九年级数学圆的性质及习题

./一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆点在圆；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离〔图1无交点；外切〔图2有一个交点；相交〔图3有两个交点；切〔图4有一个交点；含〔图5无交点；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：〔1平分弦〔不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；〔2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；〔3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙中,∵∥∴弧弧六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即：①；②；③；④弧弧七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙中,∵、都是所对的圆周角∴推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即：在⊙中,∵是直径或∵∴∴是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即：在△中,∵∴△是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆接四边形圆的接四边形定理：圆的接四边形的对角互补,外角等于它的对角。即：在⊙中,∵四边形是接四边形∴九、切线的性质与判定定理〔1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线〔2性质定理：切线垂直于过切点的半径〔如上图推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴平分十一、圆幂定理〔1相交弦定理：圆两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙中,∵弦、相交于点,∴〔2推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙中,∵直径,∴〔3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙中,∵是切线,是割线∴〔4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等〔如上图。即：在⊙中,∵、是割线∴十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：〔1公切线长：中,；〔2外公切线长：是半径之差；公切线长：是半径之和。十四、圆正多边形的计算〔1正三角形在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行：；〔2正四边形同理,四边形的有关计算在中进行,：〔3正六边形同理,六边形的有关计算在中进行,.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：〔1弧长公式：；〔2扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积2、圆柱：〔1A圆柱侧面展开图=B圆柱的体积：〔2A圆锥侧面展开图=B圆锥的体积：一、圆的定义。1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。2、在同一平面,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。二、圆的各元素。1、半径：圆上一点与圆心的连线段。2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。3、弦：连接圆上两点线段〔直径也是弦。4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。〔1劣弧：小于半圆周的弧。〔2优弧：大于半圆周的弧。5、圆心角：以圆心为顶点,半径为角的边。6、圆周角：顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质。1、圆的对称性。〔1圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。〔2圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。〔3圆是旋转对称图形。2、垂径定理。〔1垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。〔2推论：平分弦〔非直径的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。〔1同弧所对的圆周角相等。〔2直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角,它所对的弦是直径。4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。5、夹在平行线间的两条弧相等。6、设⊙O的半径为r,OP=d。dd=r点P在⊙O上d<r〔r>d点P在⊙O内d>r〔r<d点P在⊙O外7、〔1过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。〔2不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。〔直角三角形的外心就是斜边的中点。8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。直线与圆有两个交点,直线与圆相交；直线与圆只有一个交点,直线与圆相切；直线与圆没有交点,直线与圆相离。d=d=r直线与圆相切。d<r〔r>d直线与圆相交。d>r〔r<d直线与圆相离。9、平面直角坐标系中,A〔x1,y1、B〔x2,y2。则AB=10、圆的切线判定。〔1d=r时,直线是圆的切线。切点不明确：画垂直,证半径。〔2经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。切点明确：连半径,证垂直。11、圆的切线的性质〔补充。〔1经过切点的直径一定垂直于切线。〔2经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。12、切线长定理。13<2>图x5-x13<2>图x5-xABCDEF567x5-x7-x7-xO12〔2图1APB·O2〔2切线长定理。∵PA、PB切⊙O于点A、B∴PA=PB,∠1=∠2。13、切圆及有关计算。〔1三角形切圆的圆心是三个角平分线的交点,它到三边的距离相等。〔2如图,△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O切△ABC三边于点D、E、F。求：AD、BE、CF的长。分析：设AD=x,则AD=AF=x,BD=BE=5－x,CE=CF=7－x.可得方程：5－x＋7－x=6,解得x=3〔3△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c。a-rb-ra-rb-rrABCDEFOrrrb-ra-r分析：先证得正方形ODCE,得CD=CE=rAD=AF=b－r,BE=BF=a－rb－r＋a－r=c得r=〔4S△ABC=14、〔补充〔1弦切角：角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。〔2相交弦定理。圆的两条弦AB与CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD。〔3切割线定理。如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,则PA2=PB·PC。〔4推论：如图,PAB、PCD是⊙O的割线,则PA·PB=PC·PD。〔3图P〔3图PBACDOCBAPOD〔2图〔4图D〔4图DCBAPOBCOAD〔1图15、圆与圆的位置关系。相切相离〔1外离：d>r1＋r2相切相离外切：d=r1＋r2,交点有1个；相交：r1－r2<d<r1＋r2,交点有2个；切：d=r1－r2,交点有1个；含：0≤d<r1－r2,交点有0个。〔2性质。相交两圆的连心线垂直平分公共弦。相切两圆的连心线必经过切点。16、圆中有关量的计算。〔1弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。L=〔2扇形的面积用S表示。S=S=〔3圆锥的侧面展开图是扇形。r为底面圆的半径,a为母线长。扇形的圆心角α=S侧=arS全=ar＋r21、圆的有关概念与性质1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形,圆心是它的对称中心。3.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧；平分弦〔不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。5.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半。6.直径所对的圆周角是90°,90°所对的弦是直径。7.三角形的三个顶点确定1个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆,切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点,叫做三角形的心。9.圆接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆接四边形．10.圆接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻角的对角2、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外,②点在圆上,③点在圆；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d>r,②d=r,③d<r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交,②相切,③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d<r,②d=r,③d>r.3.圆与圆的位置关系共有五种：①含,②相切,③相交,④相外切,⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r〔R≥r之间的数量关系分别为：①d<R-r,②d=R-r,③R-r<d<R+r,④d=R+r,⑤d>R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引2条切线,切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。3、与圆有关的计算圆的周长为2πr,1°的圆心角所对的弧长为,n°的圆心角所对的弧长为,弧长公式为n为圆心角的度数上为圆半径>.2.圆的面积为πr2,1°的圆心角所在的扇形面积为,n°的圆心角所在的扇形面积为S==<n为圆心角的度数,R为圆的半径.3.圆柱的侧面积公式：S=2〔其中为底面圆的半径,为圆柱的高.4.圆锥的侧面积公式：S=〔其中为底面的半径,为母线的长.圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积测试题一、选择题〔每小题3分,共45分1．在△ABC中,∠C=90°,AB＝3cm,BC＝2cm,以点A为圆心,以2.5cm为半径作圆,则点C和⊙A的位置关系是〔。A．C在⊙A上Ｂ．C在⊙A外C．C在⊙AＤ．C在⊙A位置不能确定。2．一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为〔。A．16cm或6cmＢ．3cm或8cmC．3cmＤ．8cm3．AB是⊙O的弦,∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是〔。A．40°Ｂ．140°或40°C．20°Ｄ．20°或160°4．O是△ABC的心,∠BOC为130°,则∠A的度数为〔。A．130°Ｂ．60°C．70°Ｄ．80°5．如图1,⊙O是△ABC的切圆,切点分别是D、E、F,已知∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE的度数是〔。A．55°Ｂ．60°C．65°Ｄ．70°6．如图2,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边A、B、C、D处各有一棵树,且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在〔。A．A处B．B处C．C处D．D处图1图27．已知两圆的半径分别是2和4,圆心距是3,那么这两圆的位置是〔。A．含Ｂ．切C．相交Ｄ．外切8．已知半径为R和r的两个圆相外切。则它的外公切线长为〔。A．R＋rＢ．EQ\R<,R2+r2>C．EQ\R<,R+r>Ｄ．2EQ\R<,Rr>9．已知圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面积为〔。Ａ．10πB．12πＣ．15πＤ．20π10．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n的值是〔。A．3B．4C．5D．611．下列语句中不正确的有〔。①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴④长度相等的两条弧是等弧A．3个Ｂ．2个 C．1个Ｄ．4个12．先作半径为的第一个圆的外切正六边形,接着作上述外切正六边形的外接圆,再作上述外接圆的外切正六边形,…,则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为〔。A．Ｂ．C．Ｄ．13．如图3,⊿ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,⊙O切于⊿ABC,则阴影部分面积为<>A．12-πＢ．12-2πC．14-4πＤ．6-π14．如图4,在△ABC中,BC＝4,以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于E,交AC于F,点P是⊙A上的一点,且∠EPF＝40°,则图中阴影部分的面积是〔。A．4－πB．4－πC．8－πD．8－π15．如图5,圆接四边形ABCD的BA、CD的延长线交于P,AC、BD交于E,则图中相似三角形有〔。A．2对Ｂ．3对C．4对Ｄ．5对图3图4图5二、填空题〔每小题3分,共30分1．两圆相切,圆心距为9cm,已知其中一圆半径为5cm,另一圆半径为_____.2．两个同心圆,小圆的切线被大圆截得的部分为6,则两圆围成的环形面积为_________。3．边长为6的正三角形的外接圆和切圆的周长分别为_________。4．同圆的外切正六边形与接正六边形的面积之比为_________。5．矩形ABCD中,对角线AC＝4,∠ACB＝30°,以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。6.扇形的圆心角度数60°,面积6π,则扇形的周长为_________。7．圆的半径为4cm,弓形弧的度数为60°,则弓形的面积为_________。8．在半径为5cm的圆有两条平行弦,一条弦长为6cm,另一条弦长为8cm,则两条平行弦之间的距离为_________。9．如图6,△ABC接于⊙O,AB=AC,∠BOC=100°,MN是过B点而垂直于OB的直线,则∠ABM=________,∠CBN=________；10．如图7,在矩形ABCD中,已知AB=8cm,将矩形绕点A旋转90°,到达A′B′C′D′的位置,则在转过程中,边CD扫过的<阴影部分>面积S=_________。图6图7三、解答下列各题〔第9题11分,其余每小题8分,共75分1．如图,P是⊙O外一点,PAB、PCD分别与⊙O相交于A、B、C、D。<1>PO平分∠BPD；<2>AB=CD；<3>OE⊥CD,OF⊥AB；<4>OE=OF。从中选出两个作为条件,另两个作为结论组成一个真命题,并加以证明。2．如图,⊙O1的圆心在⊙O的圆周上,⊙O和⊙O1交于A,B,AC切⊙O于A,连结CB,BD是⊙O的直径,∠D＝40°求：∠AO1B、∠ACB和∠CAD的度数。3．已知：如图20,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,BC=4,以A为圆心,2为半径作⊙A,试问：直线BC与⊙A的关系如何？并证明你的结论。4．如图,ABCD是⊙O的接四边形,DP∥AC,交BA的延长线于P,求证：AD·DC＝PA·BC。5．如图⊿ABC中∠A＝90°,以AB为直径的⊙O交BC于D,E为AC边中点,求证：DE是⊙O的切线。6．如图,已知扇形OACB中,∠AOB＝120°,弧AB长为L＝4π,⊙O′和弧AB、OA、OB分别相切于点C、D、E,求⊙O的周长。7．如图,半径为2的正三角形ABC的中心为O,过O与两个顶点画弧,求这三条弧所围成的阴影部分的面积。8．如图,ΔABC的∠C＝Rt∠,BC＝4,AC＝3,两个外切的等圆⊙O1,⊙O2各与AB,AC,BC相切于F,H,E,G,求两圆的半径。9．如图①、②、③中,点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于P点。⑴求图①中,∠APD的度数；⑵图②中,∠APD的度数为___________,图③中,∠APD的度数为___________；⑶根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况．若能,写出推广问题和结论；若不能,请说明理由。参考答案一、1、C2、B3、B4、D5、C6、B7、C8、D9、C10、A11、D12、A13、D14、B15、C二、1、4cm或14cm；2、9π；3、π,π；4、4：3；5、π；6、12+2π；7、〔π-cm2；8、7cm或1cm；9、65°,50°；10、16πcm2。三、1、命题1,条件③④结论①②,命题2,条件②③结论①④.证明：命题1∵OE⊥CD,OF⊥AB,OE=OF,∴AB=CD,PO平分∠BPD。2、∠AO1B=140°,∠ACB=70°,∠CAD=130°。3、作AD⊥BC垂足为D,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵BC=4,∴BD=BC=2.可得AD=2.又∵⊙A半径为2,∴⊙A与BC相切。4、连接BD,证△PAD∽△DCB。5、连接OD、OE,证△OEA≌△OED。6、12π。7、4π-。[解析]解:三条弧围成的阴影部份构成"三叶玫瑰",其总面积等于6个弓形的面

积之和.每个弓形的半径等于△ABC外接园的半径R=<2/sin60°>/2

=2√3/3.每个弓形对应的园心角θ=π/3.每个弓形的弦长b=R=2√3/3.

∴一个弓形的面积S=<1/2>R^2<θ-sinθ>

=<1/2><2√3/3>^2[π/3-sin<π/3>]

=<2/3><π/3-√3/2>

于是三叶玫瑰的总面积=6S=4<π/3-√3/2>=2<2π-3√3>/3.8、。提示：将两圆圆心与已知的点连接,用面积列方程求。9、〔1∵△ABC是等边三角形∴AB=BC,∠ABE=∠BCD=60°∵BE=CD∴△ABE≌△BCD∴∠BAE=∠CBD∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°〔290°,108°〔3能．如图,点E、D分别是正n边形ABCM…中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,BD与AE交于点P,则∠APD的度数为。一、选择题〔每小题5分,共25分1．如图,△ABC接于⊙O,∠A=400,则∠OBC的度数为<>A.200B.400C.800D.7002．如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长是3,则弦AB的长是<>A．4B.6C.7D.83．下列命题中正确的是<>A．平分弦的直径垂直于这条弦;B．切线垂直于圆的半径C．三角形的外心到三角形三边的距离相等;D．圆接平行四边形是矩形4．以下命题中,正确的命题的个数是<><1同圆中等弧对等弦．<2圆心角相等,它们所对的弧长也相等．<3三点确定一个圆．<4平分弦的直径必垂直于这条弦．A.1个B.2个C.