2024版新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用一导学案新人教A版必修第一册

3.4函数的应用(一)【学习目标】(1)初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用．(2)能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题．题型1一次函数模型的应用例1为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．学霸笔记：一次函数模型的解题策略(1)一次函数模型问题，常设函数模型为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值．(2)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(3)用一次函数解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．主要步骤是：设元、列式、求解．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a＞0时为增函数，当a＜0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)和(－ba，0)跟踪训练1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km，之后以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求火车离开北京2h时火车行驶的路程．题型2二次函数模型的应用例2某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y.(1)写出y与x的函数关系式；(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？学霸笔记：二次函数模型的应用根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．跟踪训练2如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已知院墙MN长为25米，篱笆长50米(篱笆全部用完)，设篱笆的一面AB的长为x米．(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？题型3分段函数模型的应用例3某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)＝10x2＋100x；当年产量不小于30百件时，c(x)＝501x＋10000x－4500.若每百件电子产品的售价为500(1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式；(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？题后师说应用分段函数时的三个关注点跟踪训练3某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)随堂练习1.在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：x123…y135…下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()A．y＝2x－1B．y＝x2－1C．y＝2x＋1D．y＝1.5x2－2.5x＋22．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…邮资y(元)5.006.007.00…如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是()A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元3．某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋4x＋10(万元)，一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为()A．139万元B．149万元C．159万元D．169万元4．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．课堂小结1.解决具体函数模型问题时，要有建模意识，求解函数解析式时要综合应用图形、待定系数法等．2．解决函数模型应用题时，一要注意自变量的取值范围；二要检验所得结果是否符合实际问题的要求．3．4函数的应用(一)例1解析：(1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝16，k2＝1∴y1＝16x＋30(x≥0)，y2＝12x(x≥(2)令y1＝y2，即16x＋30＝12x，则x当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x＜90时，y1＞y2，使用便民卡便宜；当x＞90时，y1＜y2，使用如意卡便宜．跟踪训练1解析：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t≤11因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120t(0≤t≤115)．火车离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2－16＝11此时火车行驶的路程s＝13＋120×116＝233(km)例2解析：(1)根据题意，按每件50元销售，一周售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件，可得y与x的函数关系式为y＝500－10(x－50)＝1000－10x，x∈[50，100].(2)由题意，可得S＝(x－40)y＝(x－40)(1000－10x)＝－10x2＋1400x－40000＝－10(x－70)2＋9000，当x∈[50，70]时，利润随着单价的增大而增大．(3)由题意，令S＝8000，可得－10x2＋1400x－40000＝8000，解得x＝60或x＝80.当x＝60时，成本＝40×[500－10(60－50)]＝16000＞10000不符合要求，舍去；当x＝80时，成本＝40×[500－10(80－50)]＝8000＜10000符合要求．所以销售单价应定为80元，才能使一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000元．跟踪训练2解析：(1)设篱笆的一面AB的长为x米，则BC＝(50－2x)m，由题意得，x(50－2x)＝300，解得x1＝15，x2＝10，∵50－2x≤25，∴x≥12.5，∴x＝15，∴AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米．(2)由题意得，S＝x(50－2x)＝－2x2＋50x＝－2(x－12.5)2＋312.5，12.5≤x<25，∴x＝12.5时，S取得最大值，此时，S＝312.5，∴当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．例3解析：(1)当0<x<30时，y＝500x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500，当x≥30时，y＝500x－501x－10000x＋4500－2500＝2000－(x＋10000x∴y＝-10(2)当0<x<30时，y＝－10(x－20)2＋1500，∴当x＝20时，ymax＝1500，当x≥30时，y＝2000－(x＋10000x)≤2000－2x·10000x＝2000－当且仅当x＝10000x，即x＝100时，ymax＝1800>1500∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．跟踪训练3解析：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋52-41(2)当0<x≤100时，P＝52；当100<x<650时，P＝52－0.02(x－100)＝54－x50当x≥650时，P＝41.∴P＝f(x)＝52(3)设工厂获得的利润为L元，则L＝(54－50050－30)×500＝7000即销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是7000元．[随堂练习]1．解析：根据表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入y＝2x－1中均成立，故选A.答案：