河北省衡水市2024届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

河北省衡水市2024届高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数，则（）A. B.C.0 D.12．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（）A. B.C. D.3．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）A. B.C. D.4．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.655．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B.C. D.6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A. B.C. D.8．定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（）A. B.C. D.9．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为A. B.C. D.10．已知角为第二象限角，，则的值为（）A. B.C. D.11．已知，则在方向上的投影为（）A. B.C. D.12．正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（

）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________．甲组乙组14．在数列中，，，则数列的前6项和为___________.15．函数的单调递减区间是___________.16．复数的实部为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知过的直线l交椭圆C于A、B两点，试探究在平面内是否存在定点Q，使得是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由18．（12分）已知数列是公比为2的等比数列，是与的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和19．（12分）如图，在四面体ABCD中，，平面ABC，点M为棱AB的中点，，（1）证明：；（2）求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值20．（12分）已知为等差数列，是各项均为正数的等比数列的前n项和，，，，在①；②；③．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择的第一个解答计分）（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.21．（12分）已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列（1）求的通项公式；（2）设的前n项和为，且，求的前n项和22．（10分）某校高二年级全体学生参加了一次数学测试，学校利用简单随机抽样方法从甲班、乙班各抽取五名同学的数学测试成绩（单位：分）得到如下茎叶图，若甲、乙两班数据的中位数相等且平均数也相等.（1）求出茎叶图中m和n的值：（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.【详解】令，则，求导得：，所以.故选：A2、B【解析】确实新数列是等比数列及公比、首项后，由等比数列前项和公式计算，【详解】由题意，新数列为，所以，，前项和为故选：B.3、B【解析】先用向量与表示，然后用向量表示向量与，即可得解【详解】解：为的中点，故选：【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算，属于基础题4、D【解析】将已有数据从小到大排序，根据中位数的定义确定该组数据的中位数.【详解】由题设，将数据从小到大排序可得：，∴中位数为.故选：D.5、B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6、A【解析】设，根据得，代入椭圆方程即可求得离心率.【详解】设椭圆方程，所以，设，所以，所以，在椭圆上，所以，.故选：A7、D【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D考点：利用导数研究函数的单调性.8、B【解析】，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.【详解】解：因为，都是锐角，所以，，因为，所以，即，，所以，，因为，所有，故选：B.【点睛】信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.9、B【解析】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【详解】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意可得，解得，则灯球的总数为个，故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为，故选B【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题10、C【解析】由同角三角函数关系可得，进而直接利用两角和的余弦展开求解即可.【详解】∵，是第二象限角，∴，∴.故选：C.11、C【解析】利用向量数量积的几何意义即得【详解】,故在方向上的投影为：故选：C12、B【解析】由正方体表面积求得棱长，再求得正方体的对角线长，即为外接球的直径，从而可得球表面积【详解】设正方体棱长为，由得，正方体对角线长，所以其外接球半径为，球表面积为故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据中位数、平均数的定义，结合茎叶图进行计算求解即可.【详解】根据茎叶图可知：甲组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别；乙组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别，因为甲组数据的中位数为，所以有，又因为乙组数据的平均数为，所以有，所以，故答案为：14、129【解析】依次写出前6项，即可求得数列的前6项和.【详解】数列中，，则，，，则数列的前6项和为故答案为：12915、【解析】首先对求导，可得，令，解可得答案【详解】解：由得，故的单调递减区间是故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.16、【解析】复数，其实部为.考点：复数的乘法运算、实部.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在，定点【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合是常数列方程，从而求得定点的坐标.小问1详解】，，由题可得：.【小问2详解】当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，设，，联立方程组，整理得，可得，所以则恒成立，则，解得，，，此时，即存在定点满足条件当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝－2，可得，，设要使得是一个常数，即，显然，也使得成立；综上所述：存在定点满足条件.18、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件列式求出数列的首项即可作答.(2)由(1)的结论求出，再借助裂项相消法计算作答.【小问1详解】因为数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，则有，即，解得，所以.【小问2详解】由(1)知，，则，即有，所以.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明平面ABD即可；（2）以A为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，分别求得平面BCD的一个法向量和平面DCM的一个法向量，然后由求解【小问1详解】证明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小问2详解】如图，以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，则，，，，，依题意，可得，设为平面BCD的一个法向量，则，不妨令，可得设为平面DCM的一个法向量，则，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为20、（1）无论选择哪个条件答案均为；（2）.【解析】（1）先根据题设条件求解，然后根据选择的条件求解；（2）先求，然后利用分组求和的方法求解.【小问1详解】设的公差为，因为，；所以，解得，所以.选①：设的公比为，则；由题意得，因为，所以，解得或（舍）；所以.选②：由，当时，，因为，所以；当时，，整理得；即是首项和公比均为2的等比数列，所以.选③：因为，，所以，解得；所以.【小问2详解】由（1）得；所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件即求；（2）利用条件可得，然后利用错位相减法即求.【小问1详解】设等差数列公差为d，由得，即，化简得，又，，成等比数列，则，即，将代入上式得，化简得，解得或－2（舍去），则，所以【小问2详解】∵，当时，，当时，，符合上式，则，所以，令，则，，∴，化简得综上，的前n项和22、（1），（2）【解析】（1）根据茎叶图得甲班中位数为，由此能求出，根据由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，从86分以上(不含86分)的同学中随机抽出两名，用列举法写出基本事件