初三升高一数学直播腾飞班（课改）讲义第5讲 函数的单调性

第6讲函数的单调性 知识引航第6讲函数的单调性 知识引航函数的单调性学习目标学习目标第第6讲函数的单调性 学习目标通过对初中已经学习过的函数(特别是二次函数)图象的观察、分析，逐步理解函数的单调性及其几何意义．能根据函数图象的升降特征，划分函数的单调区间；理解增(减)的单调性．会判断简单函数的单调性，以及利用函数单调性求参数取值范围．直击课堂直击课堂函数的单调性函数的单调性-直击课堂知识引航知识引航看到这幅图，你会想到什么呢？随着经济的增长，人们收入越来越多，那么闲置的钱放到哪里呢？投资股市是一部分人的选择．可是股市可能在一段时间内持续上涨，又有可能在一段时间内持续下跌，涨了赚钱跌了赔钱，真是玩得心跳加速啊．奉劝各位宝宝，看到这幅图，你会想到什么呢？随着经济的增长，人们收入越来越多，那么闲置的钱放到哪里呢？投资股市是一部分人的选择．可是股市可能在一段时间内持续上涨，又有可能在一段时间内持续下跌，涨了赚钱跌了赔钱，真是玩得心跳加速啊．奉劝各位宝宝，“股市有风险，入行需谨慎”．通过对这幅图的观察，聪明的你能发现什么呢？对啦！它反映了两个变量间的关系．“股市”随着时间的推移，一段时间内逐渐上升，而在另外一段时间内逐渐下降．Longlongago，大约在初中，我们给这两个变量就取了通俗易懂的名字，叫做函数的自变量与因变量，随着自变量的增加，因变量有的增加，有的减小，听起来还挺“峨嵋经”的．言归正传，在如今我们引入集合概念来对函数进行重新定义的基础上，这种函数变化趋势又该如何用严谨的数学语言进行定义与描述呢？模块1：单调性的概念第6讲函数的单调性 模块一 单调性的概念根据生活实际匹配下面三幅图象与三个事件：第6讲函数的单调性 模块一 单调性的概念根据生活实际匹配下面三幅图象与三个事件：事件1：婴儿0-3岁身高曲线(身高随着月份增加的曲线)事件2：艾宾浩斯遗忘曲线(记忆量随着时间变化的曲线)事件3：学习效率与紧张程度的曲线(学习效率随着紧张程度变化的曲线)【思考探究】在初中，我们已经学习过了一次函数，二次函数，现在分别画出y=x,y=−x,y=x2的图象，并仔细观察函数图象的变化趋势．【知识点睛】如果对于定义域I【知识点睛】如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1x2，当x1x2时，有f(x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(如图A)．区间D称为函数f(x)的单调增区间．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(如图B)．区间D称为函数f(x)的单调减区间．图示：111R上的函数f满足fff是R上的增函数；②定义在R上的函数f满足fff在R上不是减函数；③定义在R上的函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，在[0,+∞)上也是增函数，则f(x)在R上单调递增；④定义在R上的函数f在(−∞,上是增函数，在[0,+∞)上也是增函数，则f在R上单调递增．以上说法正确的是( )64%②③②④③④D.②③④考法：【达标检测】式变式1若函数f的定义域为+∞)，且满足f<f<f则函数f在+∞)上( )74%是增函数是减函数先增后减单调性不能确定2例题2A.A.[−4,−2]B.[1,4]C.[−42]和[14]D.[−4,−2]∪[1,4])1函数yf44]的图象如图所示，则函数f的所有单调递减区间为(考法：【达标检测】式变式如图是函数y=f的图象，则函数f的单调递减区间是( )84%A.(−1,0)B.(1,+∞)C.(−1,0)∪(1,+∞)D.(−1,0),(1,+∞)模块2：单调性的证明素材 knowledgecombingff(x1)③定号：确定Δy的符号(做差与0比，做商与1比)，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．②变形：对Δyf(x2f(x1)或f(x2进行因式分解、配方、有理化等，向有利于判断符号的方向变形．第6讲函数的单调性 模块二 单调性的证明【知识点睛】单调性严格证明的步骤：①取值：设x1，x2是某区间内的任意两个值，且Δxx2x10．3例题3xx1已知fx+1，证明f在[1+∞)上单调递增．x2判断并证明f=x21在上的单调性．变式 11证明f= x在+∞)上单调递增．2证明fx3在R上单调递增．模块3：常见函数的单调性第6讲函数的单调性 模块四 常见函数的单调性素材 第6讲函数的单调性 模块四 常见函数的单调性【知识点睛】4例题【知识点睛】4xxD.f=2−3)1下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为(A.f=x2+4B.f=1−2xC.f=−x2−x+1式变式1下列函数中，在区间(−1,上为增函数的是( )65%A.y=x−x2B.y=∣x+1∣y=−1xy=x2−2x5例题511已知函数f=−a2)x+2在(−∞,+∞)上为减函数，则的取值范围是 ．)2若函数fx22在区间4]上为减函数，则的取值范围是(a=−3a⩾−3a⩽3a⩽−3考法：【达标检测】3式变式1若函数fx22mx1在1)上单调递减，在(−1上单调递增，则m=

．xx+1D.f(x)=−∣x∣C.f(x)=−1f=3−xf=x2−3x)2下列四个函数中，在(0,+∞)上为增函数的是(增函数增函数减函数既不是增函数也不是减函数无法判断)ax3已知函数y和yb在区间上都是减函数，则函数ybx1在R上的单调性是(模块4：单调性的四则运算素材 knowledgecombing第6讲函数的单调性 模块三 单调性的四则运算第6讲函数的单调性 模块三 单调性的四则运算【知识点睛】若函数f(x)，g(x)在区间D上有单调性，则函数f(x)与f为常数)具有相同的单调性；当c0时，f(x)与(x)具有相同的单调性；当c0时，f(x)与(x)具有相反的单调性；1若f(x)恒为正值或者恒为负值时，则函数f(x)与在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)具有相反的单调性；6例题6①③①③①④②③②④)1设f都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题是(①若f单调递增，g单调递增，则fg单调递增；②若f单调递增，g单调递减，则fg单调递增；③若f单调递减，g单调递增，则fg单调递减；④若f单调递减，g单调递减，则fg单调递减．7例题71判断函数的单调性．f= x+7xxf=x−1．2判断函数的单调性．xxf=−x2+1>0)3判断函数的单调性．考法：【达标检测】1式变式1函数f=x3+1在其定义域内的单调性为（ ）65%增函数减函数既不是增函数也不是减函数无法判断增函数增函数减函数既不是增函数也不是减函数无法判断）2函数f=x+ x的单调性为（78%模块5：课堂总结素材 knowledgecombing函数的单调性函数的单调性-课堂总结模块6：秋季你会遇见例题8 xx+1已知函数f(x2x+1．11判断函数在区间(−1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．22在(1)的条件下,若f(m−1)−f(1−2m)>0，求实数m的取值范围．素材 knowledgecombing函数的单调性函数的单调性-秋季你会遇见【点石成金】暑期我们学习函数的单调性，主要是通过给定函数解析式，来判断函数的单调性。秋季，我们将继续学习函数单调性，考察已知函数单调性，进行解不等式，进而求出参数的取值范围，期待秋季的学习吧！模块7：理科大视野理科大视野素材 knowledgecombing理科大视野在一个斜面上,摆两条轨道,一条是直线,一条是曲线,起点高度以及终点高度都相同．两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落,曲线的小球反而先到终点．这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度,所以先到达．然而,两点之间的直线只有一条,曲线却有无数条,那么,哪一条才是最快的呢？牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等解决了这个问题．这条最速曲线就是一条摆线,也叫旋轮线．意大利科学家伽利略在1630年率先提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下,从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短．”．他说这曲线是圆,可是这是一个错误的答案．瑞士数学家约翰.伯努利在1696年再提出这个最速曲线的问题,征求解答．次年已有多位数学家得到正确答案,旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同．因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线(旋轮线)又称等时曲线．约翰.伯努利对最速曲线问题的完美解答:如果使分成的层数n无限地增加,即每层的厚度无限地变薄,则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况,此时折线也就无限增多,其形状就趋近我们所要求的曲线——最速曲线.而折线的每一段趋向于曲线的切线,因而得出最速曲线的一个重要性质