大三上课件概率统计概统第14讲

1概率与统计

第十四讲随机变量的方差与协方差主讲教师：赵慧秀

主页2E(X)=E(Y)＝4,但是二者在期望附近的分散程度差别大，直观上看，Y的分散范围比X大，需要引入一个指标来刻画随机变量在期望附近的散布程度——方差。34.2方差

一.定义与性质方差是衡量随机变量取值在期望附近波动（分散）程度的一个数字特征。？如何定义？41.(p121)定义

若E(X2)存在，则称E[X-E(X)]2为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X).称 为随机变量X的标准差可见注：D(X)≥05

2.推论

D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

若E(X2)=0,则D(X)=0,E(X)=0例1：设随机变量X的概率密度为1)求D(X）,2)求解；63.方差的性质(p124)(1)D(c)=0反之，若D（X）=0，则存在常数C，使

P{X=C}=1,且C=E(X);

(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；(3)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);71.二项分布B(n,p)：二.几个常用随机变量的方差2.泊松分布p(

)：3.均匀分布U(a,b)：4.指数分布：E(λ)5.正态分布N(

,

2)：1.0-1分布：89EX.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立同分布于标准正态分布，令Y=X1+X2+…+Xn

，求E（Y2）10三.切比雪夫不等式

若随机变量X的期望和方差存在，则对任意

0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有以下等价的形式：结论的作用：估算随机变量落在关于均值对称区域上的概率。11例2已知正常成年男性血液中，每一毫升血液白细胞平均数是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200～9400之间的概率。解：设X:正常成年男性每毫升血液中白细胞数。P(5200<X<9400)=P(|X-7300|<2100)≥1-7002/21002=8/912方差的定义期望、方差的性质对比切比雪夫不等式13期望、方差的性质对比期望方差E(c)=CD(c)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),E(X+Y)=E(X)+E(Y)当X与Y独立时D(X+Y)=D(X)+D(Y)当X与Y独立时E(XY)=E(X)E(Y)14

设随机变量X,,求EX称为随机变量X的标准化.153.3协方差与相关系数

1.定义(p82)

若随机变量（X，Y）的E(X），E(Y),E(XY)存在,则称Cov(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}.为X与Y的协方差.

易见Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).注：协方差>0，两个随机变量倾向于同时取较大值或较小值（相同的变化趋势）;协方差<0，两个随机变量取值有相反变化趋势，协方差体现了两个随机变量的平均变化趋势。162.协方差性质(p84)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数证:Cov(aX,bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY) =abE(XY)-aE(X)bE(Y) =ab[E(XY)-E(X)E(Y)] =abCov(X,Y)17

(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)；证:Cov(X+Y，Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)－E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)推广Cov(X+Y，Z+W)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)+Cov(X,W)+Cov(Y,W);

(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).

推广：注:D(X-Y)=D[X+(-Y)]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)18设随机变量XB（12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差EX194相关系数

1.定义(p85)

若随机变量X，Y的DX>0,DY>0，则称称为X与Y的相关系数.

202.相关系数的性质(p85)

(1)|

XY|1；

(2)|

XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；

定义:当

XY=0时,称X与Y不相关.证明?“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？图示21考虑Y与X的线性函数aX+b的”距离”:求a,b使e最小.22考虑Y与X的线性函数aX+b的”最小距离”:取a,b使e最小:令解得:(2)23将(2)带入(1),得(3)易见,当时,Y与X的线性函数a0X+b0的”距离”为0(P(Y=a0X+b0)=1)。说明此时可以用X的线性函数a0X+b0表示Y.反之亦然。24对应的(X,Y).25例1

设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2

1}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。证:26X与Y不相关.而故,X与Y不独立.27以上的结果说明了什么？EX解1)2)28可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。课外练习293.4矩、协方差矩阵1.K阶原点矩Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2.K阶中心矩Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；3.K+l阶混合原点矩

E(XkYl),k,l=0,1,2,…；4.K+l阶混合中心矩

E{[X

E(X)]k[Y

E(Y)]l},k,l=0,1,2,…；305.协方差矩阵定义设X1，…,Xn为n个随机变量,记cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量X1，…,Xn的协方差矩阵C。即C非负定性，C≥0316.均值矢量：32概率与统计

第十五讲n维正态分布的性质开课系：理学院统计与金融数学系

主页337.n维正态分布及其性质定义:n维正态随机变量X的联合概率密度函数为：其中，记作:34

性质:设n维变量则

1.的均值矢量与协方差矩阵分别为：2.若，相互独立的充分必要条件是两两不相关，即协方差矩阵C为对角矩阵。3.服从n维正态分布的充分必要条件是它的任何一个线性组合服从一维正态分布354.设n维正态变量，A是矩阵，B是n维矢量，即则是m维正态变量，即服从m维正态分布，且有36推论：若37

设(X,Y)服从N(1,0,32,42,-0.5)分布， Z=X/3+Y/2 1)求Z的期望与方差; 2)求X与Z的相关系数; 3)问X与Z是否相互独立？为什么？ EX(3),服从二维正态分布.由(2),X与Z独立.38协方差与相关系数的定义期望、方差、协方差的性质对比不相关与独立39期望、方差、协方差的性质对比期望方差协方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)当X与Y独立时E(XY)=E(X)E(Y)当X与Y独立