2024届延安市重点中学高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2024届延安市重点中学高二数学第一学期期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为、，其中，.如果这时气球的高度，则河流的宽度BC为（）A. B.C. D.2．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．双曲线：的实轴长为（）A. B.C.4 D.24．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（）A. B.3C. D.25．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.6．函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.7．在中，已知点在线段上，点是的中点，，，，则的最小值为（）A. B.4C. D.8．设双曲线：（，）的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的点，直线交双曲线于另一个点（为坐标原点），若直线平分线段，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.9．已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则（）A1011 B.2020C.2021 D.202210．圆：与圆：的位置关系是（）A.内切 B.外切C.相交 D.相离11．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（）A.1 B.C.或1 D.或12．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的一条渐近线的一个方向向量为，则______（写出一个即可）14．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________15．若函数解析式，则使得成立的的取值范围是___________.16．若，则__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.（1）当时，求证：；（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.18．（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；19．（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求的方程；（2）设的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求的取值范围.20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程21．（12分）已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列.（1）求和；（2）若，数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，若该工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，产品的质量指数在内时为优等品.（1）用统计有关知识判断甲、乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从该工厂样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，求抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题意得，，，然后在和求出，从而可求出的值【详解】如图，由题意得，，，在中，，在中，，所以，故选：D2、B【解析】利用渐近线方程和直线解出Q点坐标，再由得P点坐标，代入双曲线方程得到a、b、c的齐次式可解.【详解】如图，因为与渐近线垂直所以的斜率为，方程为解的Q的坐标为设P点坐标为则，因为，所以，得点P坐标为，代入得：所以，即所以渐近线方程为故选：B.3、A【解析】根据双曲线的几何意义即可得到结果.【详解】因为双曲线的实轴长为2a，而双曲线中，，所以其实轴长为故选：A4、D【解析】根据抛物线的定义求得，由此求得的长.【详解】过作，垂足为，设与轴交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查抛物线定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5、A【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围【详解】解：命题“，”是假命题，则它的否定命题“，”是真命题，时，不等式为，显然成立；时，应满足，解得，所以实数的取值范围是故选：A6、D【解析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，求出的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D7、C【解析】利用三点共线可得，由，利用基本不等式即可求解.【详解】由点是的中点，则，又因为点在线段上，则，所以，当且仅当，时取等号，故选：C【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8、A【解析】由给定条件写出点A，F坐标，设出点B的坐标，求出线段FC的中点坐标，由三点共线列式计算即得.【详解】令双曲线的半焦距为c，点，设，由双曲线对称性得，线段FC的中点，因直线平分线段，即点D，A，B共线，于是有，即，即，离心率.故选：A9、C【解析】结合向量坐标运算以及抛物线的定义求得正确答案.【详解】设，因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，准线为：，因此，所以，即，由抛物线的定义可得，所以故选：C10、A【解析】先计算两圆心之间的距离，判断距离和半径和、半径差之间的关系即可.【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，两圆心之间的距离，故两圆内切.故选：A.11、B【解析】利用定义法进行判断.【详解】把代入，得：，解得：或.当时，可化为：，解得：，此时“”是“”的充要条件，应舍去；当时，可化为：，解得：或，此时“”是“”的充分不必要条件.故.故选：B12、A【解析】根据框图逐项计算后可得正确的选项.【详解】第一次循环前，；第二次循环前，；第三次循环前，；第四次循环前，；第五次循环前，此时满足条件，循环结束，输出S的值是18故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、(答案不唯一)【解析】写出双曲线的渐近线方程，结合方向向量的定义求即可.【详解】由题设，双曲线的渐近线方程为，又是一条渐近线的一个方向向量，所以或或或，所以或.故答案为：(答案不唯一)14、【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为，由题意可得：，据此可得：，则球的表面积：，结合解得：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15、【解析】由题意先判断函数为偶函数，再利用的导函数判断在上单调递增，根据偶函数的对称性得上单调递减.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【详解】，，为偶函数，当时，，故函数在上单调递增.为偶函数，在上单调递减.要使成立，即.故答案为：.16、【解析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.【详解】令，则；令，则.上述两式相加得故答案为：.【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）是定值，定值为.【解析】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出，即得证；（2）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再求出，，即得解.【详解】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程，消去，得，所以.所以即.（2）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程，消去，得，故.设的方程为，联立直线与拋物线的方程，消去得，从而，则，同理可得，，即定值.18、（1）（2）详见解析【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.【详解】（1），，，，又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.①当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；②当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.19、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的离心率为，及经过点建立等式可求解；（2）分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，计算与后再求范围即可.【小问1详解】由题意知的离心率为，整理得，又因为经过点，所以，解得，所以，因此，的方程为.小问2详解】由已知可得，当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得，或，，此时有或.当AB和DE的斜率都存在时且不为0时，设直线：，直线：，，，，由得，所以，，所以，用替换可得.所以，综上所述，的取值范围为.20、（1）；（2）理由见解析，圆的方程为.【解析】(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解.(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答.【小问1详解】因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,，，因此，，解得，，所以椭圆C的标准方程是：.【小问2详解】由消去y并整理得：，依题意，，设，，因，则，于是得，此时，，则原点O到直线l的距离，所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线l相切，此圆的方程为.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.21、（1），；（2）.【解析】（1）求出，即得数列的和；（2）由题得，再利用分组求和求出，得到，令，判断函数的单调性得解.【详解】（1）设数列的公差为，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由题意：，，，令，则，即对任意的恒成立，是单调递增数列，，只需，所以.【点睛】方法点睛：求数列的最值，常用数列的单调性求解，求数列的单调性，一般利用定义法作差或作商判断.22、（1）甲更好，详细见解析（2）【解析】（1）根据频率分布直方图计算甲、乙两条生产线所生产产品的质量指数的平均数，比较大小即可得答案；（2）由题意可知，甲、乙生产线的样品中优等品件数，利用分层抽样可得从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；列出抽取到的2件产品的所有基本事件，根据古典概型计算即可.【小问1详解】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因为，所以甲生产线生产产品质量的平均水平高于乙生产线生产产品质量的平均水平，故甲生产线所生产产品的质量更好.