2024届河南省郑州外国语中学数学高二上期末学业水平测试试题含解析

2024届河南省郑州外国语中学数学高二上期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是公差为等差数列，，则（）A.1 B.3C.6 D.92．已知，，则等于（）A.2 B.C. D.3．圆关于直线对称，则的最小值是（）A. B.C. D.4．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（）A. B.C. D.5．设实数x，y满足，则目标函数的最大值是（）A. B.C.16 D.326．已知数列中，，则（）A. B.C. D.7．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）A. B.C. D.8．参加抗疫的300名医务人员，编号为1，2，…，300.为了解这300名医务人员的年龄情况，现用系统抽样的方法从中抽取15名医务人员的年龄进行调查.若抽到的第一个编号为6，则抽到的第二个编号为（）A.21 B.26C.31 D.369．抛物线的焦点坐标为A. B.C. D.10．直线的倾斜角的大小为（）A. B.C. D.11．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为10，则的值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的侧面积大小为____________.(结果保留)14．如图，已知正方形边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______15．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为___________.16．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为F，其中P为E的准线上一点，O是坐标原点，且（1）求抛物线E的方程；（2）过的直线与E交于C，D两点，在x轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝处有极大值.（1）求a、b的值；（2）求f（x）在[0，2]上的值域.19．（12分）已知函数在处的切线与轴平行（1）求的值；（2）判断在上零点的个数，并说明理由20．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值21．（12分）已知数列满足，（）.（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）数列满足：（），求数列的前项和.22．（10分）设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】结合等差数列的通项公式求得.【详解】设公差，.故选：D2、D【解析】利用两角和的正切公式计算出正确答案.【详解】.故选：D3、C【解析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，然后由，展开利用均值不等式可得答案.【详解】由圆可得标准方程为，因为圆关于直线对称，该直线经过圆心，即，，，当且仅当，即时取等号，故选：C.4、B【解析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得，结合已知条件求得，分析出为的中点，进而可得出，即可得解.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，在直角三角形中，，，因为，则，从而得，所以，，则为的中点，从而.故选：B.5、C【解析】求的最大值即求的最大值，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，将目标与直线的截距建立联系，然后得到何时目标值取得要求的最值，进而求得的最大值，最后求出的最大值.【详解】要求的最大值即求的最大值.根据实数，满足的条件作出可行域，如图.将目标函数化为.则表示直线在轴上的截距的相反数.要求的最大值，即求直线在轴上的截距最小值.如图当直线过点时，在轴上的截距最小值.由，解得所以的最大值为，则的最大值为16.故选：C.6、D【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.【详解】由，可得，，，故选：D.7、C【解析】设出点C坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答.【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为，依题意，，整理得：，对于A，当时，，不满足题意，排除A；对于D，当时，，不满足题意，排除D；对于B，当时，，对于C，当时，，直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即，由解得：，于是得的外心，若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为，显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B；若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即，由解得，即点为的外心，并且在直线上，边AB上的高所在直线：，即，边BC上的高所在直线：，即，由解得：，则的垂心，此时有，即的垂心在直线上，选项C满足题意.故选：C【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为.8、B【解析】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，然后按系统抽样方法得解.【详解】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，则第一编号为006，第二个编号为.故选：B.9、D【解析】抛物线的标准方程为，从而可得其焦点坐标【详解】抛物线的标准方程为，故其焦点坐标为，故选D.【点睛】本题考查抛物线的性质，属基础题10、B【解析】由直线方程,可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选11、A【解析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.由题可知，所以，，，，故选：A12、A【解析】由同角公式求出，根据三角形面积公式求出，根据余弦定理求出，根据正弦定理求出.【详解】因为，所以，因为，的面积为10，所以，故，从而，解得，由正弦定理得：.故选：A.【点睛】本题考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题设知：圆锥的轴截面为等边三角形，进而求圆锥的底面周长，由扇形面积公式求圆锥的侧面积大小.【详解】由题设，圆锥的轴截面为等边三角形，又圆锥的母线长为2，∴底面半径为1，则底面周长为，∴圆锥的侧面积大小为.故答案为：.14、【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.【详解】长方形可得，因为平面与平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，故.故答案为：15、【解析】先求出直线经过的定点，再求出圆心到定点的距离，数形结合即得解.【详解】由题得，所以直线经过定点，圆的圆心为，半径为.圆心到定点的距离为，当时，取得最小值，且最小值为.故答案为：816、【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为，由题意可得：，据此可得：，则球的表面积：，结合解得：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在；【解析】（1）设，利用向量坐标运算求出p即可；（2）设直线MC，MD的斜率分别为，，利用坐标计算恒成立，即可求解.【小问1详解】抛物线的焦点为，设，则，因为，所以，得所以抛物线E的方程为【小问2详解】假设在x轴上存在定点，使得x轴平分设直线的方程为，设点，，联立，可得∵恒成立，∴，设直线MC，MD的斜率分别为，，则由定点，使得x轴平分，则，所以把根与系数的关系代入可得，得故存在满足题意．综上所述，在x轴上存在定点，使得x轴平分18、（1）（2）【解析】（1）由于在点处有极小值，所以，从而可求出、的值；（2）由（1）可得，得在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而可求出其值域.【小问1详解】因为函数在处有极大值，所以，①且②联立①②得：；【小问2详解】由（1）得，所以，由得；由得，所以，函数区间上单调递减，在区间上单调递增；又，所以在上的值域为.19、（1）0（2）f（x）在（0，π）上有且只有一个零点，理由见解析【解析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）由，可得，令，，，，利用导数法求解.【小问1详解】解：，所以k=f′（0）=-a=0，所以a=0；【小问2详解】由，可得，令，，所以，①当时，sinx＋cosx≥1，ex＞1，所以g′（x）＞0，所以g（x）在上单调递增，又因为g（0）=0，所以g（x）在上无零点；②当时，令，所以h′（x）=2cosxex＜0，即h（x）在上单调递减，又因为，h（π）=-eπ-1＜0，所以存在，，所以g（x）在上单调递增，在上单调递减，因为，g（π）=-π＜0，所以g（x）在上且只有一个零点；综上所述：f（x）在（0，π）上有且只有一个零点20、（1）；（2）.【解析】（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C的大小.（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求最大值.【小问1详解】由，得，即，由余弦定理得：，又，所以【小问2详解】由（1）知：，则，设△ABC外接圆半径为R，则，当时，取得最大值为21、(1)证明见解析，；(2).【解析】(1)将给定等式变形，计算即可判断数列类型，再求出其通项而得解；(2)利用(1)的结论求出数列的通项，然后利用错位相减法求解即得.【详解】(1)因数列满足，，则，而，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，，即，所以数列是等比数列，，；(2)由(1)知，则于是得，，所以数列的前项和.22、（1）；（2）6.【解析】（1）本小题