信号与系统 课件 付华 第五章 非周期信号的频率分析

信号与系统SignalsandSystems信号的频域分析

连续周期信号的频域分析

连续非周期信号的频谱

常见连续时间信号的频谱连续时间Fourier变换的性质

连续非周期信号的频谱

从傅里叶级数到傅里叶变换频谱函数与频谱密度函数的区别傅里叶反变换非周期矩形脉冲信号的频谱分析一、从傅里叶级数到傅里叶变换

讨论周期T增加对离散谱的影响：周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为一、从傅里叶级数到傅里叶变换物理意义:F(jw)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。二、频谱函数与频谱密度函数的区别（1）周期信号的频谱为离散频谱，

非周期信号的频谱为连续频谱。（2）周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为TCn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。

两者关系：三、傅里叶反变换物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为

，复振幅为[F(j

)/2p]d

的虚指数信号ejw

t的线性组合。T

,记nw0=w,w0=2p/T=dw,傅立叶正变换：傅立叶反变换：符号表示：狄里赫莱条件狄里赫莱条件是充分条件，但不是必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。例试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数。解：

非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为由傅里叶正变换定义式，可得分析：2.

周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得3.

信号在时域有限，则在频域将无限延续。4.

信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。5.

脉冲宽度

越窄，有效带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。1.

非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。

常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱(频谱密度)

单边指数信号双边指数信号e-a|t|

单位冲激信号d(t)

直流信号符号函数信号单位阶跃信号u(t)常见周期信号的频谱密度

虚指数信号正弦型信号单位冲激串一、常见非周期信号的频谱1.

单边指数信号

幅度频谱

相位频谱一、常见非周期信号的频谱1.

单边指数信号单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱一、常见非周期信号的频谱2.

双边指数信号e-a|t|幅度频谱

相位频谱一、常见非周期信号的频谱3.

单位冲激信号d(t)单位冲激信号及其频谱一、常见非周期信号的频谱4.

直流信号f(t)=1,-<t<

直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的方法求出其傅里叶变换。

一、常见非周期信号的频谱4.

直流信号

对照冲激、直流时频曲线可看出:时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱一、常见非周期信号的频谱5.

符号函数信号

符号函数定义为一、常见非周期信号的频谱5.

符号函数信号符号函数的幅度频谱和相位频谱一、常见非周期信号的频谱6.

单位阶跃信号u(t)阶跃信号及其频谱二、常见周期信号的频谱密度1.

虚指数信号同理:虚指数信号频谱密度二、常见周期信号的频谱密度2.

正弦型信号余弦信号及其频谱函数二、常见周期信号的频谱密度2.

正弦型信号正弦信号及其频谱函数二、常见周期信号的频谱密度3.

一般周期信号两边同取傅里叶变换

二、常见周期信号的频谱密度4.

单位冲激串

因为

T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅里叶级数：二、常见周期信号的频谱密度4.

单位冲激串单位冲激串及其频谱函数信号与系统SignalsandSystems信号的频域分析

连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频谱常见连续时间信号的频谱

连续时间Fourier变换的性质

傅立叶变换的基本性质1.

线性特性 2.

共轭对称特性3.

对称互易特性 4.

展缩特性 5.

时移特性6.

频移特性7.

时域卷积特性 8.

频域卷积特性9.

时域微分特性10.

积分特性 11.

频域微分特性12.

能量定理1.线性特性其中a和b均为常数。2.共轭对称特性当f(t)为实函数时，有|F(jw)|=|F(-jw)|，

(w)=-

(-w)

F(jw)为复数，可以表示为2.共轭对称特性当f(t)为实偶函数时，有F(jw)=F*(jw)，

F(jw)是w的实偶函数

当f(t)为实奇函数时，有F(jw)=-

F*(jw)，F(jw)是w的虚奇函数

3.时移特性式中t0为任意实数

证明：令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得

信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。例1

试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(jw)。解：

无延时且宽度为

的矩形脉冲信号f(t)

如图，因为，故由延时特性可得其对应的频谱函数为4.展缩特性证明:令x=at，则dx

=adt

，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。4.展缩特性

尺度变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)5.互易对称特性6.频移特性（调制定理）若则式中w0为任意实数证明：由傅里叶变换定义有6.频移特性（调制定理）

信号f(t)与余弦信号cosw0

t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移w0，幅度减半。同理例2

试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosw0

t相乘后信号的频谱函数。

应用频移特性可得解:

已知宽度为

的矩形脉冲信号对应的频谱函数为例2

试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosw0

t相乘后信号的频谱函数。

解:7.时域积分特性例3

试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：

利用时域积分特性，可得由于例4

试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：

将f(t)表示为f1(t)+f2(t)即8.时域微分特性若则例5

试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。解：

由上式利用时域微分特性，得因此有例6

试利用微分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：

利用时域微分特性，可得？信号的时域微分，使信号中的直流分量丢失。8.时域微分特性—修正的时域微分特性记

f'(t)=f1(t)则

例7

试利用修正的微分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：

利用修正的微分特性，可得与例4结果一致！9.频域微分特性若将上式两边同乘以j得证明：例8

试求单位斜坡信号tu(t)的频谱。解：

已知单位阶跃信号傅里叶变换为:故利用频域微分特性可得:10.时域卷积特性证明：例9

求如图所示信号的频谱。解：例10

计算其频谱Y(jw)。解：利用Fourier变换的卷积特性可得11.频域卷积特性（调制特性）证明：12.非周期信号的能量谱密度12.非周期信号的能量谱密度

上式表明信号的能量也可以由|F(jw)|2在整个频率范围的积分乘以1/2

来计算。物理意义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。

帕什瓦尔能量守恒定理：12.非周期信号的能量谱密度

帕什瓦尔能量守恒定理：

定义单位角频率的信号能量为能量频谱密度函数，简称能量频。例11

计算。解：由

根据Parseval能量守恒定律，可得傅里叶变换性质一览表1.线性特性

2.对称互易特性3.展缩特性

4.时移特性 5.频移