吉林省白山市第七中学2024届高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

吉林省白山市第七中学2024届高二上数学期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（）A.1 B.C. D.2．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标与向量的模长分别是（）A.；5 B.；C.； D.；3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（，）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.5．已知实数x，y满足，则的最大值为（）A. B.C.2 D.16．过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.7．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B.C. D.8．方程表示的图形是A.两个半圆 B.两个圆C.圆 D.半圆9．与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.10．椭圆的离心率为（）A. B.C. D.11．已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则最大值为A.3 B.4C.7 D.912．已知数列中，，，是的前n项和，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是________14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.15．给出下列命题：①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；③若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直.其中所有正确命题的序号为________.16．已知向量，，若向量与向量平行，则实数______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）立德中学举行冬令营活动期间，对位参加活动的学生进行了文化和体能测试，满分为150分，其测试成绩都在90分和150分之间，成绩在认定为“一般”，成绩在认定为“良好”，成绩在认定为“优秀”．成绩统计人数如下表：体能文化一般良好优秀一般0良好3优秀2例如，表中体能成绩良好且文化成绩一般的学生有2人（1）若从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生概率为．求，的值；（2）在（1）的情况下，从体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人文化的成绩为优秀的概率；（3）若让使参加体能测试的成绩方差最小，写出的值．（直接写出答案）18．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值19．（12分）平行六面体，（1）若，，，，，，求长；（2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值20．（12分）已知椭圆长轴长为4，A，B分别为左、右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，且点在椭圆上，其中e为椭圆的离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）直线AP与直线（m为常数）交于点Q，①当时，设直线OQ的斜率为，直线BP的斜率为．求证：为定值；②过Q与PB垂直的直线l是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由21．（12分）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：（1）n的值；（2）展开式中x项的系数；（3）展开式中所有含x的有理项22．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】作垂直准线于，垂直准线于，作于，结合抛物线定义得出斜率为可求.【详解】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，因为，，，由抛物线的定义可知：，，，所以，直线斜率为：.故选：C.2、B【解析】根据给定条件利用中点坐标公式及空间向量模长的坐标表示计算作答.【详解】因点，，所以线段的中点坐标为，.故选：B3、D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误故选D4、C【解析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.【详解】设圆的标准方程为，将坐标代入得:,解得，故圆的方程为，故选：C.5、A【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求出的最大值.【详解】作出可行域如图所示，由可知，此直线可用由直线平移得到，求的最大值，即直线的截距最大，当直线过直线的交点时取最大值，即故选：6、A【解析】由题意设直线方程为，根据点在直线上求参数即可得方程.【详解】由题设，令直线方程为，所以，可得.所以直线方程为.故选：A.7、D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8、D【解析】其中，再两边同时平方，由此确定图形【详解】根据题意，，再两边同时平方，由此确定图形为半圆.故选：D【点睛】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围9、D【解析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.【详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上，故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D.10、A【解析】由椭圆标准方程求得，再计算出后可得离心率【详解】在椭圆中，，，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，根据椭圆标准方程求出即可11、A【解析】整理数列的通项公式有：，结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，，原问题即：恒成立，当时，，即>3，综上可得：的最大值为3.本题选择A选项点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项12、D【解析】由，得到为递增数列，又由，得到，化简，即可求解.【详解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以数列为递增数列，所以，得，即，又由是的前项和，则.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查数列求和问题，关键在于由已知条件得出，运用裂项相消求和法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先求得点A关于x轴的对称点，然后数形结合结合直线方程求解点P的坐标即可.【详解】点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，如图所示，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求直线A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13则点P的坐标是.【点睛】本题主要考查直线方程的应用，最值问题的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、①.②.【解析】建立空间直角坐标系，根据，可得对应的轨迹方程；先求的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点到平面的距离的最小值即可.【详解】分别以为轴建系，设，而,,，,.由,有，化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.易得的三个边即是边长为为的等边三角形，其面积为，，设平面的一个法向量为，则有，可取平面的一个法向量为，根据点的轨迹，可设，，所以点到平面的距离，所以故答案为：；15、②③【解析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②③；由空间中平面与平面的位置关系判断④【详解】①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；②根据线面垂直的性质知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；③由线面垂直的性质知：若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行，故正确④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，这两个平面相交或平行，故错误.其中所有正确命题的序号为②③故答案为：②③16、2【解析】先求出的坐标，进而根据空间向量平行的坐标运算求得答案.【详解】由题意，，因为，所以存在实数使得.故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由题设可得求参数a，结合表格数据及已知总学生人数求参数b.（2）应用列举法求古典概型的概率.（3）应用表格数据及方差公式可得且，即可确定成绩方差最小对应的值.【小问1详解】设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生由题意知，体能或文化优秀的学生共有人，则，解得所以；【小问2详解】体能成绩为优秀的学生共有5人，在这5人中，文化成绩一般的人记为；文化成绩良好的人记为；文化成绩优秀的人记为从文化成绩优秀的学生中，随机抽取2人的样本空间，设事件：至少有一个人文化的成绩为优秀，，所以，体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，至少有一个人文化成绩为优秀的概率是；【小问3详解】由题设知：体能测试成绩，{一般，良好，优秀}人数分别为{5，，}，对应平均分为{100,120,140}，所以体能测试平均成绩，所以，而所以当时最小.18、（1）（2）（3）【解析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解；（2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解；（3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解.【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：因为，所以，即，解得.19、（1）；（2）.【解析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.【小问1详解】，，，，∴，；【小问2详解】∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，设与所成的角为，则.20、（1）（2）①证明见解析；②直线过定点；【解析】（1）依题意得到方程组，解得，即可求出椭圆方程；（2）①由（1）可得，，设，，表示出直线的方程，即可求出点坐标，从而得到、，即可求出；②在直线方程中令，即可得到的坐标，再求出直线的斜率，即可得到直线的方程，从而求出定点坐标；【小问1详解】解：依题意可得，即，解得或（舍去），所以，所以椭圆方程为【小问2详解】解：①由（1）可得，，设，，则直线的方程为，令则，所以，，所以，又点在椭圆上，所以，即，所以，即为定值；②因为直线的方程为，令则，因为，所以，所以直线的方程为，即又，所以，令，解得，所以直线过定点；21、（1）4（2）54（3）第1项，第3项，第5项【解析】（1）由题可得，解方程即得；（2）利用二项展开式的通项公式，即得；（3）利用二项展开式的通项公式，令，即求【小问1详解】由已知，得，即，所以或（舍），∴【小问2详解】设展开式的第项为令，得，则含x项的系数为【小问3详解】由（2）可知，令，则有，2，4，所以含x的有理项为第1项，第3项，第5项22、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN