三角形的等积变形

PAGE 第4页版权所有不得复制年级四年级学科奥数版本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师李允一校林卉二校张琦锋审核张舒这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。三角形面积的计算公式：S＝底×高÷2三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；①当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。②当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。③一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。重要结论：①等底等高的两个三角形面积相等。②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。③若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。例1如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝12厘米，DC＝4厘米。（1）求△ABC的面积是△ABD面积的多少倍；（2）求△ABD的面积是△ADC面积的多少倍。分析与解：因为△ABD、△ABC和△ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是过A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12＋4＝16，16÷12＝，所以△ABC的底是△ABD的底的倍，所以，△ABC的面积是△ABD面积的倍；同理，因为12÷4＝3，所以△ABD的面积是△ADC面积的3倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数＝底边长的倍数。例2如图，E在AD上，AD垂直于BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求△ABC的面积是△EBC面积的几倍。分析与解：因为AD垂直于BC，所以当BC为△ABC和△EBC的底时，AD是△ABC的高，ED是△EBC的高。于是：△ABC的面积＝BC×12÷2＝BC×6；△EBC的面积＝BC×3÷2＝BC×1.5。所以△ABC的面积是△EBC的面积的4倍。巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数＝高的倍数。例3如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点为O，求证：△AOB与△COD面积相等。分析与解：∵△ABC与△DBC等底等高，∴＝。又∵＝－，＝—，∴＝。1.解：解法一：如图（1），将BC边四等分，连接A与各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC的面积相等。解法二：如图（2），D是BC的二等分点，E、F分别是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE。解法三：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD的面积相等。2.解：可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半，所以阴影部分的面积为8×3÷2＝12（平方厘米）。3.解：因为D为BC边的三等分点，所以＝9平方厘米。同理＝＝6平方厘米，＝＝4平方厘米，所以＝27－9－6－4＝8平方厘米。4.解：连接BD，作出梯形的一条高DF。三角形BCD以CD为底、BE为高，面积为8×9÷2＝36（平方厘米）；也可以看做以BC为底、DF为高，由BC＝12厘米可知DF为36×2÷12＝6（厘米）。在梯形ABCD中，上底为5厘米，下底为12厘米，高为6厘米，面积为（5＋12）×6÷2＝51（平方厘米）。5.解：三角形ABE中以AB为底，相应的高与正方形的边长