2024届广东省广州市番禺区广东第二师范学院番禺附中数学高二上期末预测试题含解析

2024届广东省广州市番禺区广东第二师范学院番禺附中数学高二上期末预测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题中正确的个数为（）①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；③为空间一组基底，若，则；④对于任意非零空间向量，，若，则A.1 B.2C.3 D.42．圆与圆公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.43．“，”是“方程表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知椭圆的右焦点和右顶点分别为F，A，离心率为，且，则n的值为（）A.4 B.3C.2 D.5．数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（）A. B.C. D.6．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A. B.C. D.7．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.8．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（）A. B.C. D.9．当实数，m变化时，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.610．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件11．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（）A.函数在上是增函数B.函数在上是减函数C.是函数的极小值点D.是函数的极大值点12．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）.①当时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当时，S与的交点R满足；④当时，S为六边形；⑤当时，S的面积为.14．如图，在棱长都为的平行六面体中，，，两两夹角均为，则________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是________15．如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________16．向量，，若，且，则的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，已知直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求的值.18．（12分）为深入学习贯彻总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署，推动教育系统围绕建党百年重大主题，深化中学在校师生理想信念教育，引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，以昂扬的状态迎接中国共产党建党周年，哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛．为了解本次知识竞赛的整体情况，随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中a的值，并求该次知识竞赛成绩的第50百分位数（精确到0.1）；（2）已知该样本分数在的学生中，男生占，女生占现从该样本分数在的学生中随机抽出人，求至少有人是女生的概率.19．（12分）已知圆，直线（1）证明直线与圆C一定有两个交点；（2）求直线与圆相交的最短弦长，并求对应弦长最短时的直线方程20．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.21．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22．（10分）直线经过两直线和的交点（1）若直线与直线平行，求直线的方程；（2）若点到直线的距离为，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④.【详解】①：向量与空间任意向量都不能构成一个基底，则与共线或与其中有一个为零向量，所以，故①正确；②：由向量是空间一组基底，则空间中任意一个向量，存在唯一的实数组使得，所以也是空间一组基底，故②正确；③：由为空间一组基底，若，则，所以，故③正确；④：对于任意非零空间向量，，若，则存在一个实数使得，有，又中可以有为0的，分式没有意义，故④错误.故选：C2、D【解析】分别求出圆和圆的圆心和半径，判断出两圆的位置关系可得到公切线的条数.【详解】根据题意，圆即，其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；两圆的圆心距，所以两圆相离，其公切线条数有4条；故选：D.3、A【解析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由，可知方程表示焦点在轴上的双曲线；反之，若表示双曲线，则，即，或，所以“，”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件故选：A4、B【解析】根据椭圆方程及其性质有，求解即可.【详解】由题设，，整理得，可得.故选：B5、D【解析】举特例排除ABC，分和讨论确定D.【详解】A.当时，，不符；B.当时，，不符；C.当时，，不符；D.当时，，当时，，符合.故选：D.6、A【解析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，故选：A7、C【解析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误；对B：因为，故选项B错误；对C：因为，故选项C正确；对D：因为，故选项D错误故选：C.8、B【解析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为，则，解得.故选：B.9、D【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.【详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，设，因直线，即表示恒过定点，根据圆的性质可得.故选：D.10、A【解析】由公理2的推论即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当时,同一个平面上,但中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;经过两条平行直线,有且只有一个平面;经过两条相交直线,有且只有一个平面;11、A【解析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.【详解】由图象可知，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误故选：A12、A【解析】利用正态分布的对称性和概率的性质即可【详解】由，且则有：根据正态分布的对称性可知：故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②③⑤【解析】①由如图当点向移动时，满足，只需在上取点满足，即可得截面为四边形，如图所示，是四边形，故①正确；②当时，即为中点，此时可得PQ∥AD，AP=QD==，故可得截面APQD为等腰梯形，等腰梯形，故②正确；③当时，如图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，可证，由∽，可得，故可得，故③正确；④由③可知当时，只需点上移即可，此时的截面形状仍然如图所示的，如图是五边形，故④不正确；⑤当时，与重合，取的中点，连接，可证，且，可知截面为为菱形，故其面积为，如图是菱形，面积为，故⑤正确，故答案为①②③⑤考点：正方体的性质.14、①.②.点或点（填出其中一组即可）【解析】（1）以向量，，为基底分别表达出向量和，展开即可解决；（2）由上一问可知，用上一问同样的方法可以证明出，这样就证明了平面与直线垂直.【详解】（1）令，，，则，则有，故（2）令，，，则，则有，故故，即又由（1）之,,故直线垂直于平面同理可证直线垂直于平面故答案为：0;点或点15、【解析】根据条件先由正弦定理求出的长，得出,求出的长，由勾股定理可得答案.【详解】海轮向北航行后到达点，则由题意，在中，又则,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案为：16、【解析】根据可求出，再根据向量垂直即可求出，即可得出答案.【详解】因为，，所以，解得，又因为，所以，解得，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）1【解析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.【小问1详解】由题意，点椭圆上，有，解得故椭圆C的方程为.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，显然不符；当直线l的斜率存在时，设直线l为：联立方程得：由，设，有又由直线AM：，令x=-4得，将代入得：，同理得：.很明显，且，注意到，，而，故所以.【点睛】本题考查求椭圆的方程，解题关键是利用离心率与椭圆上的点，找到关于a，b，c的等量关系求解a与b．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，．表示出，，然后转化为相应的比值关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题18、（1）（2）【解析】（1）利用频率和为1求出a；利用百分位数的定义求出知识竞赛成绩的第50百分位数；（2）先利用分层抽样求出男、女生的人数，利用古典概型求概率.【小问1详解】，由，解得设该次知识竞赛成绩的第50百分位数为x，则，解得：.即该次知识竞赛成绩的第50百分位数为【小问2详解】由频率分布直方图可知：分数在）的人数有人，所以这人中，女生有人，记为、，男生有人，记为、、、从这人中随机选取人，基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共种不同取法；则至少有人是女生的基本事件为、、、、、、、、，共种不同取法，则所求的概率为19、（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】（1）由，变形为求解直线过的定点，即可得解；（2）法一：由圆心和连线与直线垂直求解；法二：由圆心到直线距离最大时求解.【小问1详解】解：，所以，令，所以直线经过定点，圆可变形为，因为，所以定点在圆内，所以直线和圆C相交，有两个交点；【小问2详解】法一：圆心为，到距离为，圆心与连线的斜率为，最短弦与圆心和的连线垂直，所以，所以最短弦长为，直线的方程为法二：圆心到直线距离：，，要求d的最大值，则，当且仅当时，d的最大值为，所以最短弦长为，直线的方程为.20、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先对函数求导，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.【详解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，则，解可得a，b＝-1，（2）由（1），易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题21、（1）（2）是，0【解析】（1）根据题意，设抛物线的方程为：，则，，进而根据得，进而得答案；（2）直线的方程为，进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案.【小问1详解】解：由题意，设抛物线的方程为：，所以点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，