2024届河北省衡水十三高二上数学期末检测模拟试题含解析

2024届河北省衡水十三高二上数学期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（）A. B.13C.3 D.52．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的说法正确的是（）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.可以既是等差数列又是等比数列D.可以既不是等差数列又不是等比数列3．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.4．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.45．等差数列中，，则前项的和（）A. B.C. D.6．若倾斜角为的直线过两点，则实数（）A. B.C. D.7．已知双曲线的离心率为5，则其标准方程为()A. B.C. D.8．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）A. B.C. D.9．已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（）A. B.C. D.10．“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．设等差数列前n项和是，若，则的通项公式可以是（）A. B.C. D.12．已知等比数列的首项为1，公比为2，则=（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________14．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为________.15．设函数，若存在实数使得成立，则的取值范围是__________.16．从甲、乙、丙、丁4位同学中，选出2位同学分别担任正、副班长的选法数可以用表示为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆M的方程为.（1）写出圆M的圆心坐标和半径；（2）经过点的直线l被圆M截得弦长为，求l的方程.18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，（1）若，求c的值；（2）求最大值19．（12分）已知函数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若在上存在极值点，证明：.20．（12分）设函数，其中，为自然对数的底数.(1)讨论单调性；(2)证明：当时，.21．（12分）已知椭圆C：过两点（1）求C的方程；（2）定点M坐标为，过C右焦点的直线与C交于P，Q两点，判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由22．（10分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，故选：B2、D【解析】由已知可得或，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案【详解】由，得或，即或，若，则数列是等差数列，则B错误；若，当时，数列是等差数列，当时，数列是等比数列，则A错误数列是等差数列，也可以是等比数列；由，不能得到数列为非0常数列，则不可以既是等差又是等比数列，则C错误；可以既不是等差又不是等比数列，如1，3，5，10，20，，故D正确；故选：D3、D【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：时，，所以单调递减，排除选项A、B，当时，先正后负，所以在先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.4、A【解析】由双曲线的渐近线方程，可得，再由的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得即，可得由可得，故选：A.5、D【解析】利用等差数列下标和性质可求得，根据等差数列求和公式可求得结果.【详解】数列为等差数列，，解得：；.故选：D.6、A【解析】解方程即得解.【详解】解：由题得.故选：A7、D【解析】双曲线离心率公式和a、b、c的关系即可求得m，从而得到双曲线的标准方程.【详解】∵双曲线，∴，又，∴，∵离心率为，∴，解得，∴双曲线方程.故选：D.8、A【解析】根据远地点和近地点，求出轨道即椭圆的半长轴和半焦距，即可求得答案.【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.则根据题意得;解得，故该轨道即椭圆的离心率为，故选：A9、D【解析】根据题意作出示意图，然后结合余弦定理解三角形即可求出结果.【详解】设爆炸点为，由于两个观测点同时听到爆炸声，则点位于的垂直平分线上，又在的正东方向且观测点晚听到，则点位于的左侧，，,，设，则，解得，则爆炸点与观测点的距离为，故选：D.10、A【解析】根据题意，结合直线与圆的位置关系求出，即可求解.【详解】根据题意，由直线与圆相切，知圆心到直线的距离，解得或，因此“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A.11、D【解析】根据题意可得公差的范围，再逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，所以，故AB错误；若，则，与题意矛盾，故C错误；若，则，符合题意.故选：D.12、D【解析】数列是首项为1，公比为4的等比数列，然后可算出答案.【详解】因为等比数列的首项为1，公比为2，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列所以故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据焦点在轴的双曲线的标准方程的特征可得答案.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，则，解得.所以的取值范围为故答案为：14、【解析】因为为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，，所在直线方程为，化简为，故答案为.考点：1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.15、【解析】将变形为，令，，分别研究其单调性及值域，使问题转化为即可.【详解】由题，，令，则，由，得，由，得，所以在递减，在递增，所以，令，则，由，得，由，得，所以在递增，在递减，所以，若存在实数使得成立，即存在实数使得成立，即存在实数使得恒成立所以，即，解得，所以取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将所求问题转为存在实数使得恒成立，结合的值域进一步转化为存在实数使得恒成立，再只需即可.16、【解析】由题意知：从4为同学中选出2位进行排列，即可写出表示方式.【详解】1、从4位同学选出2位同学，2、把所选出的2位同学任意安排为正、副班长，∴选法数为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）圆心坐标为，半径为2（2）或【解析】（1）求得圆的标准方程，从而求得圆心和半径.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，由此求得的方程.【小问1详解】圆的标准方程为：.所以圆M的圆心坐标为，半径为2.【小问2详解】因为圆M半径为2，直线l被圆M截得弦长为，由垂径定理可知M到直线距离为1.当l不垂直于轴时，设，即，则.解得，于是l的方程为，即.当l垂直于轴时，到点M的距离为1.综上，l的方程为，或.18、（1）；（2）【解析】（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可【详解】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C又，∴由正弦定理，得，即由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理，得，∴，∴由，得所以当时，即时，19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由题得，在，上为单调递增的函数，在，上恒成立，分类讨论，再次利用导数研究函数的最值即可；（2）由（1）可知，在存在极值点，则且，求得，再两次求导即可得结论.【小问1详解】由题得，在，上为单调递增的函数，在，上恒成立，设，当时，由，得，在，上为增函数，则，在,上恒成立，满足命题，当时，由，得，在上为减函数，，时，，即，不满足恒成立，不成立，综上：的取值范围为.小问2详解】证明：由（1）可知，在存在极值点，则且即：要证只需证即证又由（1）可知在上为增函数，且,成立.要证只需证即证：设则即在上增函数在为增函数成立.综上，成立.20、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）求导数，分和，两种情况讨论，即可求得的单调性；（2）令，利用导数求得单调递增，结合，得到，进而证得.【详解】（1）由函数，可得，当时，，在内单调递减；当时，由有，当时，，单调递减；当时，，单调递增.(2)证明：令，则，当时，，单调递增，因为，所以，即，当时，可得，即【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21、（1）；（2）为定值.【解析】（1）根据题意，列出的方程组，求解即可；（2）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，转化，求解即可.【小问1详解】因为椭圆过两点，故可得，解得，故椭圆方程为：.【小问2详解】由（1）可得：，故椭圆的右焦点的坐标为；当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为：，代入椭圆方程，可得，不妨取，又，故.当直线的斜率