第14讲.机械能(2).教师版

学生姓名：学生姓名：上课时间：机械能（2）2014年高机械能（2）2014年高考解决方案机械能（2）2013年高考解决方案高考解决方案 第一阶段·模块课程·机械能（2） Pageof22第8讲机械能（2）阶段复习阶段复习前段时间学习的内容现在是否依然很熟练？是否需要去自己的错题宝库游览一番？2014年高考怎么考2014年高考怎么考内容细目要求层次考纲要求功、功率、动能、动能定理II重力势能、重力做功与重力势能改变关系、弹性势能II功能关系机械能守恒定律及其应用II考点解读机械能多以计算题形式考查，占15分左右．2011年2012年201321题22、23、24题19、23题目录1、机械能守恒定律及应用2、多个物体多个运动过程问题3、功能关系与能量守恒定律4、变力做功的解法知识讲练知识讲练机械能守恒定律的条件及简单应用机械能守恒定律的内容①表述一：在只有重力或弹力做功的系统内，只有动能和势能间相互转换，但机械能的总量保持不变，这就是所谓的机械能守恒定律；只有弹力做功时，动能和弹性势能间相互转换，机械能的总量也保持不变，这也叫机械能守恒定律．②表述二：如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变．备注：势能只包括重力势能和弹性势能.机械能守恒定律的各种表达形式：，；；守恒的含义：机械能时时刻刻不变才叫守恒，如中间某时刻有变化，不叫守恒，只能说前后不变．判断方法：当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒．解题步骤①选择系统；②由守恒条件判断系统机械能是否守恒；③确定初、末状态；④写守恒等式时应注意状态的同一性；注意：重力势能中的h为重心的变化量.关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（）A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B．做变速运动的物体机械能可能守恒C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒D．若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒【答案】BD如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？【答案】以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒．又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少．有些同学一看本题说的是光滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守恒．这里要提醒两条：⑴由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件．⑵由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少．如图，光滑水平面上，子弹m水平射入木块后留在木块内现将子弹、弹簧、木块合在一起作为研究对象，则此系统从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中，系统（）A．能量守恒，机械能不守恒B．能量不守恒，机械能不守恒C．能量机械能均守恒D．能量不守恒，机械能守恒【答案】A如图所示，轻弹簧一端与墙相连，质量为的木块沿光滑的水平面以的速度运动并压缩弹簧，求弹簧在被压缩过程中的最大弹性势能及木块速度减为时的弹性势能．【答案】在弹簧和木块相互作用过程中，只有弹簧弹力做功，没有其他力做功，故系统机械能守恒．设最大弹性势能为，由机械能守恒定律得：当木块速度时，弹簧弹性势能为，则，所以．【答案】50J32J如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，运动员的质量．不计空气阻力．（取，；g取）求：（1）A点与O点的距离大小；（2）运动员离开O点时的速度大小；（3）运动员落到A点时的动能．【答案】（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，有A点与O点的距离，（2）设运动员离开O点的速度为，运动员在水平方向做匀速直线运动，即，解得（3）由机械能守恒，取A点位重力势能零点，运动员落到A点的动能为．【答案】75m20m/s32500J如图所示，光滑的水平轨道与光滑半圆轨道相切．圆轨道半径，一小球停放在光滑水平轨道上，现给小球一个的初速度，求小球从点抛出时的速度．【答案】选取地面为零势面，那么由机械能守恒定律得：，．【答案】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面(斜面体固定不动)。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？【解析】因为斜面是光滑的，只有重力做功，符合机械能守恒的条件，设链条质量为m：始末状态的重力势能变化可认为是由L－a段下降高度h引起的,即该部分的质量为：则重力势能变化量为：因为软链的初速度为零，所以有：由机械能守恒定律ΔEp减=ΔEk增得：解得：多对象、多过程问题多个物体多过程问题往往比较复杂，常常以下2种思路：隔离法：分对象，分过程研究整体法：对系统或对全过程研究长为2L的轻杆上端及正中央固定两个质量均为m的小球，杆竖直立在光滑的水平面上，杆原来静止，现让其自由倒下，设杆在倒下过程中下端始终不离开地面，则A球着地时速度为（A．B． C．D．【答案】D如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴．AO、BO的长分别为2L和L．开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方．让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B【答案】以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒．⑴过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍．，解得⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角．2mg2Lcosα=3mgL（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，利用三角公式可3sinα-4cosα=-3其中则则上式变为sin（53°-α）=sin37°解得α=16°⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG．设OA从开始转过θ角时B球速度最大，=2mg2Lsinθ-3mgL（1-cosθ）=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mgL，解得．如图，的质量，的质量，倾角的斜面固定在水平地面上．开始时将按在地面上不动，然后放手，让沿斜面下滑而上升．与斜面无摩擦．设当沿斜面下滑距离后，细线突然断了，求上升的最大高度．【答案】沿斜面下滑距离时的速度为，由机械能守恒定律得：细线突然断的瞬间，上升的速度为，此后做竖直上抛运动．设继续上升的距离为．对：由机械能守恒定律得：，上升的最大高度：联立解得：．【答案】内壁及边缘光滑的半球形容器的半径为质量为和的两个小球用不可伸长的细线相连，现将由静止从容器边缘内侧释放，如图所示，试计算滑到容器底时，两者的速率分别为多大?【答案】本题很容易让学生产生多种错解，根本原因就是不清楚两个小球之间的速度关系．设滑到容器底部时的速度为，水平向左，此速度可以分解为沿绳的速度和垂直与绳的速度，则有，的速度等于绳子的速度，即．运用机械能守恒定理有：，解得，上升的速度．【答案】在水平光滑细杆上穿着A、B两个刚性小球，两球间距离为L，用两根长度同为L的不可伸长的轻绳与C球连接（如图20所示），开始时三球静止二绳伸直，然后同时释放三球．已知A、B、C三球质量相等，试求A、B二球速度V的大小与C球到细杆的距离h之间的关系． 【答案】此题的关键是要找到任一位置时，A、B球的速度和C球的速度之间的关系．在如图21所示位置，BC绳与竖直方向成角．因为BC绳不能伸长且始终绷紧，所以B、C两球的速度VB和VC在绳方向上的投影应相等，即由机械能守恒定律，可得：又因为，由以上各式可得：VB=如图所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H．人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ．问在这个过程中，人对重物做了多少功？【答案】人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解．当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：重力做功的数值为：当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度和绕定滑轮逆时针转动的分速度，其中沿绳斜向下的分速度和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：以重物为研究对象，根据动能定理得：一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图所示．绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上．设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB．求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功．【答案】设绳的P端到达B处时，左边绳与水平地面所成夹角为θ，物体从井底上升的高度为h，速度为v，所求的功为W，则据动能定理可得：，因绳总长不变，所以：根据绳联物体的速度关系得：v=vBcosθ

，由几何关系得：由以上四式求得：．【小结】若系统内的物体通过不可伸长的细绳相连接，系统的机械能守恒，但只据机械能守恒定律不能解决问题，必须求出绳连物体的速度关联式，才能解答相应的问题．如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止．已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数．【答案】滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功，设质量为m，动摩擦因数为，斜面倾角为，斜面底边长，水平部分长，由动能定理得，从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数．将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度．由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%．设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v．【答案】有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：和，可得H=v02/2g，再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理．全过程重力做的功为零，所以有：，解得．【小结1】根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单．有时取全过程简单；有时则取某一阶段简单．原则是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零．【小结2】当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力做功等.总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，如图所示．设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的．当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？SS2S1LV0V0【答案】解一：此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第二定律求解简便．对车头，脱钩后的全过程用动能定理得：对车尾，脱钩后用动能定理得：而，由于原来列车是匀速前进的，所以F=kMg由以上方程解得．解二：假设末节车厢刚脱钩时，机车就撤去牵引力，则机车与末节车厢同时减速，因为阻力与质量成正比，减速过程中它们的加速度相同，所以同时停止，它们之间无位移差．事实是机车多走了距离L才关闭油门，相应的牵引力对机车多做了FL的功，这就要求机车相对于末节车厢多走一段距离△S，依靠摩擦力做功，将因牵引力多做功而增加的动能消耗掉，使机车与末节车厢最后达到相同的静止状态．所以有：得△x=ML/（M－m）．如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？【答案】滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端．在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功．设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得：

得．质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功．【答案】汽车的功率不变，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用W=FS求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功再由动能定理得：所以J【小结】用W=Pt可求出功率保持不变的情况下变力所做的功．下图所示，一个质量为m的小球自高为h的地方，由静止落下，空气阻力为小球重力的0．02倍．小球与地面碰撞无机械能损失，小球多次弹起落下，最后静止于地面．小球从下落开始到最后停下来运动的总路程为多少？【答案】小球运动中受重力，空气阻力作用．重力做功只与始位置有关，而空气阻力做功与路程有关，取高为h处为初态，静止时为末态．∴∴．如图15所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部都足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200，半径R=2．0m，一个物体在离弧底E高度为h=3．0m处，以初速度V0=4m/s沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0．02，则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g=10m/s2）．【答案】由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物体的机械能将逐渐减少，最后物体在BEC圆弧上作永不停息的往复运动．由于物体只在在BEC圆弧上作永不停息的往复运动之前的运动过程中，重力所做的功为WG=mg（h-R/2），摩擦力所做的功为Wf=-μmgscos60°，由动能定理得： mg（h-R/2）-μmgscos600=0-∴s=280m【小结】滑动摩擦力做功与路程有关．功能关系与能量守恒定律动能定理反映了合外力做的功和动能改变的关系，即合外力做功的过程，是物体的动能和其他形式的能量相互转化的过程，合外力所做的功，是物体动能变化的量度，即．重力做功的过程是重力势能和其他形式的能量相互转化的过程，重力做的功量度了重力势能的变化，即．弹力做正功,弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加．弹力对物体所做的功=物体弹性势能增量的负值．即W弹力=EP1—EP2=-ΔEP．在只有重力和弹簧的弹力做功的物体系内，动能和势能可以互相转化，但机械能的总量保持不变．即EK2+EP2=EK1+EP1，或ΔEK=-ΔEP．重力和弹力以外的力做功的过程是机械能和其他形式的能量相互转化的过程，重力和弹力以外的力做的功量度了机械能的变化，即．能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量不变．这就是能量守恒定律．游乐场中的一种滑梯如图所示．小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，则（）A．下滑过程中支持力对小朋友做功B．下滑过程中小朋友的重力势能增加C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功【答案】D下列说法中正确的是A．运动物体所受的合外力不为零，合外力必做功，物体的动能肯定要变化B．运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力不一定为零D．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能肯定要变化【答案】BC如图所示，木板OA水平放置，长为L，在A处放置一个质量为m的物体，现绕O点缓慢抬高到端，直到当木板转到与水平面成角时停止转动.这时物体受到一个微小的干扰便开始缓慢匀速下滑，物体又回到O点，在整个过程中（）①支持力对物体做的总功为②摩擦力对物体做的总功为零③木板对物体做的总功为零④木板对物体做的总功为正功A．①②B．②③C．①④D．①③【答案】D如图所示，在半径为R的四分之一光滑圆弧轨道的顶端a点，质量为m的物块(可视为质点)由静止开始下滑，经圆弧最低点b滑上粗糙水平面，圆弧轨道在b点与水平轨道平滑相接，物块最终滑至c点停止．若物块与水平面间的动摩擦因数为μ，下列说法正确的是()A．物块滑到b点时的速度为eq\r(gR)B．物块滑到b点时对b点的压力是2mgC．c点与b点的距离为eq\f(R,μ)D．整个过程中物块机械能损失了mgR【答案】CD物体以150J的初动能从某斜面的底端沿斜面向上作匀减速运动，当它到达某点P时，其动能减少了100J时，机械能减少了30J，物体继续上升到最高位置后又返回到原出发点，其动能等于_________．【答案】虽然我们对斜面的情况一无所知，但是物体从斜面一底点P与从点P到最高点，这两阶段的动能减少量和机械能损失量是成比例的，设物体从点P到最高点过程中，损失的机械能为E，则100/30=（150-100）/E，由此得E=15J，所以物体从斜底到达斜面顶一共损失机械能45J，那么它从斜面顶回到出发点机械能也损失这么多，于是在全过程中损失的机械能90J，回到出发点时的动能为60J．水平地面上铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h．如将砖一块一块地叠放起来，至少做多少功？【答案】画出如图4的草图，根据功能关系可知：只要找出砖叠放起来时总增加的能量，就可得到．∴．如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓慢地竖直上提直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在此过程中，物块2的重力势能增加了____________，物块1的重力势能增加了___________．【答案】平衡时，弹簧k2形变为x2=，上提至下端脱离桌面，弹簧恢复原长，物块2升高了x2，其重力势能增量为m2gx2=m2g．平衡时，弹簧k1压缩量x1=，拉升后弹簧k1拉伸量x2/=，物块1升高为x1+x1/+x2，重力势能增量为：m1g（）=m1g（m1+m2）g（）．如图所示，质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A以v0=5m/s的初速度滑下，与处于原长的弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功．【答案】弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等．由于斜面光滑故机械能守恒，取B点所在平面为零势面，得：，代入数得：．说明：此题也可以直接用动能定理求弹力做功，对木快整个过程运用动能定理，，．【小结】弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等．质量为m的子弹以水平速度v1射入速度v2沿同一方向运动的木块中，木块质量为M，当子弹进入木块深度为d时，子弹和木块的速度分别为v1′和v2′，若木块和子弹的相互作用力恒为f，求这一过程中子弹和木块组成的系统损失的动能．【答案】设木块位移为s，子弹相对木块位移为d，相对地面位移为s+d，根据动能定理：对木块：对子弹：两式相减：【小结】上式表示系统动能损失的数值为，而为系统在相互作用前的初动能，为系统在相互作用后的末初动能，故系统动能的损失等于运动阻力与子弹相对木块的位移d的乘积，损失的动能转化成系统的内能．此结论可归纳为：滑动摩擦力和力对应的物体间相对位移的乘积数值上等于系统机械能的损失，，这结论广泛应用于类似的动能变化关系的问题之中．【小结】摩擦力与该力对应的物体间相对位移的乘积数值上等于系统机械能的损失两个物体相互摩擦而产生的热量Q（或说系统内能的增加量）等于物体之间滑动摩擦力f与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即．利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题．下面就举例说明这一点．公式：．一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切．现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h．稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L．每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）．已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N．这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．求电动机的平均输出功率P．BBLACDL【答案】如图每个小物体的速度时间图象则：则每个物体，，，得变力功的求法（将变力转化为恒力或求出平均力的变力，如当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值，再由计算，如弹簧弹力做功）；（一般要求P恒定，多见于机车类问题等）；（F-x图像的面积）；动能定理（直线运动、曲线运动、恒力、变力，适用范围最广）机械能守恒或能量守恒定律（弹簧问题较多）一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍．其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力．当车前进100m时，牵引力做的功是多少？【答案】由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功．由题意可知f0＝0．05×105×10N＝5×104N，所以前进100m过程中的平均牵引力：∴边长为a的立方木块浮于水面，平衡时有一半露在水面．现用力向下压木块使之缓慢地下降，直到立方块上表面与水面齐平．求在这一过程中压力做的功，水的密度为ρ．【答案】力的最小值为0，而上表面与水面平齐时，压力为所以平均力为力做的功为而所以．要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k．问此钉子全部进入木板需要打击几次？【解析】在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功．钉子在整个过程中受到的平均阻力为：钉子克服阻力做的功为设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：，所以．【小结】平均力法：如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功．如图所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为（）A．0JB．20πJC．10JD．20J【答案】把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B正确．【小结】微元法：当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和．如图，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由A点前进S至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β．求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功．【答案】设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T．T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题．但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功．而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算．由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：【小结】等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功．而恒力做功又可以用计算，从而使问题变得简单．用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm．问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）xx1x2【答案】考查对功概念的理解能力及理论联系实际抽象建立模型的能力．错解分析：（1）不能据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代．（2）不能类比迁移，采用类似据匀变速直线速度-时间图象求位移的方式，根据F-x图象求功．解题方法与技巧：解法一：（平均力法）铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，比例系数为K．第一次击入深度为x1，平均阻力=kx1，做功为W1=x1=kx12．第二次击入深度为x1到x2，平均阻力=k（x2+x1），位移为x2-x1，做功为W2=（x2-x1）=k（x22-x12）．两次做功相等：W1=W2．解后有：x2=x1=1.41cm，Δx=x2-x1=0.41cm．解法二：（图象法）因为阻力F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图象（图4-4）．曲线上面积的值等于F对铁钉做的功．由于两次做功相等，故有：S1=S2（面积），即：kx12=k（x2+x1）（x2-x1），所以Δx=x2-x1=0.41cm．放在地面上的木块与一劲度系数k=200N/m的轻弹簧相连．现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2=0.4m的位移，求上述过程中拉力所做的功．【答案】由题意作出图象如图3所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功．即．【小结】在图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功．如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F缓慢地拉；⑵F为恒力；⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零．下列说法正确的是⑴（）⑵（）⑶（）A．B．C．D．【解析】⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解．F做的功等于该过程克服重力做的功．选D⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功．选B⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的．选B、D在第三种情况下，由，可以得到，可见在摆角为时小球的速度最大．实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”．【答案】BD质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。【分析】机车的功率恒定，从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用来求解，但可用公式来计算。【解析】机车所受阻力，当机车速度达到最大值时，机车功率为：根据，该时间内机车牵引力做功为：根据动能定理，得牵引力克服阻力做功为：故阻力做功为：【小结】对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据来求牵引力这个变力所做的功。如图6所示，质量m为2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度，求弹簧的弹力对物体所做的功。【解析】由于斜面光滑，故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则对状态A：对状态B：由机械能守恒定律得：如图所示，一劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取）求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此过程中力F所做的功。【解析】（1）设A上升前，弹簧的压缩量为，B刚要离开地面时弹簧伸长量为，A上升的加速度为。A原来静止时，因受力平衡，有：设施加向上的力，使A刚做匀加速运动时的最小拉力为，有：B恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为，对A有：对B有：由位移公式，对A有：由①④式，得：由⑤⑥式，解得分别解②③得：（2）力作用的0.4s内，在末状态有，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即：【小结】对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律或能量守恒定律求功。电场中有A、B两点，它们的电势分别为，把电量的电荷从A点移动到B点，是电场力做功还是克服电场力做功？做了多少功？【解析】电荷从A到B的过程中，电场力作的功为：因为，所以是电场力做功。【小结】求非匀强电场中电场力做功时，一般都用该方法求解。思考思考总结机械能守恒定律的条件及简单应用机械能守恒定律的内容①表述一：在只有重力或弹力做功的系统内，只有______和_______间相互转换，但机械能的总量保持不变，这就是所谓的机械能守恒定律；只有弹力做功时，_______和_______间相互转换，机械能的总量也保持不变，这也叫机械能守恒定律．②表述二：如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变．备注：势能只包括重力势能和弹性势能.机械能守恒定律的各种表达形式：______________，______________，______________；守恒的含义：机械能时时刻刻不变才叫守恒，如中间某时刻有变化，不叫守恒，只能说_________．判断方法：当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有_____________”来判定机械能是否守恒．解题步骤①选择______；②由守恒条件判断系统机械能是否守恒；③确定_____________；④写守恒等式时应注意状态的同一性；注意：重力势能中的h为_________的变化量.多对象、多过程问题多个物体多过程问题往往比较复杂，常常以下2种思路：隔离法：__________________________整体法：__________________________功能关系与能量守恒定律动能定理反映了_____________和_____________的关系，即合外力做功的过程，是物体的动能和其他形式的能量相互转化的过程，_____________是物体动能变化的量度，即．重力做功的过程是重力势能和_____________相互转化的过程，重力做的功量度了_____________的变化，即．弹力做正功,_____________减少；弹力做_____________，弹性势能增加．弹力对物体所做的功=物体_____________．即W弹力=EP1—EP2=-ΔEP．在只有_____________和_____________做功的物体系内，动能和势能可以互相转化，但机械能的总量保持不变．即EK2+EP2=EK1+EP1，或ΔEK=-ΔEP．重力和弹力以外的力做功的过程是机械能和____________相互转化的过程，重力和弹力以外的力做的功量度了____________的变化，即．能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从____________转移到另一个