湖北省武汉市青山区2024届数学高二上期末统考试题含解析

湖北省武汉市青山区2024届数学高二上期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是A.0 B.1C.2 D.32．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.163．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（）A.120种 B.48种C.36种 D.18种4．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）A. B.C. D.5．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测．把这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.5226．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（）A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；至多有1个红球7．椭圆（）的右顶点是抛物线的焦点，且短轴长为2，则该椭圆方程为（）A. B.C. D.8．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-29．已知向量，，则向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）10．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）11．在空间直角坐标系中，若，，则点B的坐标为（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）12．用反证法证明“若a，b∈R，，则a，b不全为0”时，假设正确的是（）A.a，b中只有一个为0 B.a，b至少一个不为0C.a，b至少有一个为0 D.a，b全为0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，若存在实数使得成立，则的取值范围是__________.14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的离心率是____________15．在等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和为________16．为和的等差中项，则_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求点C到平面的距离；（2）线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.18．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.19．（12分）设函数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.20．（12分）已知在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若的前n项和为，且，，求数列的前n项和21．（12分）已知直线与抛物线交于两点（1）若，直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；（2）若交于，求的值22．（10分）如图，已知椭圆的短轴端点为、，且，椭圆C的离心率，点，过点P的动直线l椭圆C交于不同的两点M、N与，均不重合），连接，，交于点T（1）求椭圆C的方程；（2）求证：当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动；（3）是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；故答案为B.【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假2、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C3、C【解析】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，再将另一奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.【详解】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有种，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.故选：C.4、D【解析】由抛物线定义可得，注意开口方向.详解】设∵点P到y轴的距离是4∴∵，∴.得：.故选：D.5、B【解析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.【详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，则需要分为组，每组人；设第组抽取的编号为，故可设，又第一组抽中号，故可得，解得故，当时，.故选：.6、C【解析】根据试验过程进行分析，利用互斥事件的定义对四个选项一一判断即可.【详解】对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件.故A错误；对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故B错误；对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误；对于D：“至多有1个红球”包含都是白球和一红一白，“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，所以“至多有1个白球”与“至多有1个红球”不是互斥事件.故D错误.故选：C7、A【解析】求得抛物线的焦点从而求得，再结合题意求得，即可写出椭圆方程.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，故可得；又短轴长为2，故可得，即；故椭圆方程为：.故选：.8、C【解析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，所以,故.所以.故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.9、B【解析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可得出答案.【详解】解：因为，，所以.故选：B.10、A【解析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.11、C【解析】利用点的坐标表示向量坐标，即可求解.【详解】设，，，所以，，，解得：，，，即.故选：C12、D【解析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设【详解】由于“a，b不全为0”的否定为：“a，b全为0”，所以假设正确的是a，b全为0.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将变形为，令，，分别研究其单调性及值域，使问题转化为即可.【详解】由题，，令，则，由，得，由，得，所以在递减，在递增，所以，令，则，由，得，由，得，所以在递增，在递减，所以，若存在实数使得成立，即存在实数使得成立，即存在实数使得恒成立所以，即，解得，所以取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将所求问题转为存在实数使得恒成立，结合的值域进一步转化为存在实数使得恒成立，再只需即可.14、5【解析】根据得出，设，从而利用双曲线的定义可求出，的关系，从而可求出答案.【详解】设双曲线的焦距为，则，因为，所以，因为，不妨设，，由双曲线的定义可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以双曲线的离心率故答案为：.15、【解析】求出等比数列的通项公式，可得出的通项公式，推导出数列为等差数列，利用等差数列的求和公式即可得解.【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，，则，所以，数列为等差数列，故数列的前项和为.故答案为：.16、【解析】利用等差中项的定义可求得结果.【详解】由等差中项的定义可得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在，1【解析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面向量的法向量和相应点的坐标，利用点面距离公式即可求得点面距离（2）假设满足题意的点存在且满足，由题意得到关于的方程，解方程即可确定满足题意的点是否存在【小问1详解】解：如图所示，取中点，连结，，因为三角形是等腰直角三角形，所以，因为面面，面面面，所以平面，又因为，所以四边形是矩形，可得，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则：据此可得，设平面的一个法向量为，则，令可得，从而，又，故求点到平面的距离【小问2详解】解：假设存在点，，满足题意，点在线段上，则，即：，，，，，据此可得：，，从而，，，，设与平面所成角所成的角为，则，整理可得：，解得：或（舍去）据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即18、（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，周长为考点：正余弦定理解三角形.19、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.【小问1详解】,,①当时，恒成立，在上单调递增.②当时，恒成立，在上单调递减，③当吋，，在单调递减，单调递增.综上所述，当吋，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，在单调递减，单调递增.【小问2详解】由题意可知：在单调递减，单调递增由（1）可知：①当时，在单调递增，则恒成立②当时，在单调递减，则应（舍）③当时，，则应有令，则，且在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解综上，.【点睛】关键点睛：运用构造函数法，结合存在性、任意性的定义进行求解是解题的关键.20、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件求出数列的公差即可求解作答.(2)由已知条件求出数列的通项，再利用错位相减法计算作答.【小问1详解】等差数列中，，解得，则公差，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】的前n项和为，，，则当时，，于是得，即，而，即，，因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，由(1)知，，则，因此，，，所以数列的前n项和.21、（1）6（2）2【解析】（1）通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；（2）根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OA⊥OB，得，根据数量积的计算即可得答案.【小问1详解】取AB的中点为E，当p=2时，抛物线为C：x2=4y，焦点F坐标为F（0，1），过A，E，B分别作准线y=-1的垂线，重足分别为I，H，G，在梯形ABGI中（图1），E是AB中点，则2EH=AI+BG，EH=2-（-1）=3，因为AB=AF+BF=AI+BG，所以AB=2EH=6.【小问2详解】设，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（图2），得kOD=-1，kAB=1，则直线AB的方程为y=x+4，由得，所以，由，得，即，即，可得，即，所以p=2.22、（1）（2）证明见解析；（3）不存在直线l，使得成立，理由见解析.【解析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组求得，设，根据和在同一条直线上，列出方程求得的值，即可求解；（3）设直线的为，把转