任意角与弧度制一对一辅导讲义

教学目标掌握角的概念的推广、正角、负角、零角、象限角、以及终边相同的角的定义。2．掌握弧度制、弧度与角度的转换.3.会用弧度制计算扇形面积及弧长.4.灵活运用诱导公式重点、难点教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义；掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；掌握角度制和弧度制的转换。教学难点：所有与角终边相同的角（包括角）的表示；考点及考试要求角度制和弧度制的转化、终边相同角的表示教学内容第一课时任意角和弧度制知识点梳理知识梳理知识梳理1、任意角（1）角概念的推广：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角。（2）终边相同的角：终边与角相同的角可写成。（3）象限角及其集合表示：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合{α|2kπ<α<2kπ+,k∈Z}第二象限角的集合{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}第三象限角的集合{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}第四象限角的集合{α|2kπ+<α<2kπ+2,k∈Z}2、弧度制（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。（2）角的弧度数：如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为,那么角的弧度数的绝对值是||=/r.（3）角度与弧度的换算：①；②;③.（4）弧长、扇形面积的公式：扇形的弧长,则扇形的面积为3、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边上有一点,到原点的距离为，那么叫做α的正弦，记作：sinα叫做α的余弦，记作：cosα叫做α的正切，记作：tanα各象限符号Ⅰ+++Ⅱ+--Ⅲ--+Ⅳ-+-记忆口诀一正，二正弦，三切，四余弦终边相同角三角函数值(k∈Z)（公式一）sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosαtan(α+k·2π)=tanα4、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：；（2）商数关系：注：同角并不拘泥于角的形式，如：，都成立第二课时任意角和弧度制典型例题典型例题一一典型例题一一题型一求与已知角终边相同的角例1已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)×180°＋45°，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)×180°＋45°，k∈Z))，那么两集合的关系是什么？(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合；(3)若角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，求在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角．题型二三角函数的定义例2已知角α的终边经过点P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x，求sinα＋eq\f(1,tanα)的值．探究提高任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．题型三三角函数值的符号及判定例3(1)如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，试判断eq\f(sincosθ,cossin2θ)的符号是什么？探究提高(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键．(2)由三角函数符号判断角所在象限，在写角的集合时，注意终边相同的角．已知sin2θ<0，且|cosθ|＝－cosθ，则点P(tanθ，cosθ)在第几象限？题型四扇形的弧长、面积公式的应用例4已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？探究提高(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝eq\f(1,2)lR；③S＝eq\f(1,2)αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？巩固练习巩固练习（1）将下列角化成的形式：①②③（2）将下列角进行角度与弧度的换算：①②③④拓展训练拓展训练(1)求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)的大小．审题视角(1)求定义域，就是求使3－4sin2x>0的x的范围．用三角函数线求解．(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，eq\f(θ,2)是第几象限角？首先应予以确定．②sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小．规范解答解(1)∵3－4sin2x>0，∴sin2x<eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)<sinx<eq\f(\r(3),2). [2分]利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)． [4分](2)∵θ是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(θ,2)是第一或第三象限的角． [6分](如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：①当eq\f(θ,2)是第一象限角时，sineq\f(θ,2)＝AB，coseq\f(θ,2)＝OA，taneq\f(θ,2)＝CT，从而得，coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2)； [8分]②当eq\f(θ,2)是第三象限角时，sineq\f(θ,2)＝EF，coseq\f(θ,2)＝OE，taneq\f(θ,2)＝CT，得sineq\f(θ,2)<coseq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2). [10分]综上所得，当eq\f(θ,2)在第一象限时，coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2)；当eq\f(θ,2)在第三象限时，sineq\f(θ,2)<coseq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2). [12分]师生小结师生小结1.本节课我们学习了：2.你学到了什么？1．对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tanα＝eq\f(y,x)有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).3．三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．第三课时任意角和弧度制课堂检测课堂检测课堂检测A组专项基础训练题组一、选择题1．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为 ()A．2kπ＋β(k∈Z) B．2kπ－β(k∈Z)C．kπ＋β(k∈Z) D．kπ－β(k∈Z)2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ()A．2 B．4 C．6 D．83．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋y2)).其中正确的命题的个数是 ()A．1B．2C．3D．4二、填空题4．若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ<0，则此三角形的形状为____________．5．已知α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m>0)是α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.6．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)m，则sinα的值为________．三、解答题7．已知sinθ＝eq\f(1－a,1＋a)，cosθ＝eq\f(3a－1,1＋a)，若θ是第二象限角，求实数a的值．B组专项能力提升题组一、选择题1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为 ()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2) C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)2．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是 ()A．1 B．2 C．3 D．43．已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)二、填空题4．函数y＝eq\r(2cosx－1)的定义域