(完整版)高一函数大题训练附答案

(完整版)高一函数大题训练附答案一、解答题1．已知，当时，.（Ⅰ）若函数过点，求此时函数的解析式；（Ⅱ）若函数只有一个零点，求实数的值；（Ⅲ）设，若对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围.2．（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）已知函数，若在区间内有且仅有一个，使得成立，则称函数具有性质．（1）若，判断是否具有性质，说明理由；（2）若函数具有性质，试求实数的取值范围．3．已知函数有两个不同的零点.（1）求的取值范围；（2）记两个零点分别为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.4．若定义在上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数.（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值.（2）在（1）的条件下，定义数列求的值.（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证明：函数为偶函数；设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.5．已知函数.（1）当时，求函数的零点.（2）当，求函数在上的最大值；（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数的表达式.6．对于函数，若存在定义域中的实数，满足且，则称函数为“类”函数.（1）试判断，是否是“类”函数，并说明理由；（2）若函数，，为“类”函数，求的最小值.7．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．8．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记，；（1）求实数、的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的范围；（3）对于定义在上的函数，设，，用任意将划分成个小区间，其中，若存在一个常数，使得不等式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数，试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值；9．已知集合M是满足下列性质的函数的全体；在定义域内存在实数t，使得．（1）判断是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若，求证：对任意实数b，都有．10．对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数：②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”.（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；（2）若函数（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围；（3）对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.11．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的解析式.12．已知函数.（1）判断的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设，试讨论的零点个数情况.13．已知函数的定义域，值域为.（1）下列哪个函数满足值域为，且单调递增？（不必说明理由）①，②.（2）已知函数的值域，试求出满足条件的函数一个定义域；（3）若，且对任意的，有，证明：.14．已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为．⑴求，，并猜想不要求证明)；⑵令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；⑶已知数列满足：，数列满足：，求证：．15．记函数的定义域为D.如果存在实数、使得对任意满足且的x恒成立，则称为函数.（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；（2）设函数，其中常数，证明：是函数；（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（m为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.【参考答案】一、解答题1．（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）将点代入可得函数的解析式；（Ⅱ）函数有一个零点，即，根据对数运算后可得，将问题转化为方程有一个实根，分和两种情况，得到值，最后再代入验证函数的定义域；（Ⅲ）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值整理为，对任意恒成立，时，区间为函数的单调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解的取值范围.试题解析：（Ⅰ）函数过点，，，此时函数（Ⅱ）由得，化为，当时，可得，经过验证满足函数只有一个零点；当时，令解得，可得，经过验证满足函数只有一个零点，综上可得：或.（Ⅲ）任取且，则，，即，在上单调递减.函数在区间上的最大值与最小值分别为，，整理得对任意恒成立，令，函数在区间上单调递增，，即，解得，故实数的取值范围为.【点睛】本题以对数函数为载体，考查了函数的零点，单调性，最值，恒成立问题，以及转化与化归的能力，综合性比较高，最后一问转化为了二次函数的问题，所以需熟练掌握二次函数的恒成立问题.2．（Ⅰ）具有性质;（Ⅱ）或或【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）具有性质．若存在，使得，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数具有性质，即方程在上有且只有一个实根．设，即在上有且只有一个零点．讨论的取值范围，结合零点存在定理，即可得到的范围．试题解析：（Ⅰ）具有性质．依题意，若存在，使，则时有，即，，．由于，所以．又因为区间内有且仅有一个，使成立，所以具有性质5分（Ⅱ）依题意，若函数具有性质，即方程在上有且只有一个实根．设，即在上有且只有一个零点．解法一：（1）当时，即时，可得在上为增函数，只需解得交集得．（2）当时，即时，若使函数在上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（ⅰ）时，在上有且只有一个零点，符合题意．（ⅱ）当即时，需解得交集得．（ⅲ）当时，即时，需解得交集得．（3）当时，即时，可得在上为减函数只需解得交集得．综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或或14分解法二：依题意，（1）由得，，解得或．同时需要考虑以下三种情况：（2）由解得．（3）由解得不等式组无解．（4）由解得解得．综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或或14分．考点：1．零点存在定理；2．分类讨论的思想．3．（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点,对进行求导，通过单调性画出的草图，由与有两个交点进而得出的取值范围;（Ⅱ）分离参数得：,从而可得恒成立；再令,从而可得不等式在上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．试题解析：（I）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点.又，即当时，；当时，,所以在上单调递增，在上单调递减.从而.又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，，所以的草图如下：可见，要想函数与函数在图像上有两个不同交点，只需.（Ⅱ）由（I）可知分别为方程的两个根，即，，所以原式等价于.因为，，所以原式等价于.又由，作差得，，即.所以原式等价于.因为，原式恒成立，即恒成立.令，则不等式在上恒成立.令，则，当时，可见时，，所以在上单调递增，又在恒成立，符合题意；当时，可见当时，；当时，，所以在时单调递增，在时单调递减.又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，单调性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高，属于难题，其中（2）问中对两根的处理方法非常经典，将两个参数合并成一个参数，然后再构造函数，利用导函数进行分类讨论求解.4．（1）；；（2）2037171；（3）证明见解析，.【解析】【分析】（1）先令，，解出，然后再令解出；（2）由题意可以推出是以为首项，公比为的等比数列，然后得出数列的通项公式，再利用对数的运算法则求的值；（3）先令，得出，然后令，得可证明为偶函数；由时，，则，即，令(为正整数)，有，由此可递推得到对于任意为正整数，总有成立，即有时，成立，可设，，其中是非负整数，都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论即可得到大小.【详解】解：（1）令，，得，∴；再令，得，∴，∴.（2）由题意可知，令，，得，∴∴.∴是以3为首项，以2为公比的等比数列.因此，故有所以（3）令，，，又∵，∴令，，∴，即.∴对任意的实数总成立，∴为偶函数.结论：.证明：设，∵时，，∴，即.∴令，故，总有成立.∴对于，总有成立.∴对于，若，则有成立.∵，所以可设，，其中，是非负整数，，都是正整数，则，，令，，，则.∵，∴，∴，即.∵函数为偶函数，∴，.∴.【点睛】本题考查新定义函数问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，考查函数的基本性质在解题中的应用，属于难题.5．（1）零点为和1；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）将代入，令，去掉绝对值直接求解即可得出零点；（2）依题意，最大值在中取得，然后分类讨论即可得出答案；（3）问题可转化为在给定区间内恒成立，分及讨论得出答案．【详解】（1）当时，，令，解得：或(舍)；令，解得：；函数的零点为和；（2）由题意得：，其中，，最大值在中取.当，即时，在上单调递减，；当，即时，在上单调递增，上单调递减，；当，即时，在上单调递减，上单调递增，；，；综上所述：；（3）时，，，，问题转化为在给定区间内恒成立.，分两种情况讨论：当时，是方程的较小根，即时，；当时，是方程的较大根，即时，；综上所述：.【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，函数的零点与方程根的关系，属于难题.6．（1）不是.见解析（2）最小值为7.【解析】（1）不是，假设为类函数，得到或者，代入验证不成立.（2），得到函数的单调区间，根据题意得到，得到，得到答案.【详解】（1）不是.假设为类函数，则存在，使得，则，或者，，由，当，时，有，，所以，可得，不成立；当，时，有，，所以，不成立，所以不为类函数.（2），则在单调递减，在单调递增，又因为是类函数，所以存在，满足，由等式可得：，则，所以，则，所以得，从而有，则有，即，所以，则，由，则，令，当时，，且，，且连续不断，由零点存在性定理可得存在，使得，此时，因此的最小值为7.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力.7．（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可证明；（2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论.【详解】证明：（1）任取正常数，存在，所以，因为，即不恒成立，所以不是“同比不减函数”.（2）因为函数是“同比不减函数”，所以恒成立，即恒成立，对一切成立.所以.（3）设函数是“同比不减函数”，，当时，因为成立，所以，所以，而另一方面，若，（Ⅰ）当时，因为，所以，所以有成立.（Ⅱ）当时，因为，所以，即成立.综上，恒有有成立，所以的取值范围是.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.8．（1），；（2）；（3）证明见解析，；【解析】【分析】（1）由已知在区间上的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，易构造关于的方程组，解得的值。（2）求出，对任意恒成立等价于恒成立，求实数的范围。（3）根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论。【详解】（1）因为，因为，对称轴所以在区间上是增函数，又函数在区间上的最大值为，最小值为所以解得：所以故实数（2）由（1）可知因为，所以因为对任意恒成立，令根据二次函数的图像和性质可得：则令，则解得：即所以（3）函数为上的有界变差函数，又为上的单增函数，且对任意划分有所以所以存在常数M使得恒成立，即【点睛】此题考查函数新定义考法，前两问涉及二次函数单调性和最值，第三问创新性考查新定义函数旨在考查学生的思维能力有一定难度，属于较难题目。9．（1）不属于,理由详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）利用f（x）＝3x+2，通过f（t+2）＝f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）＝3x+2不属于集合M；（2）由属于集合M，推出有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）＝0有实解，对参数分类讨论，利用判断式求解即可；（3）当f（x）＝2x+bx2时，方程f（x+2）＝f（x）+f（2）⇔3×2x+4bx﹣4＝0，令g（x）＝3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．【详解】解：（1）当时，方程此方程无解，所以不存在实数t，使得，故不属于集合M﹒（2）由，属于集合M，可得方程有实解有实解有实解，若时，上述方程有实解；若时，有，解得，故所求a的取值范围是．（3）当时，方程，令，则在上的图像是连续的，当时，，，故在内至少有一个零点当时，，，故在内至少有一个零点故对任意的实数b，在上都有零点，即方程总有解，所以对任意实数b，都有．【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．10．（1）证明见详解；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知，，转化为是方程的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.【详解】（1）函数在时的值域为，不满足“保值函数”的定义，因此函数不是定义域上的“保值函数”.（2）因为函数在内是单调增函数，因此，，因此是方程的两个不相等的实根，等价于方程有两个不相等的实根.由解得或.（3），，即为对恒成立.令，易证在单调递增，同理在单调递减.因此，，.所以解得.又或，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.11．（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通过判断函数的单调性，求出的值域，进而可判断在上是否为有界函数；（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数的取值范围；（3）通过分离常数法求的值域，利用新定义进而求得的解析式．【详解】（1）当时，，由于在上递减，∴函数在上的值域为，故不存在常数，使得成立，∴函数在上不是有界函数（2）在上是以3为上界的有界函数，即，令，则，即由得，令，在上单调递减，所以由得，令，在上单调递增，所以所以；（3）在上递减，，即，当时，即当时，当时，即当时，∴.【点睛】本题主要考查学生利用所学知识解决创新问题的能力，涉及到函数求值域的有关方法，以及恒成立问题的常见解决思想．12．（1）的图象是中心对称图形，对称中心为：；（2）当或时，有个零点；当时，有个零点【解析】【分析】（1）设，通过奇偶性的定义可求得为奇函数，关于原点对称，从而可得的对称中心，得到结论；（2），可知为一个解，从而将问题转化为解的个数的讨论，即的解的个数；根据的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果.【详解】（1）设

定义域为：为奇函数，图象关于对称的图象是中心对称图形，对称中心为：（2）令，可知为其中一个解，即为一个零点只需讨论的解的个数即可①当时，无解有且仅有一个零点②当时，

为方程的解有，共个零点③当时，（i）若，即时，为方程的解有，共个零点（ii）若，即时，的解为：有且仅有一个零点（iii）若，即时，，方程无解有且仅有一个零点综上所述：当或时，有个零点；当时，有个零点【点睛】本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程根的个数的讨论，从而根据的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题.13．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由正切函数与对数函数的性质可直接判断；（2）由，得，进而利用正弦函数的性质列式求解即可；（3）利用反证法，假设存在使得，结合条件推出矛盾即可证得.【详解】（1）满足.不满足.（2）因为，所以即，所以所以满足条件的（答案不唯一）.（3）假设存在使得又有，所以，结合两式：，所以，故.由于知：.又.类似地，由于，得.所以，与矛盾，所以原命题成立.【点睛】本题主要考查了复合函数的性质及反