借助信息技术提升推理教学的四大法宝

借助信息技术提升推理教学的四大法宝柯郎在《什么是数学》的序言中这样评述：今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机之中，数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟变成空洞的解题训练。这种训练虽可以提高推导的能力，但无法促进真正的理解与深入的独立思考。那么，什么样的数学教育才有利于真正的理解、有利于独立思考呢？笔者认为是突出数学基本思想的数学教育。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，将“双基”改成“四基”。基础教育阶段，一种好的数学教育，应当更多地倾向于培养学生数学思维习惯：在错综复杂的事物中把握本质，增强抽象能力；在杂乱无章的事物中理清头绪，提高推理能力；在千头万绪的事物中发现规律，发展建模能力。推理是数学基本思想之一。推理，是由一个或几个已知命题推出一个新命题的思维形式，一般包括合情推理和演绎推理两种。推理能使学生深刻地理解数学研究对象之间的逻辑关系，用抽象了的术语和符号清晰地描述这种关系。结合小学生以形象思维为主的特点，笔者合理使用现代信息技术，让技术有效融入数学教学过程，从而让推理过程不断走向深入。一、观察分享：利用生活经验让演绎推理走向深入演绎推理是从事实（包括定义、公理、定理等）和规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。它的命题内涵由大到小，是一种从一般到特殊的推理，是为了证明的推理。在学生学习新知后，教师让学生借助演绎推理及时对特殊对象进行判断，这是数学教学中常用的方法。特殊对象从哪里来？生活经验便是非常好的教学资源。弗兰登塔尔认为，数学教育应当从学生熟悉的现实生活开始和结束。源于生活，用于生活，这才是活的数学。演绎推理的特征是逻辑的严谨。小学生的抽象思维还未发展成熟，作为教学资源的生活经验在演绎推理过程中的利用就显得非常重要。根据实际需要，教师可以借助技术让教学更有效地向课前延伸，让学生课前收集相关资料后发送到平台共享，一来可了解学生的生活经验，二来有利于培养学生的自主学习能力。技术在这里的介入，服务于自主学习和深度学习一学生的反馈更便捷，呈现的资源更丰富，互动评价更充分。“使学生结合具体情境认识周期现象，探索并发现简单周期现象中事物的排列规律”是苏教版教材数学四年级上册“简单的周期”一课的教学目标之一。“周期现象”需要“结合具体情境”来认识，教材提供了一个节假日张灯结彩的生活情境，但仅有这些对于课堂教学来说是不够的。为此，笔者设置了课前观察分享和课上反馈检验的教学环节，让学生通过某软件平台分享圈上传自己课前收集的周期现象，再根据周期概念来推理，从而进一步比较深入地认识周期现象。课前收集：请找一找生活中的周期现象，并拍照上传至某课堂平台。课前谈话：“大家找到了很多，看这是谁呀？好像被拍到了好几次背影，浦某某成为班级的网红了！这些是不是周期现象呢？学习新知后，再回答。”课上反馈：课前，大家预习后，还发现了很多生活中的周期现象。教师用课件出示竖纹衣物、橡皮和铅笔、校园里的彩旗、家里的装饰等。“一起看，能找到其中的周期现象吗？”学生交流后指出：生活中的很多物品可根据周期规律来设计，周期有一种整齐、匀称的美。二、录屏交流：实践操作让演绎推理走向深入笔者让学生通过演绎推理及时对特殊对象进行判断，这里的特殊对象除了来自生活经验，还可以由实践操作生成。思想的感悟和经验的积累，更主要的是依赖学生参与其中的数学活动，依赖学生的独立思考，这是一种注重过程的教育，是学生理解数学的思维过程。小学生的抽象思维没有发展成熟，作为教学资源的实践操作在演绎推理过程中的融合尤为必要。根据实际需要，笔者借助技术让课堂充分展现学习过程，让学生将思维过程完整录屏后发送平台分享圈，一来便于教师了解学生的思维轨迹，二来有利于培养学生的自主学习能力。技术在这里的介入，服务于个性学习和深度学习一一学生的个性化思维得到充分彰显，有正确的也有错误的，有循规蹈矩的也有标新立异的。“用图形设计周期进一步认识周期现象，探索并发现简单周期现象中事物的排列规律”也是苏教版教材数学四年级上册“简单的周期”一课的教学目标之一。在结合具体情境认识周期现象后，教材还编排了请学生根据提供的几何图形设计周期的活动。笔者尝试让学生利用平板电脑在某平台上用彩色的几何图形来设计周期（如图1）。理由有三：一是平台画图操作方便，易于修改；二是平台画图能够清晰地呈现复制图形的过程，不断强化“重复出现”这一关键要素；三是平台画图能够多元化地呈现作品。之后，再通过正反例的辨析与变式，让学生根据周期概念来推理，从而进一步深入地认识周期现象。图1用几何图形设计周期课前设计：请选择图形设计周期，总数12个，并录屏上传某课堂平台。课上反馈：大家都很有主见，很多同学给某某点赞，也有同学提出修改建议。这些是大家设计的周期，一起来判断它们是否为周期。笔者出示例子，让学生辨析是否为周期。其中第二幅图不是周期，请学生变化一个图形或者两个图形，使它成为周期，最后演示第三幅图，让学生明白：从不同的角度观察，可以发现不同的周期规律（如图2）。▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲(1)⑵▲-（3）图2探究周期规律三、动态演示：直观想象让归纳推理走向深入合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，是为了推断的推理。其中，归纳推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理。小学生学习数学过程中，很多概念、法则的获得都通过不完全归纳法实现，需要从经验和概

念出发，借助“归纳推理”推断数学结果的可能性。归纳推理的特征在于想象的丰富。一个好的归纳推理过程，应当直观生动、丰富多样，能够充分展现小学生的想象能力、抽象能力；应当让小学生体会知识形成的过程，感悟归纳推理的方法和效能。这时候，几何画板可以很好地辅助数学教学。它具有很强的几何图形生成和变化功能，可帮助学生从动态中去观察、探索和发现对象之间的数量变化关系与空间结构关系。几何画板是数学实验中的有效工具，具有传统的一块黑板、一支粉笔无法比拟的优势。苏教版教材数学五年级上册“多边形的面积”单元教学结束后，笔者尝试设计了一节基于该单元的思维练习拓展课。笔者参考一位特级教师设计的习题进行再设计，并借助几何画板的强大功能让学生基于直观表象充分想象，在经历归纳推理的过程中进一步感悟多边形特征及相互关系。首先，笔者用课件出示问题：已知一个平面图形中两条互相垂直的线段长度分别是8厘米和5厘米，就能计算出它的面积，你们能想象出这是一个怎样的平面图形吗？请在方格图里画一画。（每个小方格边长1厘米，底和高取整厘米数。）接着笔者让学生理解题意。学生独立尝试画出多种可能图形后反馈交流。情境一：竖线段在横线段一边（几何画板演示如图3和图4）。交流明确：能画出无数个像这样符合要求的三角形，即只要以一条边为底，然后在对面的平行线上任意找到一个点连接，组成的三角形都是等底等高的。同样，能画出无数个像这样符合要求的平行四边形或长方形。无法画出梯形。图3竖线段左右移动，形成等底等高、不断变化的平行四边形（含长方形）扫码看视频图6竖线段上下、左右移动，形成不断变化的多边形（二）交流明确：能画出无数个像这样符合要求的情境二：竖线段在横线段两边（几何画板演示如图5和图6图3竖线段左右移动，形成等底等高、不断变化的平行四边形（含长方形）扫码看视频图6竖线段上下、左右移动，形成不断变化的多边形（二）交流明确：能画出无数个像这样符合要求的多边形，即高左右平移，上下平移。接下来计算面积。交流发现：上下每组多边形面积相等，等积变形。最后进行反思提升。交流明确：换个角度，可以画出很多符合要求的图形；遇到比较复杂的多边形，换个角度，难题就变得简单了，这里其实应用了转化思想。四、多重变化：转化思想让类比推理走向深入合情推理中的类比推理是一种从特殊到特殊的推理，即已知一类事物的属性，参照这些已知属性对另一类事物的相似属性进行推断。从某种角度看，很多数学学习是在不断转化的过程中完成类比推理的，将新知转化成旧知，将复杂转化成简单，当然也可以突破定式、逆向而行。不管怎样的转化过程，最终都指向知识的融会贯通，指向思维的灵活性和深刻性。小学生合情推理的主要矛盾还是在于抽象和形象的矛盾，技术融入是化解这一矛盾的有效措施。有效的技术融入可以将复杂的数学问题变得简单，有助于探索解决问题的思路，推断结果。多边形的面积，小学数学教材呈现的学习路径是平行四边形一三角形一梯形，能否从转化的角度来深入探究呢？笔者研读《小学数学文化》一书后得到启发，尝试引导学生倒过来从梯形面积推导三角形和平行四边形面积。同样，借助几何画板能让学生充分感受多重变化的动态过程，在经历类比推理的过程中进一步感悟多边形关系及面积内涵。第一步，变化图形。师：如果一个梯形上下底的和是10厘米，高是4厘米，它的形状会是怎样的？在方格图里画一画，并分别标出上下底的长度。（每个小方格边长1厘米，上下底取整厘米数。）交流明确表1信息，并且发现：如果上下底都是5厘米，梯形就会变成平行四边形或长方形；如果上底是0,梯形就会变成三角形。进一步交表1图形参数变化上底（厘米）1234下底（厘米）9876高（厘米）4444流明确：在这样的变化过程中，形状变了，但面积不变，等积变形。第二步，换个角度整理公式。师：平行四边形、长方形、三角形等都可以看成特殊的梯形。可以根据梯形面积公式来推导其他多边形的面积公式吗？师：根据梯形的面积公式，怎样推导平行四边形的面积公式？学生观察动态演示过程，理解后回答，略。第三步，反思。交流明确：换个角度，学生对多边形面积的理解就更深刻了，这里应用了转化