2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用二4.5.1函数的零点与方程的解导学案新人教A版必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解【学习目标】(1)了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系．(2)会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间．(3)能借助零点与根的关系判断方程根的个数．题型1求函数的零点【问题探究1】我们已学过二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点，它是指使得ax2＋bx＋c＝0的实数x.那么对于下列函数：(1)f(x)＝2x－5；(2)g(x)＝2x－1；(3)h(x)＝ln(x－2)．它们是否都存在使得其函数值等于0的实数x？它们的零点分别是什么？它们的图象与x轴交点的坐标分别是什么？例1求下列函数的零点：(1)f(x)＝x3＋8；(2)f(x)＝2题后师说求函数零点的2种方法跟踪训练1求下列函数的零点．(1)f(x)＝3x－9；(2)f(x)＝1题型2判断零点所在的区间【问题探究2】对于二次函数f(x)＝x2－2x－3，观察它的图象(如图)，发现它在区间[2，4]上有零点．这时，函数图象与x轴有什么关系？在区间[－2，0]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系？例2(1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的区间为()A．(0，14)B．(1C．(12，34)D．(2)f(x)＝x＋3x的零点所在区间为(a，a＋1)，(a∈Z)，则a＝________．题后师说判断函数零点所在区间的一般步骤跟踪训练2函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在区间为()A．(0，12)B．(12C．(1，32)D．(32题型3函数零点个数问题例3(1)函数f(x)＝x3－(12)x的零点个数为(A．0B．1C．2D．3(2)已知函数f(x)＝2x-2，x>0x2+2x，x≤0，若函数g(x一题多变将本例(2)中的条件改为“若函数f(x)＝x2－6x＋2＋a在区间(1，4)内有零点”，求实数a的取值范围．题后师说(1)判断函数零点的个数的3种方法(2)根据函数零点个数求参数范围的方法：将函数零点问题转化为图象交点问题，画出函数的图象，从而确定参数的范围．跟踪训练3(1)函数y＝x2+2x-1(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．随堂练习1.函数y＝1＋1x的零点是(A．(－1，0)B．x＝－1C．(0，1)D．x＝02．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数为()A．0B．1C．2D．33．函数f(x)＝2x＋2x－7的零点所在的区间为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)4．函数f(x)＝x+1x，x>02-x，x≤0，若函数课堂小结1.函数的零点与方程的解的关系．2．利用零点存在定理判断零点所在的区间以及根据零点的个数求参数的范围．4．5.1函数的零点与方程的解问题探究1提示：f(x)，g(x)，h(x)存在函数值等于0的实数x；它们的零点分别是52，0，3；它们的图象与x轴的交点分别是(52，0)，(0，0)，(3，例1解析：(1)令x3＋8＝0，得x＝－2，所以函数f(x)＝x3＋8的零点为－2.(2)当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lgx＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f(x)的零点是－2，1.跟踪训练1解析：(1)令3x－9＝0，解得x＝2，故函数y＝3x－9的零点为2.(2)令f(x)＝0，即x<21x解得x＝1或x＝2，所以f(x)的零点为1和2.问题探究2提示：f(x)在[2，4]上有零点，它在x轴上与x轴有一个交点；在[－2，0]上有零点，它在x轴上与x轴有一个交点．函数零点存在定理．例2解析：(1)函数f(x)＝ex＋2x－3的定义域为R.因为函数y＝ex，y＝2x－3均为增函数，所以f(x)＝ex＋2x－3为R上的增函数．又f(0)＝e0＋2×0－3＝－2<0，f(14)＝e14+2f(12)＝e12＋2×12－3＝e－2<0，f(34)＝e34＋2×3由零点存在定理可得：f(x)的零点所在的区间为(12，故选C.(2)因为f(x)是定义域为R的连续函数，且y＝x与y＝3x在R上均为增函数，所以f(x)在R上为增函数，又f(－1)<0，f(0)>0，所以f(－1)f(0)<0，即零点在区间(－1，0)内，所以a＝－1.答案：(1)C(2)－1跟踪训练2解析：函数f(x)＝log2x＋2x－1可看成两个函数y＝log2x(x＞0)和y＝2x－1组成，两函数在(0，＋∞)上都是增函数，故函数f(x)＝log2x＋2x－1在(0，＋∞)上也是单调递增的，所以f(12)＝log212＋2×12－1＝－1＋1－1＝－1而f(1)＝log21＋2×1－1＝0＋2－1＝1＞0，由零点存在性定理可得，函数f(x)＝log2x＋2x－1零点所在区间为(12，1)．故选答案：B例3解析：(1)根据题意，x3－(12)x＝0，故x3＝(12)故函数y＝x3与y＝(12)x由于函数y＝x3与y＝(12)x所以方程x3＝(12)x所以函数f(x)＝x3－(12)x的零点个数为1个．故选(2)问题可以转化为函数f(x)＝2x-2，x>0x2所以m∈(－1，0]时满足题意．答案：(1)B(2)(－1，0]一题多变解析：由题意得f(x)＝x2－6x＋2＋a＝(x－3)2＋a－7为连续函数，且在(1，3)上单调递减，在(3，4)上单调递增，故f(3)＝a－7，f(1)＝1－6＋2＋a＝a－3，f(4)＝16－24＋2＋a＝a－6，所以只需f1>0解得3<a≤7，故实数a的取值范围是(3，7].跟踪训练3解析：(1)当x≤0时，x2＋2x－1＝0⇒x1＝－2－1，x2＝2－1，∵x2＞0，故此时零点为x1＝－2－1；当x＞0时，y＝lgx＋2x－3在(0，＋∞)上单调递增，当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1，2)之间有唯一零点；综上，函数y在R上共有2个零点．(2)令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0<b<2.答案：(1)2(2)(0，2)[随堂练习]1．解析：令y＝1＋1x＝0，∴x＝－所以函数y＝1＋1x的零点是x＝－故选B.答案：B2．解析：由于函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，故函数在(1，3)上有唯一零点，也即在(0，＋∞)上有唯一零点．故选B.答案：B3．解析：因为函数y＝2x、y＝2x－7在R上均为增函数，故函数f(x)在R上为增函数，因为f(1)＝－3<0，f(2)＝1>0，由零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选A.答案：A4．解析：当x>0时，根据对勾函数可得f(x)＝x＋1x在(1，＋∞)