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文档简介
福建省南安市柳城中学2024届高二上数学期末统考模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列满足,且,那()A.19 B.31C.52 D.1042.如图,是对某位同学一学期次体育测试成绩(单位:分)进行统计得到的散点图,关于这位同学的成绩分析,下列结论错误的是()A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高,且次测试成绩的极差超过分B.该同学次测试成绩的众数是分C.该同学次测试成绩的中位数是分D.该同学次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关3.已知实数满足,则的取值范围()A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-14.计算复数:()A. B.C. D.5.已知是虚数单位,若复数满足,则()A. B.2C. D.46.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则下列判断正确的是()A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件7.在等差数列中,已知,则数列的前6项之和为()A.12 B.32C.36 D.728.已知直线与直线垂直,则()A. B.C. D.9.如图,在三棱锥中,,,,点在平面内,且,设异面直线与所成角为,则的最大值为()A. B.C. D.10.已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点,O为坐标原点,AB的中点为P,若直线OP的斜率为,则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.11.已知,则在方向上的投影为()A. B.C. D.12.函数的最小值为()A. B.1C.2 D.e二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某部门计划对某路段进行限速,为调查限速60km/h是否合理,对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测,将所得数据按,,,分组,绘制成如图所示频率分布直方图.则________;这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有______辆.14.点在以,为焦点的椭圆上运动,则的重心的轨迹方程是___________.15.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为________16.椭圆的左焦点为,M为椭圆上的一点,N是的中点,O为原点,若,则______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等比数列的前n项和为,,(1)求数列的通项公式;(2)在与之间插入n个数,使这个数组成一个等差数列,记插入的这n个数之和为,求数列的前n项和18.(12分)已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若对任意的,都有成立,求的取值范围19.(12分)已知函数,其中a为正数(1)讨论单调性;(2)求证:20.(12分)求下列函数的导数:(1);(2).21.(12分)如图,四边形为矩形,,,为的中点,与交于点,平面.(1)若,求与所成角的余弦值;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知过点的直线与曲线C相交于两点,,请问点P能否为线段的中点,并说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据等比数列的定义,结合等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为,所以有,因此数列是公比的等比数列,因为,所以,故选:D2、C【解析】根据给定的散点图,逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】对于A,由散点图知,8次测试成绩总体是依次增大,极差为,A正确;对于B,散点图中8个数据的众数是48,B正确;对于C,散点图中的8个数由小到大排列,最中间两个数都是48,则次测试成绩的中位数是分,C不正确;对于D,散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近,则次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关,D正确.故选:C3、C【解析】把看成动点与所确定的直线的斜率,动点在所给曲线上.【详解】就是点,所确定的直线的斜率,而在上,因为,.故选:C4、D【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.【详解】故选:D.5、C【解析】先求出,然后根据复数的模求解即可【详解】,,则,故选:C6、D【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断【详解】当第一次取出1,第二次取出4时,甲丙同时发生,不互斥不对立;第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生,但可以同时不发生,不对立,当第一次取出1,第二次取出3时,甲与丁同时发生,不互斥不对立,两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生,但可以同时不发生,因此是互斥不对立故选:D7、C【解析】利用等差数列的求和公式结合角标和定理即可求解.【详解】解:等差数列中,所以等差数列的前6项之和为:故选:C.8、D【解析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.【详解】由,所以直线的斜率为,由,所以直线的斜率为,因为直线与直线垂直,所以,故选:D9、D【解析】设线段的中点为,连接,过点在平面内作,垂足为点,证明出平面,然后以点为坐标原点,、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系,设,其中,且,求出的最大值,利用空间向量法可求得的最大值.【详解】设线段的中点为,连接,,为的中点,则,,则,,同理可得,,,平面,过点在平面内作,垂足为点,因为,所以,为等边三角形,故为的中点,平面,平面,则,,,平面,以点为坐标原点,、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,因为是边长为的等边三角形,为的中点,则,则、、、,由于点在平面内,可设,其中,且,从而,因为,则,所以,,故当时,有最大值,即,故,即有最大值,所以,.故选:D.【点睛】方法点睛:求空间角的常用方法:(1)定义法:由异面直线所成角、线面角、二面角的定义,结合图形,作出所求空间角,再结合题中条件,解对应的三角形,即可求出结果;(2)向量法:建立适当的空间直角坐标系,通过计算向量的夹角(两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量)的余弦值,即可求得结果.10、B【解析】这是中点弦问题,注意斜率与椭圆a,b之间的关系.【详解】如图:依题意,假设斜率为1的直线方程为:,联立方程:,解得:,代入得,故P点坐标为,由题意,OP的斜率为,即,化简得:,,,;故选:B.11、C【解析】利用向量数量积的几何意义即得【详解】,故在方向上的投影为:故选:C12、B【解析】先化简为,然后通过换元,再研究外层函数单调性,进而求得的最小值【详解】化简可得:令,故的最小值即为的最小值,是关于的单调递增函数,易知对求导可得:当时,单调递减;当时,单调递增则有:故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①.②.【解析】根据个小矩形面积之和为1即可求出的值;根据频率分布直方图可以求出车速低于限速60km/h的频率,从而可求出汽车有多少辆【详解】由解得:这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有故答案为:;14、【解析】设出点和三角形的重心,利用重心坐标公式得到点和三角形的重心坐标的关系,,代入椭圆方程即可求得轨迹方程,再利用,,三点不共线得到.【详解】设,,由,得,即,,因为为的重心,所以,,即,,代入,得,即,因为,,三点不共线,所以,则的重心的轨迹方程是.故答案:.15、相交【解析】由题意知,两圆的圆心分别为(-2,0),(2,1),故两圆的圆心距离为,两圆的半径之差为1,半径之和为5,而1<<5,所以两圆的位置关系为相交16、4【解析】根据三角形的中位线定理,结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆的左焦点为,如图,设右焦点为,则,由N是的中点,O为得中点,,故,又,所以,故答案为:4三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】(1)设等比数列公比为q,利用与关系可求q,在中令n=1可求;(2)根据等差数列前n项和公式可求,分析{}的通项公式,利用错位相减法求其前n项和.【小问1详解】设等比数列的公比为q,由己知,可得,两式相减可得,即,整理得,可知,已知,令,得,即,解得,故等比数列的通项公式为;【小问2详解】由题意知在与之间插入n个数,这个数组成以为首项的等差数列,∴,设{}前n项和为,①①×3:②①-②:18、(1)答案见解析;(2).【解析】(1)求,分别讨论不同范围下的正负,分别求单调性;(2)由(1)所求的单调性,结合,分别求出的范围再求并集即可.【详解】解:(1)由已知定义域为,当,即时,恒成立,则在上单调递增;当,即时,(舍)或,所以在上单调递减,在上单调递增.所以时,在上单调递增;时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可知,当时,在上单调递增,若对任意的恒成立,只需,而恒成立,所以成立;当时,若,即,则在上单调递增,又,所以成立;若,则在上单调递减,在上单调递增,又,所以,,不满足对任意的恒成立.所以综上所述:.19、(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】(1)求解函数的导函数,并且求的两个根,然后分类讨论,和三种情况下对应的单调性;(2)令,通过二次求导法,判断函数的单调性与最小值,设的零点为,求出取值范围,最后将转化为的对勾函数并求解最小值,即可证明出不等式.【小问1详解】函数的定义域为∵令得∵,∴,得或①当,即时,时,或;时,.∴在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增②当,即时,时,或;时,.∴在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增③当,即时,∴在上单调递增综上所述:当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增【小问2详解】令,()∴,令∴,∴在上单调递增又∵,,∴使得,即(*)∴当时,,∴,∴单调递减∴当时,,∴,∴单调递增∴,()由(*)式可知:,∴,∴∵,∴函数单调递减∴,∴∴【点睛】求解本题的关键是利用二次求导法,通过虚设零点,求解原函数的单调性与最小值,并通过最小值的取值范围证明不等式.20、(1);(2).【解析】(1)根据导数的加法运算法则,结合常见函数的导数进行求解即可;(2)根据导数的加法和乘法的运算法则,结合常见函数的导数进行求解即可.【小问1详解】;【小问2详解】.21、(1)(2)【解析】(1)以为原点,、所在的直线为、轴,以过点垂直于面的直线为轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得与所成角的余弦值;(2)计算出平面的法向量,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】解:如图,以为原点,、所在的直线为、轴,以过点垂直于面的直线为轴,建立空间直角坐标系,,,则,则,故,因为平面,平面,则,若,则,故、、、,则,,.因此,若,则与所成角的余弦值为.【小问2详解】解:若,则、,,,,设平面的法向量为,则,取,可得,,所以直线与平面所成角的正弦值为.22、(1)(2)不能,理由见解析.【解析】(1)利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解;(2)先假设点P能为线段的中点,再利用点差法求出直线的斜率
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