二重积分的计算法

时间---------月---------日星期-----------------课题§10.2二重积分的计算法教学目的使学生掌握利用直角坐标及极坐标计算二重积分的方法。教学重点将二重积分化为二次积分。教学难点将二重积分化为二次积分。课型基础课备课组教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点一、利用直角坐标系计算二重积分利用二重积分的几何意义来建立计算公式。假定，积分区域D为，称为X型区域如图，其中在区间上连续。现在利用平行于平面的平面去截曲顶柱体，其截面是一个以为底，曲线为曲边的曲边梯形。由定积分的几何意义可知，截面面积为根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为从而有等式（1）上式右端的两个定积分:先对，后对积分，称之为累次积分，这个累次积分可记作即.此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页类似地，如果积分区域D可以表示为称为型区域（如图），其中函数在区间上连续，那么就有这就是先对，后对积分的累次积分。注：（1）有的情况下积分区域既是型区域又是型区域（如右图），不妨设为，则．为计算方便，可以选择积分次序，在必要时也可交换积分次序．（2）若积分区域较复杂，可将其分成若干个互不相交的型区域或型区域．如右图中：，则有．（3）利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算．设函数在闭区域D上连续，且关于轴对称，位于轴上方的部分记为，则在上若，则；若，则．当区域关于轴对称，函数关于变量有奇偶性时有类似的结果．在利用这种方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面．例１计算其中D是由直线及所围成的闭区域；由抛物线和直线所围成的闭区域．解：（1）解法1．将D看作X–型区域，则．于是．解法2．将D看作Y–型区域，则．于是，．（2为计算简便，先对x后对y积分，则．于是，．例2计算二重积分，其中是直线及双曲线所围成的区域．解：首先画出D的图形（如图7.10）。由图可知D是X–型区域，即：所以如果利用Y–型区域，就必须将D分成两部分，比较麻烦。例3.求两个圆柱面，相交部分的体积。解：利用立体关于坐标平面的对称性（如图7.11-7.12），所求的体积为第一卦线体积的8倍。第一卦限部分的底为它的顶为柱面，于是例4设D由曲线及所围成的区域，计算。解:先对后对积分，有注：若先对后对积分就不能计算了！例5（地科）计算二重积分，其中区域D是由所围成的上半平面中的图形。解：因此例6（地科）设D是由直线抛物线所围的区域，求解：X-区域：Y-区域：例7（地科）设D是以为顶点的三角形区域，求解：先对后对积分，有二、利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分我们知道二重积分的定义为：下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式假设以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆（常数）构成的网将区域D分为n个小闭区域小闭区域的面积为其中表示相邻两圆弧的半径的平均值在这个小的闭区域内取圆周上的一点，该点的直角坐标若为，则由直角坐标与极坐标之间的关系有。于是所以即若积分区域D可表示成：，（如图7.15）其中在连续，则有或特别地，若积分区域D可以表示成：，（如图7.16）则如果区域D是一条把原点O包围在其内部的封闭曲线所围成，即D表示为（图7.17），则例8计算其中区域D是由圆周所围成解令，则在极坐标系中D可以表示为，于是注意：本题如果用直角坐标计算，由于积分不能用初等函数表示，所以算不出来。我们可以利用上面的结果来计算工程上常用的反常积分。设，，显然，而被积函数满足,故再利用例8的结果有,,故不等式改写成：所以当时有,即。例9求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍，其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域在极坐标系中D可表示为：，，所以例10求由双纽线所围成的区域的面积A。解：原方程在极坐标下为，由对称性（如图7.19），.例11（地科）计算Poisson积分。解：因为无法作初等函数的原函数，所以不能直接进行积分。但是由于其中D为整个坐标平面，由于被积函数和积分区域的对称性，只要计算它在第一象限上的积分，因为所以因此。注意：使用极坐标变换计算二重积分的原则：(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)、被积函数