关于数学的教学问题

关于数学的教学问题

1数学学科知识与数学法则的理解众所周知，教育质量的重要性关键是教师能够通过教师实现各种教育目标，并通过教师实施新的教育理念。可以说，好教师是优质教育的重要保障。然而，我们不能忽视有“好教师”的说法。蜀曼将教师教育所需的专业知识分为七类：学科知识、教育内容知识和课程知识。在这七种知识中，教师的学科知识占有重要地位。事实上，教师的学科知识是教育研究的一个非常重要的领域。在数学方面，以往的讨论主要有两个方向。其中之一是对教师在数学方面理解数学概念的研究。例如，教师对数学概念的理解，如倾斜、面积、刚度和函数等数学概念的理解，如文2.5所示。另一方面，对教师如何理解数学的规则。例如，研究教师对正直、语法和算术的理解，以及对排法和除法的理解（见文6.8）。然而，数学的概念和规则只是数学知识的一部分。让学生理解数学的概念和规则以及教师在数学教育中的实践知识是学校数学教育的重要组成部分。因此，在研究教师的学科知识时，不仅要研究教师对概念和概念的理解，还要探讨数学教师在解决数学问题时形成的实践知识。许多研究（如文[9.11]）指出，在解决数学问题时，不仅需要掌握数学的概念、定义和规则的清晰知识，而且需要扎实的语言和策略知识。在过去，这项研究的重点是对数学概念和规则的理解。这是一个明确的提议知识，也就是说，“知道是什么”是一种容易描述的知识，而问题解决中形成的实践知识是“知道如何做”。这是学科知识的一个新维度。那么，什么样的学习和解决学习中的各种问题？。2学习方法2.1不同师资合作学校我们选择了吉林省长春市3所不同水平的学校,每所学校都选择数学教师3名,共9名进行了访谈.用T-a-b表示不同教师,其中a代表学校,用1、2、3分别代表市较好学校、区较好学校、普通学校;b代表教师,用1、2、3分别代表第一位教师、第二位教师、第三位教师.例如,T-3-2就是表示普通学校的第3位教师.2.2研究对象的学习经历我们利用一道几何题去引发研究对象的学科知识.试题如下:如图1所示,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBC交⊙O于B、C两点,D为AB的中点,连PD并延长交AC于E,请用几种不同的方法证明AE:EC=PA2:PC2.在读过题目之后,还未开始解题之前,研究者会问:看过这个题目之后,您有哪些想法?会考虑从哪些方面入手解决这个问题?在研究对象解决了这个问题之后,研究者会问:您以前是否见过和这道题类似的问题?这道题目中有哪些您熟悉的东西?通过这些访谈,进一步引发研究对象头脑中已有的和解题有关的知识.此外研究者还通过访谈了解了教师与问题解决教学有关的经验.例如,在提高学生数学问题解决能力上您有哪些个人经验?您是怎样选择习题的?等等.3数学学科知识通过访谈和分析,我们发现了不同类型的数学学科知识,这其中不仅有明确的命题知识,也有使用命题知识解决问题的实践经验、策略知识和问题图式.以图2加以描述.3.1基于切割线定理的问题数学概念、定理等明确的命题知识是理解数学问题的基础,也是问题解决过程中的基本工具.以本研究中的问题为例,教师要理解所要解决的这个问题,首先要理解切线、割线、延长线等数学概念,这是解决这个题目所必须具备的基础知识.除此之外,也要掌握解题所需的相关定理.在本研究中,在看到所要证明的比例式有平方项以后,被试教师都很自然地首先想到利用切割线定理,将PA2=PB﹒PC代进欲证的等式AE:EC=PA2:PC2中,将其化简为AE:EC=PB:PC.这样就简化了所要证明的等式,将其转化成了证明4条线段成比例的问题.在解决这个问题的过程中,切割线定理是解决这个问题所必须使用的基本工具,无论解题者最终使用什么方法,都必须首先利用切割线定理将欲证的等式化简,这是解决这个问题的第一个必要环节.本研究中的所有教师都具备这些明确的命题知识.特别的是,除了切割线定理,有教师(T-1-1)还知道另一个与这个题目有密切关系的命题知识——梅内劳斯定理,而这是本研究中的其它教师所没有的.在进一步的与教师T-1-1的访谈中发现,它与该定理有关的知识是丰富的.教师T-1-1知道与梅内劳斯定理有联系的变式题,从梅内劳斯定理的角度来看,教材中的这道习题及其变式与本研究中的问题本质上是相同的,都是梅内劳斯定理的一种特例,从这个角度可以更深入地了解这些题目间的本质的联系.3.2t-1-3时期的求解策略前面提到,利用切割线定理进行化简后,原来的问题简化为4条线段成比例的问题.在初中数学中,证明4条线段成比例是一类比较常见的题目.解题者在解决过与比例线段有关的问题之后,就会积累一些如何处理这类问题的知识与经验,归纳总结出解决这类题目的一些常用方法,为解决新问题奠定一定的基础,从解题思路与解题方向上来看,不同的教师有不同的解题计划,也就是策略知识.例如,受访教师T-1-3说:“遇到线段成比例有两种方法:一种是相似,三角形相似能出现比例的情况.还有平行线,利用平行线等分线段定理能够出现比例的情况.”除教师T-1-3之外,其它的教师都想到要通过证明平行或两个三角形相似两种方式来达到证明4条线段成比例的目的,也就是说证明平行或两个三角形相似是这些教师证明这个问题的两个主要的策略与努力方向.此外,教师T-1-1还有利用面积法解决4条线段成比例问题的经验,因此,在初步确定这道题目的解题思路时,除了相似和平行,教师T-1-1还考虑到使用面积方法,反映出教师T-1-1具有更丰富的解题策略,这为问题的解决积累了更为广阔的知识基础.在访谈之后的正式的问题解决过程中,也只有教师T-1-1尝试使用面积方法.另外,在证相似或平行这种宏观解题策略的指引下,由于通过平行不能直接得到比例线段,所以教师T-2-1、教师T-3-1、教师T-1-2、教师T-2-2和教师T-2-3都考虑通过证明两个三角形相似来达到目的,在问题解决过程中尝试着将所要求证的4条线段放在两个可能相似的三角形中.总之,无论是通过面积,还是通过平行或相似,这些解题策略对解题过程都具有直接的指导作用,是解题者解决问题过程中思考的方向,策略知识是数学教师所具有的一种重要的学科知识.3.3a型或x型基本图形的基本图形在尝试用平行或两个三角形相似来直接证明4条线段成比例失败后,大部分教师的解题一度陷入了困境,很多被试教师们开始了长时间的思考.在这个过程中,被试教师大都重新回顾题目中的已知条件,慢慢将注意力集中在了“D为AB的中点”这个条件上.对于这个条件有的教师产生了疑惑.教师T-3-2说:“不知道怎样才能利用上D是中点这个条件”.而有的教师则由“D为AB的中点”这个条件得到启发,从中发现了自己熟悉的基本图形,并通过构造这个基本图形而获得了继续前进的新线索.有5位教师(教师T-1-1、教师T-2-1、教师T-2-2、教师T-3-2和教师T-1-3)由D是AB的中点想到要构造X型的基本图形来达到线段的等量代换(如图3).还有2位教师(教师T-3-1和教师T-3-3)也能够解决这个问题,在他们的解法中也有A型或X型的基本图形,但这两位教师并没有关注过这种基本图形,他们不是从要利用A型或X型的基本图形的性质这一角度来考虑这个问题的.以下便是教师T-2-2的思考过程.教师:欲证AE:EC=PB:PC,首先要充分利用D是AB中点这个条件,要得到AE:EC=PB:PC要有平行或者相似,但平行或者相似现在都得不到,那么想到用转移的思想,是否AE能转移和其它线段相等?因为给出D是中点这个条件,利用这个条件做一个过B点和AC平行的直线交PD于F点.研究者:怎么想到要这样做呢?教师:过B点做和AC平行的这条直线(所形成的这个图形)非常常用.在证明中这象一个大写的英文字母X,在相似中专门有这种类型题,叫X型.上面的思路和解法是很多教师所采用的方法,对这些教师而言这是最自然的一种方法.不过,还可以通过构造A型的基本图形来达到换项的目的.总结起来,本研究中的被试教师有如下的构造基本图形的方法:这些证法主要是过A点或B点作平行线构造A型或X型的基本图形,利用A型或X型中的中位线或全等产生相等线段,由等量代换来证明4条线段成比例.复杂的几何图形也都是由一些简单的基本图形构成的,因此,掌握了解一些基本图形的性质与特征对于解决复杂的几何问题是有帮助的.在本研究中我们发现,在解决几何问题的过程中,当教师面对一个复杂的几何图形的时候,往往会从这个复杂图形中发现某些自己所熟悉的基本图形,从而将一个复杂的几何图形变成了几个基本图形的组合.这些基本图形就是一种问题图式.教师头脑中的这些问题图式对他们的问题解决有很大的影响.解题者往往从这些问题图式出发,将自己所熟悉的这些基本图形的性质作为另一种已知,将它与题目中原来的已知条件直接结合起来使用,对于这些问题图式的熟悉与掌握使解题者能很快了解题目中所蕴涵的中间结论,有助于解题者寻找解题的途径.总之,通过分析该研究中的被试教师的解题过程,我们发现教师具有各种不同的与解题有关的学科知识.在这个过程中,教师不仅使用切割线定理、梅内劳斯定理这样明确的数学知识,而且也使用与解决4条线段成比例问题有关的策略知识,如通过证相似、平行或者面积方法可以达到证明4条线段成比例的目的.除此之外,在寻找解题思路的过程中,解题者所熟悉的A型和X型基本图形的问题图式也起了重要的作用.总的来讲,本研究中的数学教师有着丰富的学科知识.4教师首先必须具备一定的问题解决的实践知识教师学科知识的研究由来已久,从20世纪60年代至今始终是人们所关注的一个问题,但这些研究并不全面,特别是对于数学教师的学科知识的研究,很少有人探讨教师的问题解决的实践知识这一重要维度.在数学教育中,让学生学会解决问题是一个非常具有数学学科特色的教学目的与任务,正如Polya所说“数学中知道怎样解题更重要,比只拥有知识重要得多”.而要达到这个目的,教师自身问题解决的实践知识是至关重要的.我们的研究发现,在某些情况下教师所拥有的命题知识没有太大差别,但教师所拥有的问题解决实践知识却有很大差别.在研究的访谈中我们了解到,在实际的教学中,教师并不是让学生盲目地大量解题搞题海战术,教师往往通过精心选择布置彼此联系的题组、彼此有区别的系列变式题目来突显某类问题的特点与方法,使学生在实际的问题情境中通过问题解决的过程亲身体会、总结题目的这些特点和方法,从而促进自身的实践知识的形成.这就要求教师必须具备一定的问题解决的实践知识,教师的问题解决的实践知识的丰富与否直接影响学生所练习的数学问题的质量,进而影响教学的成效.另外,在教学中教师不仅要让学生亲自参与问题解决的活动,而且教师要指导学生的解题活动.正如访谈中的教师所指出的,教师需要在与学生共同的解题活动中明确指出这道题目具有指导意义的典型特征,从而提高问题解决的实践活动的效率,促进学生问题解决的实践知