北京市门头沟2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市门头沟区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题本题共16分，每小题2分。第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1.如果，那么的值是（）A. B. C. D.答案：B答案解析：∵，∴，∴，故选：B2.已知的半径为4，点在内，则的长可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：A答案解析：∵的半径为4，点在内，∴0≤OP＜4，故选：A．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值为（）A. B. C. D.答案：D答案解析：在中，，，，由勾股定理得，，∴，故选：D．4.如果将抛物线向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（）A. B. C. D.答案：C答案解析：抛物线向上平移3个单位长度可得，故选：C5.如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B答案解析：∵，∴，∵，，∴，解得：，故B正确．故选：B．6.如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（）A. B. C. D.答案：D答案解析：如图：连接，是的直径，，，，，故选：D．7.二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（）A.B.C.D.一元二次方程的近似解为，答案：A答案解析：A．由二次函数的图象可知，∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴，，∴，故选项正确，符合题意；B．∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，故选项错误，不符合题意；C．由图象可知抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，则，故选项错误，不符合题意；D．∵抛物线的图象与x轴有一个交点在0和之间，抛物线的对称轴直线，∴图象与x轴另一个交点在2和3之间，∴一元二次方程的近似解为，不成立。故选项错误，不符合题意．故选：A．8.下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（）A.圆的面积y与它的半径x；B.正方形的周长y与它的边长x；C.用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；D.小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x；答案：C答案解析：A、圆的面积y与它的半径x的关系式为，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；B、正方形的周长y与它的边长x的关系式为，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；C、设铁丝的长度为a，则矩形的面积，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示，故此选项符合题意；D、设路程为s，则所用时间y与平均速度x的关系式为，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意，故选：C．二、填空题本题共16分，每小题2分。9.如果，那么锐角___________度．答案：45答案解析：∵，为锐角，∴，故答案为：45．10.如果一个扇形的圆心角为，半径为2，那么该扇形的面积为___________（结果保留π）．答案：答案解析：∵扇形的圆心角为，半径为2，∴该扇形的面积为：．故答案为：．11.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，那么与的大小关系是___________（填“”，“”或“”）时．答案：答案解析：在反比例函数中，随的增大而减小，，，故答案为：．12.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么的面积与的面积的比是___________．答案：答案解析：∵，，，，∴，，∴，∵，∴，∴,故答案为：13.写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是___________．答案：（答案不唯一）答案解析：二次函数，①开口向下，；②当时，随着的增大而增大，，即；∴只要满足以上两个条件就行，如时，二次函数的解析式是．故答案为：．（答案不唯一）14.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为___________寸．答案：450答案解析：设竹竿的长度为x寸，∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，∴，解得．答：竹竿长为450寸，故答案为：450．15.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米．答案：10答案解析：连接，，，可得：，，∵，拱高米，∴，设，则，根据题意可得：，即，解得：，即圆弧形桥拱所在圆的半径是米．故答案为：1016.如图1，在等边中，D是中点，点P为边上一动点，设，，如果y与x的函数关系的图象如图2所示，那么___________．答案：4答案解析：由图2可得y的最小值为，∵等边三角形，分析图1可知，当P点运动到时，长为最小值，

∴此时，∵，∴，解得，∵D为的中点，∴，∴．故答案为：4．三、解答题本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．答案：3答案解析：18.如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件，使得，然后再加以证明．答案：（答案不唯一）答案解析：添加，又∵，∴，故答案为：（答案不唯一）．19.下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，．求作：等边，使得等边内接于．作法：①如图2，作半径；②以M为圆心，长为半径作弧，交于点A，B，连接；③以B为圆心，长为半径作弧，交于点C；④连接，．∴就是所求作的等边三角形．根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，，，．由作图可知，∴，是等边三角形．∴．∴．∵，∴．（）（填推理的依据）∵，∴是等边三角形．答案：（1）见解析（2），同弧所对的圆周角等于圆心角的一半答案解析：（1）如图所示，（2）证明：连接，，，．由作图可知，∴，是等边三角形．∴．∴．∵，∴．（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）∵，∴是等边三角形．故答案为：，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半20.已知二次函数（1）求此二次函数图象的顶点坐标；（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）当时，直接写出x的取值范围．答案：（1）（2）与（3）答案解析：（1），故此二次函数图象的顶点坐标为；（2）令，则，解得，，故此二次函数图象与x轴的交点坐标为与；（2），此二次函数图象的开口向上，又此二次函数图象与x轴的交点坐标为与，当时，x的取值范围为．21.如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）如果，，求的长．答案：（1）见解析（2）答案解析：（1）证明：在中，，∴，∵，∴，∵，∴∴，∵，∴，∵，∴；（2）∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，解得．22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．（1）求反比例函数的解析式；（2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围．答案：（1）反比例函数的解析式为：；（2）k的取值范围是．答案解析：（1）对于，当时，，∴一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为，∴，∴反比例函数的解析式为：；（2）解方程组，得或，由题意得：，解得：，则k的取值范围是．23.定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为，定都阁底端B的俯角β为，此时无人机到地面的垂直距离为米，求定都阁的高．（结果保留根号）答案：米答案解析：如图所示，过点A作于点D，则，，由题意得，∴四边形是矩形，∴，，设，则，∵,，∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，解得，即为米．24.某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：水平距离x/m0123456…垂直高度y/m0.71.62.32.83.13.23.1…请根据测得的数据，解决以下问题：（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为m；（3）求所画图象对应的二次函数表达式；（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）答案：（1）见解析（2）3.2（3）（4）1或9答案解析：描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：（2）由图象可得，水柱最高点距离地面的垂直高度为，故答案为：3.2；（3）设二次函数表达式将，，代入得：，解得：∴二次函数表达式为；（4）在中，令得：，解得或，∴石柱距喷水枪的水平距离为或．故答案为：1或9．25.如图，在等腰中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E．（1）求证：是的切线；（2）如果，，求的长．答案：（1）见解析（2）答案解析：（1）证明：连接，∵，∴，∵等腰中，，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）∵，∴，∴，∴，∵为的中点，∴,∵,∴,连接，∵为直径，∴,∵,∴，∴，∴，即的长为．26.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．（1）当时，如果，直接写出，的值；（2）当，时，总有，求t的取值范围．答案：（1），；（2）答案解析：（1）根据题意，当时，，∵抛物线的对称轴为，∴关于对称轴对称的点的坐标为，∵，且，∴，；（2）根据题意可知，当时，，∵,∴图象开口向下，满足，，∴当时，y随着x的增大而增大，∴设抛物线对称轴为,∴，∴点关于对称轴对称的点为，∵，图象开口向下，,，∴解得，∴．27.如图，在中，，点D在上，连接，在直线右侧作，且，连接交于点F．（1）如图1，当时，①依题意补全图1，猜想与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段，的数量关系，并证明．（2）如图2，当时，直接用含m的等式表示线段，的数量关系．答案：（1）①见解析；，证明见解析；②；证明见解析；（2）答案解析：（1）①根据题意补全图形，如图所示：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴；②，理由如下：过点E作于点G，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．（2），理由如下：过点E作于点G，如图所示：∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．28.在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等积点．已知点．（1）在，，中，点M的等积点是；（2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；（3）已知点，，的半径为1，连接，点A在线段上．如果在上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．答案：（1）、（2）或（3）答案解析：（1）∵，∴是M的等积点；∵，∴不是M的等积点；∵，∴是M的等积点；故答案为：、；（2）设点M的等积点为，则，即，∴点M的等积点一定在直线，又∵点M的等积点N在双曲线上，∴联立，解得：，，点N的坐标为或．（3）根