析】如图，连接BD，根据正方形性质及线段垂直平分线的性质易得PB=PD，故①符合题意；如图，延长DA使得AK=CF，连接BK，先由“SAS”定理证出△BAK≌△BCF，得∠CBF＝∠ABK，BK=BF，∠K=∠BFC，通过角的和差关系推出∠EBK＝∠EBF，由“SAS”定理证出△EBK≌△EBF，得∠K=∠EFB，∠KEB=∠FEB，从而得∠EFB=∠BFC，通过角的互补关系及角的和差关系推出∠EFD＝2∠FBC，故②符合题意；作∠CBG=∠ABP，使得BG=BP，与AC延长线交于点M，连接CG，由∠PBM=∠ABC=90°，则∠BPM＞45°，∠GMC＜45°，易证△ABP≌△CBG，得∠BAP=∠BCG=45°，∠GCM=∠PCG=90°，可知GC≠CM，即AP≠CM，PQ≠PA+CQ，故③不符合题意；由两组角相等易证出△BQP∽△CQF，由相似性质及角的等量关系可得∠PBF＝∠PFB＝45°，即得出△BPF是等腰直角三角形，故④符合题意；如图所示，连接BD，当点B、H、D三点共线时，DH值最小，易求得BD=2，根据∠EPF＝∠EDF＝90°，则E，D，F，P四点共圆，由圆周角定理和角的等量关系代换可得∠AEB＝∠BEH，又∠BAE＝∠BHE＝90°，BE＝BE，即证出△BEA≌△BEH，可得BA=BH=2，再由DHmin=BD-BH，代入数据计算即可求解.

7．【答案】B

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，不合题意．

故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。

8．【答案】B

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、既是轴对称又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故答案为：B.

【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，据此对各选项逐一判断.

9．【答案】B

【解析】【解答】解：正八边形的每个内角是（82）×180°÷8＝135°，

正三角形的每个内角是60°，

正方形每个内角是90°，

正五边形每个内角是（52）×180°÷5＝108°，

正六边形每个内角是（62）×180°÷6＝120°，

∵135°×2＋90°＝360°，

∴两块正八边形和一块正方形可以实现密铺，故B符合题意．

故答案为：B．

【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键看位于同一顶点处的几个角能否为360°，若能，则可以进行平面镶嵌，反之，则不能，据此解答即可.

10．【答案】C

【解析】【解答】解：∵点和关于x轴对称，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：C．

【分析】根据关于x轴对称的点其横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而根据有理数的加法算出答案.

11．【答案】C

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故正确；

D、是轴对称图形，故错误．

故选C．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

12．【答案】D

【解析】【解答】解：正八边形的每个内角的度数为，

故答案为：D．

【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求解即可。

13．【答案】A

【解析】【解答】解：如图，∠1与∠2都夹在两被截直线AC、AB之间，在第三条直线DE的两侧，满足内错角的定义，

故∠1与∠2是内错角，

故答案为：A.

【分析】利用内错角的定义：两个角在两被截直线之间，在第三条直线的两侧，观察图形可得答案。

14．【答案】D

【解析】【解答】因为只知道直线l经过点C，所以无法判定直线l与AB的关系.

故答案为：D.

【分析】因为只说明了直线l经过点C，无其它条件限制，各种可能都能发生，所以无法确定直线L与AB的关系.

15．【答案】C

【解析】【解答】周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，共3个

故答案为：C

【分析】由于等腰三角形的两腰相等，且都是整数，周长为13，故根据三角形三边之间的关系即可得出答案。

16．【答案】B

【解析】【解答】解：∵△ADG的面积为，DG=GE，

∴S△ADE=2S△ADG=5；

∵将△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，

∴∠BFD=90°，S△ABD=S△ADE=5，

∴即，

解之：DF=1

故答案为：B.

【分析】利用已知条件可求出△ADE的面积，再利用折叠的性质可得到△ABD的面积，利用三角形的面积公式及△ABD的面积，可求出DF的长.

17．【答案】D

【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴＝，

∵AE＝AD＝BC，

∴＝，故A不符合题意；

B、过D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝BC，

∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF＝DC，

∴∠DCF＝∠DFC，故B不符合题意；

C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C不符合题意．

D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有＝．

∵tan∠CAD＝＝＝，故D符合题意．

故答案为：D．

【分析】A.由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以；

B.过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论；

C.根据相似三角形的判定即可求解，不符合题意；

D.由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D．

18．【答案】D

【解析】【解答】解：∵△ABP与△CDP是一对全等的等边三角形，

∴AB=AP=BP=DP=DC=PC，∠BAP=∠ABP=∠APB=∠DPC=60°，

∵，∴∠APD=90°，

∴∠PAD=∠ADP=45°，∠BPC=360°－90°－60°－60°=150°，

∴∠PBC=∠PCB=15°，故①错误；

∵∠BAD=60°+45°=105°，∠ABC=60°+15°=75°，

∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，

∴AD∥BC，故②正确；

延长CP交AB于点E，如图，

∵∠ABC+∠PCB=75°+15°=90°，

∴∠BEC=90°，即，故③正确；

∵AD∥BC，AB=DC，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

∴四边形是轴对称图形，故④正确；

综上，正确的是②③④.

故答案为：D.

【分析】根据题意可判断△APD是等腰直角三角形，△PBC是顶角为150°的等腰三角形，于是根据三角形的内角和可求出∠PBC的度数，进而可判断①；计算∠BAD+∠ABC的度数后即可判断②；延长CP交AB于点E，如图，计算∠ABC+∠PCB即可得出∠BEC的度数，于是可判断③；易知AB=CD，再结合②的结论即可判断④，进而可得答案.

19．【答案】解：共有3对．△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF

【解析】【分析】共有3对．△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF

20．【答案】证明：∵，

∴，

即，

在和中，

，

∴．

【解析】【分析】先证明，再利用“SSS”证明即可。

21．【答案】解：①∵∠AOC=50°，OD平分AOC，

∴∠1=∠2=∠AOC=25°，

∴∠BOD的度数为：180°﹣25°=155°；

②∵∠AOC=50°，

∴∠COB=130°，

∵∠DOE=90°，∠DOC=25°，

∴∠COE=65°，

∴∠BOE=65°，

∴OE是∠BOC的平分线．

【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质，求出∠1和∠2的度数，然后根据互补两角的关系求解；（2）通过角的和差关系求出∠COE和∠BOE的度数，然后得到角平分线OE.

22．【答案】解：甲、乙做法都正确．

甲做法：

证明：∵MN垂直平分AC，

∴AO=CO，∠AOM=90°，

又∵AD∥BC，

∴∠MAC=∠NCA，

在△AOPM和△CON中，

，

∴△AOPM≌△CON，

∴OM=ON，

∴AC和MN互相垂直平分，

∴四边形ANCM是菱形；

乙做法：

证明：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAF，

又∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA

∴AB=BE，

同理可得AB=AF，

∴BE=AF，

∵BE∥AF，

∴四边形ABEF为平行四边形

又∵AB=BE，

∴四边形ANCM是菱形

【解析】【分析】对于甲做法：利用MN垂直平分AC得到AO=CO，∠AOM=90°，再由AD∥BC得到∠MAC=∠NCA，则可证明△AOPM≌△CON，所以OM=ON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形ANCM是菱形；

对于乙做法：由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAF，再由AD∥BC得到∠EAF=∠BEA，则∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，同理可得AB=AF，所以BE=AF，于是可证明四边形ABEF为平行四边形，再加上邻边相等可判断四边形ANCM是菱形．

23．【答案】证明：∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABD+∠DBE=180°，∠CBE=∠DBE，

∴∠ABC=∠ABD，

在△ABC和△ABD中，

∴△ABC≌△ABD（ASA），

∴AC=AD．

【解析】【分析】首先根据等角的补角相等可得到∠ABC=∠ABD，再有条件∠CAE=∠DAE，AB=AB可利用ASA证明△ABC≌△ABD，再根据全等三角形对应边相等可得结论．

24．【答案】（1）（1，﹣5）；（4，﹣2）；（﹣1，0）

（2）解：S△A′B′B′=S△ABC=AC|xB|=×5×5=12.5.

【解析】【解答】解：（1）点A关于x轴的对称的A′的坐标为（1，﹣5）；点B关于y轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）；点C关于y轴的对称点C′的坐标为（﹣1，0）．

故答案为：（1，﹣5）；（4，﹣2）；（﹣1，0）.

【分析】（1）根据两点关于y轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出各个点坐标。

（2）根据坐标，得出三角形的底和高，求出面积即可。

25．【答案】（1）解：逆命题：P是等边三角形ABC内的一点，若PA=PB=PC，则P到三边的距离相等．该逆命题成立．已知：如图：P是等边△ABC内的一点，若PA=PB=PC，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，求证：PD=PE=PF.证明：∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C在AB的垂直平分线上，∴CP是AB的垂直平分线，∴CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴P是△ABC三个角的角平分线的交点，又∵PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，∴PD=PE=PF．

（2）证明：设AB边上的高为h，

∵AB=BC=AC且S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△APC，

∴AB.h=AB.PD+BC.PE+AC.PF，

∴h=PD+PE+PF，

∴点P到等边△ABC各边的距离之和为定值．定值为该三角形任意边上的高长.

【解析】【分析】（1）由垂直平分线的判定得出点P、点C均在AB的垂直平分线上，即CP是AB的垂直平分线；再根据等腰三角形的性质得出CP平分∠ACB；

同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得出PD=PE=PF．

（2）设AB边上的高为h，由S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△APC，从而得出h=PD+PE+PF，即为定值.

26．【答案】解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，∴3∠ABP＝120°﹣24°，∴∠ABP＝32°；（Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC，∴BM⊥AC，∴∠BMC＝90°，∵PD⊥BC，点D是BC边的中点，∴PD垂直平分BC，∴PB＝PC，∵△PCM的周长为m+2，∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2，∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BMCM＝m2+2BMCM＝（m+2）2，∴BMCM＝2m+2，∴△BCM的面积＝BMCM＝m+1．

【解析】【分析】（Ⅰ）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（Ⅱ）根据直角三角形的性质得到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BMCM＝2m+2，于是得到结论．

广西南宁市2023年秋期人教版数学

八年级期中试题01

120分钟120分

一、填空题18分，每题3分

1．只有一条对称轴的三角形是三角形；等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有条；角的对称轴是这个角的；线段的对称轴是．

2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是.

3．小明把一副含45°，30°角的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于.

4．如图，在中，AD和AE分别是边BC上的中线和高，已知，求高．

5．已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是边形．

6．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q.点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，.下列结论：

①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是.

二、单选题36分每题3分

7．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

8．下列图形分别是等边三角形、正方形、正五边形、等腰直角三角形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

9．正八边形和下列哪种正多边形可以镶嵌整个平面（）

A．B．

C．D．

10．已点和关于x轴对称，则的值为（）

A．3B．0C．D．1

11．下列图案中，不是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

12．永寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，均为十三层八角形楼阁式砖塔，如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（）

A．80°B．100°C．120°D．135°

13．如图，射线AB，AC被射线DE所截，图中的∠1与∠2是（）

A．内错角B．对顶角C．同位角D．同旁内角

14．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（）

A．l垂直ABB．l平分ABC．l垂直平分ABD．不能确定

15．已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

16．如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则的长度为（）

A．B．1C．D．2

17．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）

A．AF＝CF

B．∠DCF＝∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有5个

D．tan∠CAD＝

18．如图，与是一对全等的等边三角形，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是轴对称图形.其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

三、解答题19题4分，20题6分，21至22每题8分，23至26每题10分

19．如图，在中，，是的中点，连接．，，是垂足．图中共有多少对全等三角形？请直接用“”符号把它们分别表示出来（不要求证明）．

20．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：．

21．如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝50°，OD平分AOC，∠DOE＝90°

①求∠BOD的度数；②OE是∠BOC的平分线吗？为什么？

22．如图在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：

甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

根据两人的作法请分别做出判断，并证明．

23．如图，点B在射线AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE．

求证：AC=AD．

24．在直角坐标系中，已知A（1，5），B（﹣4，﹣2），C（1，0）三点．

（1）点A关于x轴的对称的A′的坐标为；点B关于y轴的对称点B′的坐标为；点C关于y轴的对称点C′的坐标为．

（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．

25．已知命题：“P是等边△ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC．”

（1）写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．

（2）进一步证明：点P到等边△ABC各边的距离之和为定值．

26．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．

（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；

（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．

答案解析部分

1．【答案】等腰三角形；3；平分线；垂直平分线

【解析】【解答】解：三角形只有一条对称轴时，只能有一种折叠方式使两部分重合，故也只能有两条边相等或两个角相等，所以只能是等腰三角形；等边三角形任意一条边上的垂直平分线都是对称轴，故其有3条对称轴；角沿着其对称轴能折叠后，两部分能完全重合，故其对称轴是它的角平分线；线段的对称轴是线段两部分折叠能完全重合的，因此只能是其垂直平分线。

故答案为：等腰三角形；3；平分线；垂直平分线。

【分析】等腰三角形底边上的中线，高，角平分线三线合一，与等腰三角形的对称轴重合；等边三角形三边的中线，高，角平分线都三线合一，由此可得出对称轴条数；角的平分线将角分成相等的两部分，由此即可得出角的对称轴；根据线段的特点分析线段的对称轴即可.

2．【答案】（2，-1）

【解析】【解答】解：点与点关于轴对称，

点的坐标是：（2，-1）.

故答案为：（2，-1）.

【分析】关于轴对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答即可.

3．【答案】210°

【解析】【解答】解：如图，

∵，，

∴＝

＝

＝

＝210°.

故答案为：210°.

【分析】由三角形外角定理可得，，故＝＝，根据角的度数代入即可求得.

4．【答案】

【解析】【解答】是边BC上的中线

中，

故答案为：

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，利用勾股定理求出AB的长，根据△ABC的面积=，从而求出AE.

5．【答案】五或六或七

【解析】【解答】解：设内角和为的多边形的边数是，

，

解得：，

包装盒的底面是六边形，

如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；

如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；

如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．

故答案为：五或六或七．

【分析】根据多边形的内角和定理求出多边形的边的数量，继而判断得到答案即可。

6．【答案】①②④⑤

【解析】【解答】解：如图，连接BD，

∵正方形ABCD，

∴AP与BD互相垂直平分，

∴PB=PD，

∴①符合题意；

如图，延长DA使得AK=CF，连接BK，

又∵AB=BC，∠BAK＝∠BCF＝90°，

∴△BAK≌△BCF（SAS），

∴∠CBF＝∠ABK，BK=BF，∠K=∠BFC，

∵∠EBF=45°，

∴∠ABE+∠CBF=45°，

∴∠KBF=∠ABK+∠ABE=45°，

∴∠EBK＝∠EBF，

∴△EBK≌△EBF（SAS），

∴∠K=∠EFB，∠KEB=∠FEB，

∴∠EFB=∠BFC，

∴∠EFD＝180°-（∠EFB+∠BFC）＝180°-2∠BFC=180°-2（90°-∠FBC），

∴∠EFD＝2∠FBC

∴②符合题意；

如图，作∠CBG=∠ABP，使得BG=BP，与AC的延长线交于点M，连接CG，

∴∠PBM=∠ABC=90°，

∵∠BPM＞45°，

∴∠GMC＜45°，

易证△ABP≌△CBG（SAS），

∴∠BAP=∠BCG=45°，

∴∠GCM=∠PCG=90°，

∴GC≠CM，即AP≠CM，

∴PQ≠PA+CQ，

∴③不符合题意；

∵正方形ABCD，

∴∠EBF=∠BCP=∠FCP=45°，∠PQB=∠FQC，

∴△BQP∽△CQF，

∴BQ：CQ=PQ：FQ，

又∵∠BQC=∠PQF，

∴∠BCQ＝∠PFQ=45°，

∴∠PBF＝∠PFB＝45°，

∴△BPF是等腰直角三角形，

∴④符合题意；

如图所示，连接BD，

∴当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，

∵BC=CD=BA=AD=2，

∴BD=2，

∵∠EPF＝∠EDF＝90°，

∴E，D，F，P四点共圆，

∴∠PEF＝∠PDF，

∵PB＝PD＝PF，

∴∠PDF＝∠PFD，

∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，

∴∠AEB＝∠DFP=∠PDF=∠PEF，

∴∠AEB＝∠BEH，

∵BH⊥EF，

∴∠BAE＝∠BHE＝90°，

∵BE＝BE，

∴△BEA≌△BEH（AAS），

∴BA=BH=2，

∴DHmin=BD-BH=2-2.

∴正确的有①②④⑤.

故答案为：①②④⑤

【分析】如图，连接BD，根据正方形性质及线段垂直平分线的性质易得PB=PD，故①符合题意；如图，延长DA使得AK=CF，连接BK，先由“SAS”定理证出△BAK≌△BCF，得∠CBF＝∠ABK，BK=BF，∠K=∠BFC，通过角的和差关系推出∠EBK＝∠EBF，由“SAS”定理证出△EBK≌△EBF，得∠K=∠EFB，∠KEB=∠FEB，从而得∠EFB=∠BFC，通过角的互补关系及角的和差关系推出∠EFD＝2∠FBC，故②符合题意；作∠CBG=∠ABP，使得BG=BP，与AC延长线交于点M，连接CG，由∠PBM=∠ABC=90°，则∠BPM＞45°，∠GMC＜45°，易证△ABP≌△CBG，得∠BAP=∠BCG=45°，∠GCM=∠PCG=90°，可知GC≠CM，即AP≠CM，PQ≠PA+CQ，故③不符合题意；由两组角相等易证出△BQP∽△CQF，由相似性质及角的等量关系可得∠PBF＝∠PFB＝45°，即得出△BPF是等腰直角三角形，故④符合题意；如图所示，连接BD，当点B、H、D三点共线时，DH值最小，易求得BD=2，根据∠EPF＝∠EDF＝90°，则E，D，F，P四点共圆，由圆周角定理和角的等量关系代换可得∠AEB＝∠BEH，又∠BAE＝∠BHE＝90°，BE＝BE，即证出△BEA≌△BEH，可得BA=BH=2，再由DHmin=BD-BH，代入数据计算即可求解.

7．【答案】B

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，不合题意．

故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。

8．【答案】B

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、既是轴对称又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故答案为：B.

【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，据此对各选项逐一判断.

9．【答案】B

【解析】【解答】解：正八边形的每个内角是（82）×180°÷8＝135°，

正三角形的每个内角是60°，

正方形每个内角是90°，

正五边形每个内角是（52）×180°÷5＝108°，

正六边形每个内角是（62）×180°÷6＝120°，

∵135°×2＋90°＝360°，

∴两块正八边形和一块正方形可以实现密铺，故B符合题意．

故答案为：B．

【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键看位于同一顶点处的几个角能否为360°，若能，则可以进行平面镶嵌，反之，则不能，据此解答即可.

10．【答案】C

【解析】【解答】解：∵点和关于x轴对称，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：C．

【分析】根据关于x轴对称的点其横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而根据有理数的加法算出答案.

11．【答案】C

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故正确；

D、是轴对称图形，故错误．

故选C．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

12．【答案】D

【解析】【解答】解：正八边形的每个内角的度数为，

故答案为：D．

【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求解即可。

13．【答案】A

【解析】【解答】解：如图，∠1与∠2都夹在两被截直线AC、AB之间，在第三条直线DE的两侧，满足内错角的定义，

故∠1与∠2是内错角，

故答案为：A.

【分析】利用内错角的定义：两个角在两被截直线之间，在第三条直线的两侧，观察图形可得答案。

14．【答案】D

【解析】【解答】因为只知道直线l经过点C，所以无法判定直线l与AB的关系.

故答案为：D.

【分析】因为只说明了直线l经过点C，无其它条件限制，各种可能都能发生，所以无法确定直线L与AB的关系.

15．【答案】C

【解析】【解答】周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，共3个

故答案为：C

【分析】由于等腰三角形的两腰相等，且都是整数，周长为13，故根据三角形三边之间的关系即可得出答案。

16．【答案】B

【解析】【解答】解：∵△ADG的面积为，DG=GE，

∴S△ADE=2S△ADG=5；

∵将△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，

∴∠BFD=90°，S△ABD=S△ADE=5，

∴即，

解之：DF=1

故答案为：B.

【分析】利用已知条件可求出△ADE的面积，再利用折叠的性质可得到△ABD的面积，利用三角形的面积公式及△ABD的面积，可求出DF的长.

17．【答案】D

【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴＝，

∵AE＝AD＝BC，

∴＝，故A不符合题意；

B、过D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝BC，

∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF＝DC，

∴∠DCF＝∠DFC，故B不符合题意；

C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C不符合题意．

D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有＝．

∵tan∠CAD＝＝＝，故D符合题意．

故答案为：D．

【分析】A.由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以；

B.过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论；

C.根据相似三角形的判定即可求解，不符合题意；

D.由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D．

18．【答案】D

【解析】【解答】解：∵△ABP与△CDP是一对全等的等边三角形，

∴AB=AP=BP=DP=DC=PC，∠BAP=∠ABP=∠APB=∠DPC=60°，

∵，∴∠APD=90°，

∴∠PAD=∠ADP=45°，∠BPC=360°－90°－60°－60°=150°，

∴∠PBC=∠PCB=15°，故①错误；

∵∠BAD=60°+45°=105°，∠ABC=60°+15°=75°，

∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，

∴AD∥BC，故②正确；

延长CP交AB于点E，如图，

∵∠ABC+∠PCB=75°+15°=90°，

∴∠BEC=90°，即，故③正确；

∵AD∥BC，AB=DC，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

∴四边形是轴对称图形，故④正确；

综上，正确的是②③④.

故答案为：D.

【分析】根据题意可判断△APD是等腰直角三角形，△PBC是顶角为150°的等腰三角形，于是根据三角形的内角和可求出∠PBC的度数，进而可判断①；计算∠BAD+∠ABC的度数后即可判断②；延长CP交AB于点E，如图，计算∠ABC+∠PCB即可得出∠BEC的度数，于是可判断③；易知AB=CD，再结合②的结论即可判断④，进而可得答案.

19．【答案】解：共有3对．△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF

【解析】【分析】共有3对．△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF

20．【答案】证明：∵，

∴，

即，

在和中，

，

∴．

【解析】【分析】先证明，再利用“SSS”证明即可。

21．【答案】解：①∵∠AOC=50°，OD平分AOC，

∴∠1=∠2=∠AOC=25°，

∴∠BOD的度数为：180°﹣25°=155°；

②∵∠AOC=50°，

∴∠COB=130°，

∵∠DOE=90°，∠DOC=25°，

∴∠COE=65°，

∴∠BOE=65°，

∴OE是∠BOC的平分线．

【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质，求出∠1和∠2的度数，然后根据互补两角的关系求解；（2）通过角的和差关系求出∠COE和∠BOE的度数，然后得到角平分线OE.

22．【答案】解：甲、乙做法都正确．

甲做法：

证明：∵MN垂直平分AC，

∴AO=CO，∠AOM=90°，

又∵AD∥BC，

∴∠MAC=∠NCA，

在△AOPM和△CON中，

，

∴△AOPM≌△CON，

∴OM=ON，

∴AC和MN互相垂直平分，

∴四边形ANCM是菱形；

乙做法：

证明：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAF，

又∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA

∴AB=BE，

同理可得AB=AF，

∴BE=AF，

∵BE∥AF，

∴四边形ABEF为平行四边形

又∵AB=BE，

∴四边形ANCM是菱形

【解析】【分析】对于甲做法：利用MN垂直平分AC得到AO=CO，∠AOM=90°，再由AD∥BC得到∠MAC=∠NCA，则可证明△AOPM≌△CON，所以OM=ON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形ANCM是菱形；

对于乙做法：由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAF，再由AD∥BC得到∠EAF=∠BEA，则∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，同理可得AB=AF，所以BE=AF，于是可证明四边形ABEF为平行四边形，再加上邻边相等可判断四边形ANCM是菱形．

23．【答案】证明：∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABD+∠DBE=180°，∠CBE=∠DBE，

∴∠ABC=∠ABD，

在△ABC和△ABD中，

∴△ABC≌△ABD（ASA），

∴AC=AD．

【解析】【分析】首先根据等角的补角相等可得到∠ABC=∠ABD，再有条件∠CAE=∠DAE，AB=AB可利用ASA证明△ABC≌△AB