圆柱和圆锥解题能力提升篇

柱和考点、热点回顾锥解题能力提升篇］1、 圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面，它们是完全相同的两个圆。形成圆柱的面还有一个曲面，叫做圆柱的侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。2、 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。3、 把圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。4、 圆柱的侧面积=底面周长X高5、 圆柱的表面积=侧面积+底面积X26、 （圆柱和圆锥的特征）长方体和正方体的六个面都是平面图形（长方形或正方形），而圆柱和圆锥除了底面是平面图形（圆）夕卜都有一个曲面。圆柱和圆锥的特征见下表。圆柱圆锥底面两个底面完全相同，都是圆形。一个底面，是圆形。侧面曲面，沿高剪开，展开后是长方形。曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形。高两个底面之间的距离，有无数条。顶点到底面圆心的距离，只有一条。一：圆锥的认识尸一个底面一一是一个圆。圆锥〈高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离。（只有一条）<一个侧面（曲面） 展开是一个扇形。二：圆锥体积的推导（1）拿出等底等高的圆柱和圆锥各一个.（2） 先在圆锥里装满水，然后倒入圆柱。我们清楚地看到倒3次正好把圆柱装满。（3） 这说明圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的上。3圆锥的体积=-X圆柱的体积二-X底面积X高，字母公式：V=ASh3 3 3三、圆柱、圆锥尸侧面积二底面周长X高圆柱〈表面积二侧面积+底面积X2」体积二底面积X高（V=sh）圆锥的体积二-X底面积X高（V^Sh）3 3二、典型例题如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体•问这个物体的表面积是多

少平方米？（兀取3.14）I【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2x3.14x1.52=14.13（立方米），侧面积为2x3・14x（0.5+1+1.5）x1=18.84（立方米）,所以该物体的表面积是14.13+18.84=32.97（立方米）.少平方米？（兀取3.14）I有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为671x10+丸x解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为671x10+丸x（Q）2><2+4兀x5=60兀+18兀+20兀=98兀=307.72（平方厘米）3. 圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是 立方厘米.（结果用丸表示）（第四届希望杯2试试题）【解析】当圆柱的高是12厘米时体积为兀x（四）2又12=迎（立方厘米）2兀 兀当圆柱的高是12厘米时体积为人x（―）2x10=—（立方厘米）•所以圆柱体的体积为迎立方厘米或迎271 71 7171立方厘米.如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？（71=3.14）*JOcmJJ*JOcm【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2X71X10=62.8（厘米），原来的长方形的面积为：（10x4+62.8）x（10x2）=2056（平方厘米）一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米.求这个圆柱体的表面积是多少？解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形.高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米.阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24+4=12.56（厘米），侧面积是：12.56x12.56=157.7536（平方厘米），两个底面积是：3.14'（12.56+3.14亏2）七2=25.12（平方厘米）.所以表面积为：157.7536+25.12=182.8736（平方厘米）.一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分.己知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008cm2，则这个圆柱体木棒的侧面积是 cm2.（兀取3.14）（2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）【解析】根据题意可知，'切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面.设圆柱体底面半径为尸，高为/?,那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：2x2rx/z=2008（cm2），所以rxh=502（cm2），所以，圆柱体侧面积为：2x7ixrx/z=2x3.14x502=3152.56（cm2）.一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米•将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？S=3.14）【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积.（法1）这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径.可知，圆柱体的高为50.24+（3.14x22）=4（厘米），所以增加的表面积为2x4x2=16（平方厘米）；（法2）根据长方体的体积公式推导.增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积.由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.14x2=6.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.24+6.28=8平方厘米，所以增加的表面积为8x2=16平方厘米.右图是一个零件的直观图•下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半•求这个零件的表面积和体积.【解析】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别rlz为：11768平方厘米，89120立方厘米.输液100毫升，每分钟输2.5毫升•如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？(K【解析】100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算•但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来.由于每分钟输2・5毫升，12分钟已输液2.5x12=30（毫升），因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积•所以整个吊瓶的容积是100+50=150（毫升）・/\瓶^里^面深30c^m,^^^^面瓶的容积是多少？（兀取3）10C儿人丄，丿里酒_1/深I5cm—J把I_丿|瓶刁*/后 丿、门瓶_I•向 _1/深□3)C\/\瓶^里^面深30c^m,^^^^面瓶的容积是多少？（兀取3）10C儿人丄，丿里酒_1/深I5cm—J把I_丿|瓶刁*/后 丿、门瓶_I•向 _1/深□3)C\311OT115、_L一2【解析】观察前后酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变.当酒瓶倒过来时酒深25cm,因为酒瓶深30cm,这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积.酒的体积：157ix—X—=375兀22瓶中剩余空间的体积（30-25）71101022酒瓶容积：375兀+125兀=500兀二1500（ml）x——x——=125兀三、基础巩1,看图选填。（在方框内填序号）2•选一选。（把合适答案的字母填在括选用答案:侧面积底面周长3、在下图中，①底面②高以直线为轴旋转，可以得出圆锥的是（号里）一下面（）图形旋转会形成圆A.一［① |} @*4、把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零件，求圆锥零件的高?5、在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径3里米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这是水面上升0.3厘米。圆锥形铁块的高是多少厘米？6、 学校走廊丄有10根圆柱形柱子,每根柱子底面十径疋4丿分米，冋疋2.5丿分米，要油漆这些柱子,每平方米用油漆0.3千克，共需要油漆多少千克？7、 把一个底面半径是2分米，长是9分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？8、一个圆柱铁皮油桶内装有半捅汽油，现在倒出汽油的-后，还剩12升汽油。如果这个油桶的内底面积是10平方分米，油桶的高是多少分米？9、一个圆柱和一个圆锥等底等高，体枳相差6.28立方分米。圆柱和圆锥的体积各是多少?四、能力提升1•一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块•现打开水龙头往容器中灌水・3分钟时水面恰好没过长方体的顶面•再过18分钟水灌满容器•己知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比.【解析】因为18分钟水面升高：50-20=30（厘米）•所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20厘米需要的时间是：18x爽二12（分钟），实际上只用 3分钟，说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底了： 面积的3:12牛所以长方体底面面积与容器底面面积之比为3:4.把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的柱体表面积减少12.56平方厘米•原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【解析】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.56于2=6.28厘米，底面半径为6.28+3.14+2=1厘米，所以原来的圆柱体的体积是7txl2x8=87i=25.12（立方厘米）.3、如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的』，乙容器中水的高度是锥高的2,比较甲、乙两容器,3 3哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？A//f/甲7 1【解析】设圆锥容器的底面半径为，，高为/?,则甲、乙容器中水面半径均为-r,则有V,八=-7ir2h9“ 1 ,2、，2, 8勺“ 1勺1 ,2、,2,19、V7=-n（—rrx——/?=——nr〜n, =—兀尸/? TI（—r）〜x一h=一Tir〜h,乙水3 3 3 81 I水3 3 3 3 81

室二 =—,即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的里倍.场水色g88814、如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水 升【解析】圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器容积是水的体积的8倍，即50x8=400升5、-个圆锥与-个圆柱的底面积相等。己知圆锥与圆柱的体积的比是，圆锥的高是4.8厘米，圆柱的高是多少厘米？四、课后反馈1、把一个长是9厘米、宽是7厘米、高是3厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体体铁块，熔化后铸成一个圆柱，这个圆柱的底面直径是10厘米，高为多少厘米？2