安徽定远高复学校2024届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

安徽定远高复学校2024届数学高二上期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线l和抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为（）A. B.1C. D.22．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且，则的长为（）A. B.1C. D.3．圆与圆的位置关系是（）A.内含 B.相交C.外切 D.外离4．若直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），则的值为（）A. B.C. D.5．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C对任意， D.对任意，6．下列函数求导错误的是（）A.B.C.D.7．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数8．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.49．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成60°角；④与是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④10．已知双曲线的离心率为，左焦点为F，实轴右端点为A，虚轴上端点为B，则为（）A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形 D.锐角三角形11．已知椭圆的右焦点和右顶点分别为F，A，离心率为，且，则n的值为（）A.4 B.3C.2 D.12．过点且与原点距离最大的直线方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节、下午4节），分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有______14．随机投掷一枚均匀的硬币两次，则两次都正面朝上的概率为______15．双曲线的渐近线方程为______16．已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，（1）若，求c的值；（2）求最大值18．（12分）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）19．（12分）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B（1）求集合A，B；（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围20．（12分）在中，是的中点，，现将该平行四边形沿对角线折成直二面角，如图：（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）求下列函数的导数.（1）；（2）.22．（10分）抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）若，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由垂直关系得出直线l方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及数量积公式得出p的值.【详解】，，即联立直线和抛物线方程得设，则解得故选：B2、C【解析】由椭圆的定义得：，，结合条件可得，即可得答案.【详解】由椭圆的定义得：，，又，，所以，由椭圆知，所以.故选：C3、C【解析】分别求出两圆的圆心、半径，再求出两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆的圆心，半径，圆，即的圆心，半径，则，即有，所以圆与圆外切.故选：C4、D【解析】分析出为等腰直角三角形，可得出原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，由此可解得的值.【详解】圆的圆心为原点，由于且，所以，为等腰直角三角形，且圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用圆周角求参数，解题的关键在于求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程求解参数.5、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.6、C【解析】每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.【详解】对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，不正确；对于D，，正确.故选：C7、C【解析】根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲、乙的平均数相同；故选：C.8、A【解析】利用正态分布的对称性和概率的性质即可【详解】由，且则有：根据正态分布的对称性可知：故选：A9、C【解析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项.【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：由图可得：为异面直线，与不是异面直线，是异面直线，故①②错误，④正确.连接，则为等边三角形，而，故或其补角为与所成的角，因为，故与所成的角为，故③正确.综上，正确命题的序号为：③④.故选：C.【点睛】本题考查正方体的平面展开图，注意展开图中的点与正方体中的顶点的对应关系，本题属于容易题.10、A【解析】根据三边的关系即可求出【详解】因，所以，而，，，所以，即，所以为直角三角形故选：A11、B【解析】根据椭圆方程及其性质有，求解即可.【详解】由题设，，整理得，可得.故选：B12、A【解析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，，∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：，即.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2400种【解析】分三步，第一步：根据题意从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，第二步：将数学和英语捆绑排列，第三步：将剩下的5节课全排列，最后利用分步乘法计数原理求解.【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，有（种）编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，所以有（种）编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有（种）编排方法根据分步乘法计数原理知共有（种）编排方法故答案为：2400种14、##【解析】列举出所有情况，利用古典概型的概率公式求解即可【详解】随机投掷一枚均匀的硬币两次，共有：正正，正反，反正，反反共4种情况，两次都是正面朝上的有：正正1种情况，所以两次都正面朝上的概率为，故答案为：15、【解析】将双曲线方程化成标准方程，得到且，利用双曲线渐近线方程，可得结果【详解】把双曲线化成标准方程为，且，双曲线的渐近线方程为，即故答案为【点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求渐近线方程，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．若双曲线方程为，则渐近线方程为；若双曲线方程为，则渐近线方程为.16、##【解析】先求出顶点和焦点坐标，求出直线直线与的斜率，利用到角公式求出的正切值，进而求出正弦值.【详解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可【详解】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C又，∴由正弦定理，得，即由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理，得，∴，∴由，得所以当时，即时，18、（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得，从而可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，利用弦长公式，结合韦达定理可得的值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得，从而可得结果.【详解】（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以抛物线的方程为y2＝4x（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，则，y1y2＝-4，所以又点O到直线l的距离，所以，解得，即【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题19、（1），（2）【解析】（1）直接解不等式即可，（2）由题意可得，从而可得解不等式组可求得答案【小问1详解】由，得，故由，得，故【小问2详解】依题意得：，∴解得∴m的取值范围为20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先求出BD，通过勾股定理的逆定理得，再由面面垂直的性质得线面垂直，从而得线线垂直；（2）作出二面角，然后再解直角三形即可.【小问1详解】在中，，，由余弦定理有：，∴，∴，即.又∵二面角是直二面角，平面ABD平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.【小问2详解】因为点是的中点，在中，由（1）易知,.过点作垂直的延长线于，再连接.由（1）有AB⊥平面BCD，又平面BCD，所以，又，平面，平面，且,所以平面，又平面，所以，因此的大小即二面角的大小.而在中有,，可得，所以，所以.所以二面角的余弦值是.21、（1）；（2）.【解析】利用导数的乘除法则，对题设函数求导即可.【小问1详解】.【小问2详解】22、（1）；（2）面积最小值是4【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，依题意F（1,0），设直线AB的方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得，由此能够求出直线AB的斜率；第二问，由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边