河北省永清一中2024届高二上数学期末统考模拟试题含解析

河北省永清一中2024届高二上数学期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是A. B.C. D.2．圆与圆的位置关系为（）A.外切 B.内切C.相交 D.相离3．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A. B.C. D.4．过抛物线的焦点作互相垂直的弦，则的最小值为（）A.16 B.18C.32 D.645．已知为偶函数，且，则___________.6．已知数列满足，则（）A.2 B.C.1 D.7．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]8．与的等差中项是（）A. B.C. D.9．已知函数，那么“”是“在上为增函数”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（）A. B.C. D.11．命题“若，则”的逆否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则12．抛物线的准线方程是，则a的值为（）A.4 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知动圆P过定点，且在定圆的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为______14．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率____________.15．将一枚质地均匀的骰子，先后抛掷次，则出现向上的点数之和为的概率是________.16．设双曲线C:的焦点为，点为上一点，，则为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.18．（12分）已知抛物线的准线方程为（1）求C的方程；（2）直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由19．（12分）如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）若，求以为直径的圆方程；（3）当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由20．（12分）已知命题p：，命题q：.（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；21．（12分）在等差数列中，已知公差，前项和(其中)（1）求；（2）求和：22．（10分）经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到）（2）为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用函数的奇偶性将函数转化为f（M）≤f（N）的形式，再利用单调性脱去对应法则f，转化为一般的二次不等式求解即可【详解】由于，，则f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可转化为f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函数f（x）单调递增，则由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故选B【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定及应用，考查了不等式的解法，属于中档题2、A【解析】根据两圆半径和、差、圆心距之间的大小关系进行判断即可.【详解】由，该圆的圆心为，半径为.圆圆心为，半径为，因为两圆的圆心距为，两圆的半径和为，所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切，故选：A3、B【解析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故选：B4、B【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标，分别设出，所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【详解】抛物线的焦点，设直线的直线方程为，则直线的方程为.，，，.由，得，，同理可得..当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：B5、8【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，【详解】为偶函数，且，.故答案为：86、D【解析】首先得到数列的周期，再计算的值.【详解】由条件，可知，两式相加可得，即，所以数列是以周期为的周期数列，.故选：D7、B【解析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故选:B【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.8、A【解析】代入等差中项公式即可解决.【详解】与的等差中项是故选：A9、A【解析】对函数进行求导得，进而得时，，在上为增函数，然后判断充分性和必要性即可.【详解】解：因为的定义域是，所以，当时，，在上为增函数.所以在上为增函数，是充分条件；反之，在上为增函数或，不是必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于中档题.10、D【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.故选：D.11、C【解析】根据逆否命题的定义写出逆否命题即得【详解】解：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为原命题的逆否命题，即“若，则”的逆否命题是“若，则”故选：C12、C【解析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，又准线方程是，所以，所以.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设切点为，根据题意，列出点满足的关系式即．则点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程求点的轨迹方程【详解】设动圆和定圆内切于点，动点到定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即，点的轨迹是以，为两焦点，长轴长为10的椭圆，，点的轨迹方程为，故答案：14、##【解析】根据线段为边作正，得到M在y轴上，求得M的坐标，再由，得到边的中点坐标，代入双曲线方程求解.【详解】以线段为边作正，则M在y轴上，设，则，因为，所以边的中点坐标为，因为边的中点在双曲线上，所以，因为，所以，即，解得，因为，所以，故答案为：15、【解析】将向上的点数记作，先计算出所有的基本事件数，并列举出事件“出现向上的点数之和为”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】将骰子先后抛掷次，出现向上的点数记作，则基本事件数为，向上的点数之和为这一事件记为，则事件所包含的基本事件有：、、，共个基本事件，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算概率，解题时一般要列举出相应的基本事件，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题.16、14【解析】利用双曲线的定义求解即可【详解】由，得，则，因为点为上一点，所以，因为，所以，解得或（舍去），故答案为：14三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】（1）求出双曲线的右焦点坐标，可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）设点，由抛物线的定义求出的值，代入抛物线的方程可求得的值，即可得出点的坐标.【详解】（1）由双曲线方程可得，，所以，解得.则曲线的右焦点为，所以，.因此，抛物线的标准方程为；（2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得.代入抛物线方程可得，解得，所以点的坐标为或.18、（1）（2）见解析【解析】（1）根据准线方程得出抛物线方程；（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理结合求解即可.【小问1详解】【小问2详解】设，联立，得由，得，假设C上存在点Q，使得直，则又即存在点满足条件.19、（1）或（2）（3）过定点，定点坐标为【解析】（1）对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，在所求直线斜率不存在时，直接验证直线与圆相切；在所求直线斜率存在时，设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，综合可得出所求直线的方程；（2）分点在轴上方、点在轴下方两种情况讨论，求出点、的坐标，可得出所求圆的圆心坐标和半径，即可得出所求圆的方程；（3）设直线的方程为，其中，求出点、的坐标，可求得以线段为直径的圆的方程，并化简圆的方程，可求得定点的坐标.【小问1详解】解：易知圆的方程为，圆心为原点，半径为，若所求直线的斜率不存在，则所求直线的方程为，此时直线与圆相切，合乎题意，若所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为，即，由已知可得，解得，此时所求直线的方程为.综上所述，过点且与圆相切的直线方程为或.【小问2详解】解：易知直线的方程为，、，若点在轴上方，则直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，线段的中点为，且，此时，所求圆的方程为；若点在轴下方，同理可求得所求圆的方程为.综上所述，以为直径的圆方程为.【小问3详解】解：不妨设直线的方程为，其中，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，线段中点为，，所以，以线段为直径的圆的方程为，即，由，解得，因此，当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的定点.20、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范围；（2）由p是q的充分条件，转化为集合的包含关系，从而可求实数m的取值范围.【详解】（1）由p：为真，解得.（2）q：，若p是q的充分条件，则是的子集所以.即.21、（1）12（2）18【解析】（1）根据已知的,利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解；（2）由第（1）问中求解出的的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该数列前6项为正项，后6项为负项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的相反数即可计算，即为，然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的和.【小问1详解】由题意可得，在等差数列中，已知公差，前项