湖北武汉市华中师大一附中2023年高二数学第一学期期末考试试题含解析_第1页
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文档简介

湖北武汉市华中师大一附中2023年高二数学第一学期期末考试试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是()A. B.C. D.2.设双曲线与幂函数的图象相交于,且过双曲线的左焦点的直线与函数的图象相切于,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.3.数列的通项公式是()A. B.C. D.4.下列说法中正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.棱台的所有侧棱延长后交于一点C.所有几何体的表面都能展开成平面图形D.正棱锥的各条棱长都相等5.过点且与直线平行的直线方程是()A. B.C. D.6.数列中,满足,,设,则()A. B.C. D.7.已知等比数列中,,则这个数列的公比是()A.2 B.4C.8 D.168.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0) B.C.(0,1) D.(0,+∞)9.在中,已知点在线段上,点是的中点,,,,则的最小值为()A. B.4C. D.10.已知数列满足,,则()A. B.C. D.11.已知双曲线C:的右焦点为,一条渐近线被圆截得的弦长为2b,则双曲线C的离心率为()A. B.C.2 D.12.设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则导函数的图象可能为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,若,则S=________.14.已知正方体的棱长为为的中点,为面内一点.若点到面的距离与到直线的距离相等,则三棱锥体积的最小值为__________15.展开式的常数项是________16.如图,在长方体中,,,则直线与平面所成角的正弦值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数)(1)求的解析式及单调递减区间;(2)若函数无零点,求的取值范围18.(12分)已知,是函数的两个极值点.(1)求的解析式;(2)记,,若函数有三个零点,求的取值范围.19.(12分)如图,P为圆上一动点,点A坐标为,线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q(1)求点Q的轨迹E的方程;(2)过点A的直线l交E于C,D两点,若△BCD内切圆的半径为,求直线l的方程.20.(12分)某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为5组制出频率分布表如图所示.组号分组频数频率150052350.35330b4cd5100.1(1)求b,c,d的值;(2)该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试,则每组应各抽多少名学生?(3)在(2)的前提下,从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试,求这2名学生来自同一组的概率.21.(12分)如图,在三棱柱中,平面ABC,,,,点D,E分别在棱和棱上,且,,M为棱中点(1)求证:;(2)求直线AB与平面所成角的正弦值22.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,侧棱底面ABCD,,,E为PB中点,F为PC上一点,且(1)求证:;(2)求平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意,在上恒成立,只需满足即可求解.【详解】解:因为,所以,因为函数在上单调递减,所以在上恒成立,只需满足,即,解得故选:A.2、B【解析】设直线方程为,联立,利用判别式可得,进而可求,再结合双曲线的定义可求,即得.【详解】可设直线方程为,联立,得,由题意得,∴,,∴,即,由双曲线定义得,.故选:B.3、C【解析】根据数列前几项,归纳猜想出数列的通项公式.【详解】依题意,数列的前几项为:;;;……则其通项公式.故选C.【点睛】本小题主要考查归纳推理,考查数列通项公式的猜想,属于基础题.4、B【解析】根据棱柱、棱台、球、正棱锥结构特征依次判断选项即可.【详解】棱柱的侧面都是平行四边形,A不正确;棱台是由对应的棱锥截得的,B正确;不是所有几何体的表面都能展开成平面图形,例如球不能展开成平面图形,C不正确;正棱锥的各条棱长并不是都相等,应该为正棱锥的侧棱长都相等,所以D不正确.故选:B.5、A【解析】由题意设直线方程为,根据点在直线上求参数即可得方程.【详解】由题设,令直线方程为,所以,可得.所以直线方程为.故选:A.6、C【解析】由递推公式可归纳得,由此可以求出的值【详解】因为,,所以,,,因此故选C【点睛】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用,意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力7、A【解析】直接利用公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为,由已知,,所以,解得.故选:A8、B【解析】函数f(x)=x(lnx﹣ax),则f′(x)=lnx﹣ax+x(﹣a)=lnx﹣2ax+1,令f′(x)=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx﹣2ax+1有两个零点,等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a=时,直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切,由图可知,当0<a<时,y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点则实数a的取值范围是(0,)故选B9、C【解析】利用三点共线可得,由,利用基本不等式即可求解.【详解】由点是的中点,则,又因为点在线段上,则,所以,当且仅当,时取等号,故选:C【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论,考查了基本运算求解能力,属于基础题.10、A【解析】根据递推关系依次求出即可.【详解】,,,,,.故选:A.11、A【解析】求出圆心到渐近线的距离,根据弦长建立关系即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为,即,则点到渐近线的距离为,因为弦长为,圆半径为,所以,即,因为,所以,则双曲线的离心率为.故选:A.12、D【解析】根据的图象可得的单调性,从而得到在相应范围上的符号和极值点,据此可判断的图象.【详解】由的图象可知,在上为增函数,且在上存在正数,使得在上为增函数,在为减函数,故在有两个不同的零点,且在这两个零点的附近,有变化,故排除A,B.由在上为增函数可得在上恒成立,故排除C.故选:D.【点睛】本题考查导函数图象的识别,此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况,本题属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1007【解析】可证f(x)+f(1﹣x)=1,由倒序相加法可得所求为1007对的组合,即1007个1,可得答案【详解】解:∵函数f(x),∴f(x)+f(1﹣x)1故可得S=f()+f()…+f()=1007×1=1007,故答案为:1007点睛】本题考查倒序相加法求和,推断出f(x)+f(1﹣x)=1是解题的关键.14、##【解析】由题意可知,点在平面内的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,如图在底面建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,直线的方程,将直线向抛物线平移,恰好与抛物线相切时,切点为点,此时的面积最小,则三棱锥体积的最小【详解】因为为面内一点,且点到面的距离与到直线的距离相等,所以点在平面内的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,如图在底面,以所在的直线为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,则,设抛物线方程为,则,得,所以抛物线方程为,,直线的方程为,即,设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为,由,得,由,得,所以与抛物线相切的直线为,此时切点为,且的面积最小,因为点到直线的距离为,所以的面积的最小值为,所以三棱锥体积的最小值为,故答案为:15、【解析】求出的通项公式,令的指数为0,即可求解.【详解】的通项公式是,,依题意,令,所以的展开式中的常数项为.故答案为:.16、##【解析】过作,垂足为,则平面,则即为所求角,从而可得结果.【详解】依题意,画出图形,如图,过作,垂足为,可知点H为中点,由平面,可得,又所以平面,则即为所求角,因为,,所以,故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)单调减区间为和;(2)的取值范围为:或【解析】(1)先求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件,可得,求得的解析式,可得导数,令导数小于0,可得减区间;(2)先求得,要使函数无零点,即要在内无解,亦即要在内无解.构造函数,对其求导,然后对进行分类讨论,运用单调性和函数零点存在性定理,即可得到的取值范围.【详解】(1),又由题意有:,故.此时,,由或,所以函数的单调减区间为和.(2),且定义域为,要函数无零点,即要在内无解,亦即要在内无解.构造函数.①当时,在内恒成立,所以函数在内单调递减,在内也单调递减.又,所以在内无零点,在内也无零点,故满足条件;②当时,⑴若,则函数在内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增.又,所以在内无零点;易知,而,故在内有一个零点,所以不满足条件;⑵若,则函数在内单调递减,在内单调递增.又,所以时,恒成立,故无零点,满足条件;⑶若,则函数在内单调递减,在内单调递增,在内也单调递增.又,所以在及内均无零点.又易知,而,又易证当时,,所以函数在内有一零点,故不满足条件.综上可得:的取值范围为:或.【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题,解答本题,准确求导数是基础,恰当分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当,或因复杂式子变形能力差,而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等18、(1);(2)【解析】(1)根据极值点的定义,可知方程的两个解即为,,代入即得结果;(2)根据题意,将方程转化为,则函数与直线在区间,上有三个交点,进而求解的取值范围【详解】解:(1)因为,所以根据极值点定义,方程的两个根即为,,,代入,,可得,解之可得,,故有;(2)根据题意,,,,根据题意,可得方程在区间,内有三个实数根,即函数与直线在区间,内有三个交点,又因为,则令,解得;令,解得或,所以函数在,上单调递减,在上单调递增;又因为,,,,函数图象如下所示:若使函数与直线有三个交点,则需使,即19、(1)(2)【解析】(1)连接,由,利用椭圆的定义求解;(2)设点,,直线的方程为,与椭圆联立,结合韦达定理,利用等面积法求解.【小问1详解】解:连接,由题意知:,,即的轨迹为椭圆,其中,,,所以椭圆的标准方程为;【小问2详解】设点,,直线的方程为,与椭圆联立,消去整理得,显然成立,故,,由椭圆定义得的周长为,则的面积,又由,得,从而得,即,整理得,解得,故,故直线的方程为.20、(1),,(2)第三组应抽人,第四组应抽人,第五组应抽人(3)【解析】(1)根据频率分布表的数据求出b,c,d的值;(2)三个组共有60人,从而利用分层抽样抽样方法抽取6名学生第三组应抽3人,第四组应抽2人,第五组应抽1人;(3)记第三组抽出的3人分别为,第四组抽出的2人分别为,第五组抽出的1人为,利用列举法结合概率公式得出答案.【小问1详解】由题意得,,【小问2详解】三个组共有60人,所以第三组应抽人,第四组应抽人,第五组应抽人.【小问3详解】记第三组抽出的3人分别为,第四组抽出的2人分别为,第五组抽出的1人为,从这6人中随机抽取2人,基本事件包含,共15个基本事件.其中2人来自同一组的情况有,共4种.所以,2人来自同一组的概率为.21、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)由线面垂直、等腰三角形的性质易得、,再根据线面垂直的判定及性质证明结论;(2)构建空间直角坐标系,确定相关点坐标,进而求的方向向量、面的法向量,应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱中,平面,则平面,由平面,则,,则,又为的中点,则,又,则平面,由平面,因此,.【小问2详解】以为原点,以,,为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,可得:,,,,,,.∴,,,,设为面的法向

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