小学数学思维训练-不定方程

小学数学思维训练----不定方程一、知识讲解所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，方程的解不能唯一确定的方程或方程组。古希腊数学家丢番图于公元3世纪初就开始研究过不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。中国是研究不定方程最早的国家。学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。本讲主要学习二元一次不定方程和三元一次不定方程的解法，以及运用不定方程解答一些简单实际问题的方法。不定方程的解常常会附加一些限制条件，如要求是整数、自然数或正整数等等，这些条件对不定方程的求解至关重要，解题过程中要认真分析，尤其是要注重挖掘题中隐藏的一些限制条件。在解不定方程时，通常将原方程变形为用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数的形式，再根据题中的限制条件，寻找合适的解。在解不定方程时，常规方法有观察法、试验法、列举法。如果再能合理运用以下几个技巧，就可以大大提高解题速度。1.系数上的考虑（变形）如求7x﹢2y=38的整数解，我们变形为：y=（38-7x）÷2=19-3x-（1/2）x。由于x、y都是自然数，由上述变形可知，x应是2的倍数，可以取2，4。所以在解不定方程时，一定要注意未知数前面的系数，选择恰当的变形来解不定方程。2.尾数上的考虑（个位）如求5x+4y=59的自然数解。和的个位数是9，说明5x的个位数字一定是5，那么x一定取奇数；4y的个位数字一定是4，那么y只能是1、4、6、11、14。这样解的过程就容易多了，速度也上来了。3.奇偶性上的考虑上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。59是一个奇数，4y一定是个偶数，那么，5x就一定是个奇数，那么x取值只能取奇数，如1、3、5……，也能起到简便解题过程的作用。4.倍数关系上的考虑如求不定方程2x+3y=21的自然数解。我们注意到，21是3的倍数，3y肯定也是3的倍数，2x=21-3y，那么2x也应是3的倍数，这样x只能取是3的倍数的数了，如：0、3、6等等，这样就能简化解题过程了。二、例题解析例1求2x+5y=17的整数解。分析：（一）观察法，并结合奇偶性或尾数上进行考虑。（1）17是奇数,2x一定是偶数，那么，5y就一定是个奇数，那么y取值只能取奇数，如1、3、5……解法一：观察2x+5y=17，17是奇数,2x一定是偶数，说明5y的个位数字一定是5，那么y一定取奇数。当y=1时，x=6；当y=3时，x=1。解法二：把2x+5y=17变形为：x=(17-5y)÷2，再列表试验求解。y123x63.51所以，2x+5y=17的整数解为：x=6x=1y=1y=3在解不定方程时，可将原方程变形，变为一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来，再根据题中的限制条件，寻找合适的解。例2将球装入两种盒子中,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个，正好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，大盒和小盒各多少个？分析：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。结合奇偶性、尾数分析，99是奇数，12x是偶数，5y尾数是5，12x尾数是4，x取2、7。经列举试验，x=2时，y=15；x=7时，y=3。所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。由例2可以看出，对于不定方程，要尽量缩小未知数的取值范围，再求解。不定方程常常利用奇偶性和尾数来帮助解决例3买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？分析：该题共有三个未知量，可以设出两个未知数，再设法表示出第三个未知量，列出不定方程。再根据条件求解。解：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据由式子(1)可知：y<20；由式子(2)可知：y必须是2的倍数。所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：苹果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211对不定方程适当变形，通过系数可以更快地看出未知数的特征，从而进一步缩小未知数的取值范围。例4今年，祖父的年龄是小明的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明的5倍。又过几年后，祖父的年龄是小明的4倍。求祖父今年多少岁?分析：这是一道有难度的年龄问题。题中除了两人的年龄的倍数关系,其余一概未知。但题目中有三个等量关系。利用等量关系列出相应的方程，问题就迎刃而解了。把x=4y代入2x=3y+3m,…………(3)得8y=3y+3m即5y=3my=(3/5)m由于y是整数,所以m=5、10、15、20……可算出y=3、6、9、12……那么x=12、24、36、48……那祖父的年龄就是72、144……很明显，只有当m=5，y=3，x=12时，祖父的年龄是72岁才符合实际。含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程，如（1）。含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一，如（2）。根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可，如（3）。例5某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？分析：本题出现了三个未知数，并且这三个未知数之间没有直接的关系。就可以设出三个未知数，列出不定方程组，再设法变成一个不定方程，继而求出解。y＝EQ\F(22－12x,5)x＝1x只能取1，所以y＝2，代入=1\*GB3①得z＝5，原方程的解为y＝2z＝5故一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案。三、巩固练习（一）选择题1．方程x+2y=7在正整数范围内的解（）A．有无数解B.只有一组C.只有三组D.以上都不对2．方程1990x-1989y=1991的一组正整数解是（）A．x=12785，y=12768；B.x=12785，y=12770；C.x=11936，y=11941；D.x=13827，y=12623（二）填空题1.已知1999×△+4×□=9991,其中△,□是自然数,那么□=.2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球个.3．不定方程12x+17y=75的整数解是.4．采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋(盒子不能打开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买盒.5．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。搬书的老师_______人，男生_______人，女生_______人（三）解答题1.甲种商品7元一份，乙种商品3元一份，小明用60元恰好买两种商品共多少份?2.某种考试已举行24次，共出了426道题，每次出的题目有25题、或者16题、或者20题，那么其中考25题的有多少次？3.甲一分钟能洗3个盘子或9个碗，乙一分钟能洗2个盘子或7个碗，甲、乙合做，20分钟洗了134个盘子和碗。有几个盘子几个碗?4．将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)。问剩余部分的铝管至少是多少厘米?5．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？6.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m位男生和11位女生的捐款总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数。(其中：)巩固练习答案：（一）选择：CC（二）填空：1.1998.提示:△是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.2.260.设箱子里共有n个乒乓球,二级品占.依题意,得整理得①易知15-4a>0,所以a≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).3.x=2,y=34.26设买了x大盒，y小盒。23x+16y=500解得：x=12,y=14;x+y=26.5.338设老师x人，男生y人，女生z人。x+y+z=1412x+8y+5z=100解得：x=3,y=3,z=8（三）解答：1.解：设小明买甲种商品x份，乙种商品y份，可以列不定方程如下：7x+3y=60，由于3、60均为3的倍数，且60-7x≥0，x≤8，又因为7x一定能被3整除，所以小明用60元买两种商品16份或12份。本题关键是确定7x的取值范围。2.解：设考25题、20题依次为x次和y次，可列不定方程如下：(25-16)x+(20-16)y=426-16×249x+4y=4242-9x≥0，所以x≤4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。当x=0时，y=10当x=2时，y=6当x=4时,y=可以考25题的共有2次。判断出x的范围小于或等于4，再确定不能取偶数是求解的关键。3.解：设甲用a分钟洗盘子，(20-a)分钟洗碗，乙用b分钟洗盘子，(20-b)分钟洗碗。由上式知，b为偶数，所以a=l，6，ll或16。当a=1，6，ll时，b>20不合题意。所以a=16，b=18。共洗了盘子3a+2b=84(个)，洗了碗134-84=50(个)。本题先用未知数分别表示甲、乙洗盘子和碗的时间，再列不定方程。4.解：设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根