第3章概率法机械设计

第3章概率法机械设计3.1应力-强度模型求可靠度的方法3.2可靠度的近似计算法3.3概率法机械设计所需的部分数据和资料3.4静强度的概率法设计3.5疲劳强度的概率法设计第3章概率法机械设计

概率法机械设计是机械可靠性设计的重要组成部分。它是将概率统计理论与传统机械设计理论相结合进行机械零件或构件设计的一种先进方法。它使设计结果更符合实际，并且能够定量地给出机械零件或构件不失效的概率——可靠度。

第3章概率法机械设计概率法机械设计的基础是可靠的统计数据，需要知道有关设计变量的概率分布。为此，必须投入大量的人力和物力。对于尺寸要求小、重量要求轻的重要零部件，或者大量使用的零部件应该做专门的试验已获得所需数据的统计规律，并做必要的验证试验以保证所设计产品的可靠性。目前这方面的数据还很缺乏。对于一般的概率法机械设计可选用有关参考资料中的统计数据，采用本章推荐的近似处理方法。3.1应力-强度模型求可靠度的方法

应力-强度模型

应力是对产品功能有影响的各种外界因素，强度是产品承受应力的能力。对应力和强度应该做广义的理解。应力除通常的机械应力外，尚应包括载荷（力、力矩、转矩等）、变形、温度、磨损、油膜、电流、电压等。同样，强度除通常的机械强度外，尚应包括承受上述各种形式应力的能力。下面主要以机械应力和强度进行分析，其它形式的应力和强度可用类似的方法进行处理。3.1应力-强度模型求可靠度的方法应力-强度模型认为产品所受的应力大于其允许的强度就会发生失效

图中影线部分为应力和强度发生干涉的区域，表示强度可能小于应力，因此就有发生失效的可能。发生失效的概率（即不可靠度）大小取决于干涉的情况。

3.1应力-强度模型求可靠度的方法应力-强度模型认为强度xs大于应力xl就不会发生失效，可靠度即为零件不发生失效的概率，故可靠度R式中应力xl和强度xs均应理解为随机变量

3.1应力-强度模型求可靠度的方法应力-强度模型求可靠度的一般公式设应力xl落在xl0附近dxl小区间内的概率为

3.1应力-强度模型求可靠度的方法在应力xl落在小区间

内的条件下强度xs大于应力xl0的概率为根据概率乘法定理，两事件

同时发生的概率为

3.1应力-强度模型求可靠度的方法3.1应力-强度模型求可靠度的方法根据可靠度的定义，对于应力xl所有的可能值强度xs均大于应力xl的概率，即事件（xs>xl）的边缘概率就是零件或构件的可靠度（对上式的求和）可靠度的另一种表达式

3.1应力-强度模型求可靠度的方法另外，利用应力-强度模型建立可靠度计算公式也可以使用二维概率分布的方法。由于应力xl和强度xs是相互独立的两个随机变量，故其联合概率密度为根据可靠度的定义，强度xs大于应力xl的概率（即可靠度）为3.1应力-强度模型求可靠度的方法积分区域见图3-3。将上式化成累次积分得由上述可以看出，从二维概率分布的角度来推导可靠度的表达式概念更清楚、过程更简单

3.1应力-强度模型求可靠度的方法3.1应力-强度模型求可靠度的方法几种利用应力-强度模型计算可靠度的公式表3-1几种典型应力、强度分布求可靠度的公式序号应

力强

度可

靠

度

公

式1zR称为联结系数2

对数正态对数正态正

态正

态3.1应力-强度模型求可靠度的方法例3-1某钢制拉杆，承受的工作应力N/mm2,屈服强度失效的可靠度。解按表3-1中序号1知

N/mm2。求不发生屈服查附表1，得R=Φ(zR)=Φ(2.044)=0.979523.1应力-强度模型求可靠度的方法数值积分法计算可靠度

有些应力和强度的分布用式（3-5）难以积分。这时可用数值积分法进行计算，例如用辛普生或高斯公式等。这些数值积分都有现成的计算程序，使用时可查阅。由于常用分布的变量取值为0~∞或-∞~∞，故在进行数值积分时应取使被积函数的值接近于0的积分限，以使积分的模型误差尽量小。

3.2可靠度的近似计算法不考虑随机变量的实际分布而假定服从正态分布或对数正态分布可靠安全系数计算法

定义可靠安全系数nR

3.2可靠度的近似计算法当应力和强度都服从正态分布时3.2可靠度的近似计算法当应力和强度都服从对数正态分布时

3.2可靠度的近似计算法当安全系数服从正态分布时

3.2可靠度的近似计算法例3-4

已知应力的变异系数强度的变异系数要求可靠度R=0.99，分别按应力和强度都服从正态分布、都服从对数正态分布以及安全系数服从正态分布三种情况分别求所需的可靠安全系数nR

3.2可靠度的近似计算法解先由表2-15查得当R=0.99时，zR=2.33。应力和强度都服从正态分布时，=1.2363.2可靠度的近似计算法应力和强度都服从对数正态分布时，先算出=安全系数服从正态分布时

安全系数服从正态分布时所需的可靠安全系数nR最大

3.2可靠度的近似计算法随机变量函数的均值和标准差的近似计算除根据实际零件或构件直接试验获得数据估计应力和强度的分布外，一般都是利用随机变量的函数关系得到函数的分布。通过已知随机变量的分布求其函数的分布往往很难，故通常只求其均值和标准差的近似值。已知随机变量的均值和标准差，求其函数的均值和标准差的近似方法如下。3.2可靠度的近似计算法泰勒展开法设n维随机变量x1，x2，…，xn的函数函数的均值3.2可靠度的近似计算法函数的标准差式中角标“0”——表示求偏导后自变量取均值；ρij——xi与xj的相关系数。概念上判定为相关3.2可靠度的近似计算法变异系数法对于单项式（即没有加减运算的式子）的函数，式（3-13）的具体表达式为式中a、mi——任意常数

3.2可靠度的近似计算法函数的均值函数的变异系数函数的标准差3.2可靠度的近似计算法基本函数法

这种方法是将常用的函数作为基本函数，用3.2.2.1节的泰勒展开法求出其均值和标准差的结论式列于表3-2中供应用时查用。对于较复杂的函数一般可化为这些基本函数的形式。但是，在把复杂函数化成基本函数时应避开基本函数中变量的相关，亦即保证基本函数中变量是相互独立的。3.2可靠度的近似计算法例3-5

某钢制拉杆，截面直径d的均值

mm，=0.08mm；

标准差杆长L的均值

=1000mm，

标准差=5mm，

受拉力F的均值

=10000N，标准差=800N；弹性模数E的均值

=20600N/mm2，标准差

=618N/mm2。

求拉杆伸长量的均值和标准差。

3.2可靠度的近似计算法解由材料力学知，拉杆的伸长量为上式为一单项式的函数，故用变异系数法求解最为方便

首先求各随机变量的变异系数：3.2可靠度的近似计算法δ的均值的变异系数（各变量相互独立）

=0.087的标准差

3.2可靠度的近似计算法例3-6一批轴与孔的配合，已知孔径D=100±1.2mm，轴径d=98±0.9mm。求配合间隙解一般孔径、轴径和间隙尺寸均可视为服从正态分布。按“3s”原则，取

=0.4mm；=0.3mm.。

用基本函数法，按表3-2，D和d分别加工，显然相互独立，ρ12=0，故间隙的均值和标准差为3.2可靠度的近似计算法故若要求间隙

已知孔径

求轴经应有的尺寸和公差若用基本函数法，由表3-2，取

并假定D和d相互独立，其标准差同前，则d的均值和标准差为因为假定D与δ相互独立不符合实际情况

仍取

3.3概率法机械设计所需的部分数据和资料几何尺寸

由于加工不能保证几何尺寸绝对准确，而只能将其限制在允许的范围内，故几何尺寸也是一个随机变量。

一般认为尺寸服从正态分布按“3s”原则选取

一般，对有较严公差限制的尺寸误差，它对应力数值的影响甚微，常可假定为确定量而使计算大为简便3.3概率法机械设计所需的部分数据和资料加工方法误

差（±）加工方法误

差（±）一

般可

达一

般可

达火焰切割1.50.5锯0.500.125冲

压0.250.025车0.1250.025拉

拔0.250.05铇0.250.025冷

轧0.250.025铣0.1250.025挤

压0.50.05滚切0.1250.025金属模铸0.750.25拉0.1250.0125压

铸0.250.05磨0.0250.005蜡

模

铸——0.05研磨0.0050.0012烧结金属1.250.05钻孔0.250.05烧结陶瓷0.750.50绞孔0.050.01253.3概率法机械设计所需的部分数据和资料材料的强度特性

试验表明，一些金属材料的强度特性基本可用正态分布来描述。表3-4给出了金属材料强度特性的变异系数

材料强度变异系数V材料特性变异系数V金属材料的抗拉强度0.05金属材料的断裂韧性0.07金属材料的屈服强度0.07钢的弹性模量0.03钢材的疲劳强度0.08铸铁的弹性模量0.04零件的疲劳强度0.10~0.15铝合金的弹性模量0.03焊接构件的强度0.10~0.15钛合金的弹性模量0.093.3概率法机械设计所需的部分数据和资料目前我国钢材的抗拉强度和屈服强度数据多数是只保证90％不小于的下限值。若按表3-4取变异系数，则抗拉强度均值荐用

屈服强度均值荐用式中，σb和σs是从手册或产品目录中查得的下限值3.3概率法机械设计所需的部分数据和资料疲劳强度试验比静强度试验麻烦得多，具体试验和统计方法可参考有关文献。初步设计或近时设计计算时荐用应该注意，不同工厂的生产条件和技术水平不同，不同国家的情况则更不一样，因此不应盲目搬用。设计重要的、对强度要求很严的产品宜直接做具体的试验，统计得所需的均值、标准差等数据。

3.3概率法机械设计所需的部分数据和资料材质锻钢（正火或调值）0.45铸钢或淬火钢0.40灰铸铁0.40铁素体球墨铸铁0.48珠光体球墨铸铁0.333.4静强度的概率法设计不随时间变化或变化缓慢的应力称为静应力。当应力循环次数小于103时也近似作为静应力处理。静强度不够而引起的失效形式主要是整体破断或过大的残余变形，前者是应力超过强度极限，后者是应力超过屈服极限所致3.4静强度的概率法设计计算系数进行零件或构件的概率法设计计算时，有些随机因素尚未查明或尚难查明。例如，试验模拟的近似性、计算简化假定的近似性、数据引用的近似性、生产使用情况的估计、人的素质等引起的随机差异等都难以明确定量。针对这些难以定量或数据暂缺的情况，建议在计算载荷或应力时乘一个计算系数K，其数值可参考各类机械设备的专业数据3.4静强度的概率法设计取计算系数均值变异系数

随着各随机因素统计定量的不断完善，系数

逐渐趋于1，而逐渐趋于03.4静强度的概率法设计正态分布的设计法若应力和强度均服从正态分布或对数正态分布以及安全系数服从正态分布的情况，就可用3.2.1节中的方法，按指定的可靠度先求得可靠安全系数，再按强度条件

就可进行设计计算

3.4静强度的概率法设计拉杆的静强度概率法设计例3-7

圆截面拉杆，受轴向力F~N（250000，150002）N，所用材料的抗拉强度极限σb~N（630，31.52）N/mm2，要求不拉断失效的可靠度R=0.999，求所需的截面直径d

3.4静强度的概率法设计解工作应力函数计算准确，取计算系数

一般制造水平，取直径的变异系数

载荷的变异系数

求应力的变异系数

3.4静强度的概率法设计强度极限的变异系数当R=0.999，由表2-15查得zR=3.09设应力服从正态分布时，则应力和强度均服从正态分布。按式（3-8）得所需可靠安全系数3.4静强度的概率法设计强度条件解得将设计结果适当圆整，并取Δd=3sd=3×0.0634=0.19mm，则d=25.5±0.19mm3.5疲劳强度的概率法设计零件或构件的疲劳强度与很多因素有关，计算比较麻烦，因此疲劳强度设计常以验算为主。通常可先按静强度设计定出具体尺寸、结构和加工情况后，再验算可靠度或预计可靠寿命

变应力和变载荷的类型

应力和载荷的变化规律基本上是类似的，故载荷就不再叙述。应力随时间变化的记录称为应力时间历程，按其变化规律可分为三种类型：a)为稳定变应力；b)为规律性不稳定变应力；c)为随机不稳定变应力，其变化无明显的规律性。3.5疲劳强度的概率法设计应力的随机性按其在设计中的影响可分为两种。一种是产品本身所受应力历程的随机性，称之为应力的纵向分布。它是反映产品本身所受应力随时间的随机变化；另一种是同样产品间所受应力的差异，称之为应力的横向分布。它是反映同样产品在同样工作条件下，由于受一些随机因素的影响而实际引起的应力并不一致3.5疲劳强度的概率法设计零件的疲劳强度

零件或构件的疲劳强度与很多因素有关，计算比较麻烦，因此疲劳强度设计常以验算为主。通常可先按静强度设计定出具体尺寸、结构和加工情况后，再验算可靠度或预计可靠寿命

变应力和变载荷的类型

a)为稳定变应力；b)为规律性不稳定变应力；c)为随机不稳定变应力3.5疲劳强度的概率法设计应力的随机性按其在设计中的影响可分为两种。一种是产品本身所受应力历程的随机性，称之为应力的纵向分布。它是反映产品本身所受应力随时间的随机变化；另一种是同样产品间所受应力的差异，称之为应力的横向分布。它是反映同样产品在同样工作条件下，由于受一些随机因素的影响而实际引起的应力并不一致。应力历程各不相同，但经统计处理后可发现各个应力历程的分布规律是一致的，而分布参数并不一致。分布参数间的变异也可统计整理得出其分布规律。

3.5疲劳强度的概率法设计零件的疲劳强度

一般是利用相应的系数对材料的疲劳强度进行适当的修正作为零件的疲劳强度。下面仅介绍受对称循环变应力的情况供设计时参考零件的σ-1CN与材料的σ-1N之差值则随着应力循环次数N的减小而减小。当S-N曲线开始接近水平时，其循环次数记为N∞，并规定应力循环次数N=103时记为N0

3.5疲劳强度的概率法设计当N≥N∞时，零件的疲劳强度记为σ-1C当N≥N∞时，零件的疲劳强度的均值各修正系数的均值，若缺乏专门的数据可暂取常规设计的数据作为均值3.5疲劳强度的概率法设计当N≥N∞时，零件的疲劳强度的标准差由同炉材质疲劳强度差异的变异系数（如表3-6中的数据）和不同炉材质疲劳强度差异的变异系数组成。若没有不同炉材质疲劳强度差异的变异系数，则可近似用强度极限的变异系数代替

3.5疲劳强度的概率法设计对常用钢制零件的体积强度，若未做专门的试验可参考表3-10选取生产水平单件生产批量生产大量生产高0.100.090.08中0.110.100.09低0.120.110.103.5疲劳强度的概率法设计当用喷丸、辊压等强化措施效果稳定，取

效果不稳定，取若未强化，则取综合修正系数的变异系数可近似取是理论应力集中系数的变异系数

仅决定于几何形状和受载类型。典型的形状及受载情况多能用公式给出其函数关系，这时可用前述的方法求其均值和标准差

3.5疲劳强度的概率法设计当N=N0时，零件的疲劳强度N=N0时的有效应力集中系数

N=N0时零件疲劳强度的均值

3.5疲劳强度的概率法设计N=N0时零件疲劳强度的标准差和变异系数也可近似取3.5疲劳强度的概率法设计近似p-S-N曲线和3s-S-N曲线的绘制和可靠度的验算

最好通过试验绘成。一般，曲线的左分支在四、五个应力水平用成组试验法进行寿命试验，然后统计处理求出每一应力水平下的寿命分布。曲线的右分支在指定的N（一般略大于N∞）处用升降法进行疲劳强度试验，然后求出其均值和标准差。将同一失效概率的点用光滑曲线连接起来即为p-S-N曲线。若将各均值点和失效概率p=0.00135的试验点（即均值减去3倍的标准差）分别连接起来即为3s-S-N曲线。这些曲线在双对数坐标系中为直线，可用直线方程来描述。

3.5疲劳强度的概率法设计可按下属步骤绘制近似的p-S-N曲线和3s-S-N曲线

a.绘制标准光滑试件的均值S-N曲线。根据不同的重要程度和经济条件，可用标准光滑试件按成组试验法和升降法绘制较精确的p-S-N曲线。也可用较少的试件绘制常规的S-N曲线，把它作为均值S-N曲线；对不很重要的情况或近似计算，也可参考有关文献中同样材料的数据绘制近似的均值S-N曲线（如图3-7所示）

3.5疲劳强度的概率法设计对于常用的钢铁可近似取N∞=（1~10）106；

可近似按表3-7、3-8等由估算N0=103时的疲劳强度均值建议一般钢取：

淬火钢取：灰铸铁、铁素体球墨铸铁取：珠光体球墨铸铁取：

3.5疲劳强度的概率法设计按双对数估得的疲劳强度是偏于保守的或认为是偏于安全的

3.5疲劳强度的概率法设计b.绘制零件的均值S-N曲线

将标准光滑试件的均值S-N曲线针对具体的应力集中、绝对尺寸和表面情况进行适当的修正，即可绘得零件的均值S-N曲线

c.绘制零件的p-S-N曲线

N∞和N0分别求出疲劳强度的标准差则N∞和N0时不同失效概率p的疲劳强度3.5疲劳强度的概率法设计3s-S-N曲线的绘制方法与p-S-N曲线类似，均直线同前，-3s线（即均值减去三倍标准差）相当于失效概率p=0.00135。图3-8所示为近似的3s-S-N曲线3.5疲劳强度的概率法设计为使用方便，将3s-S-N曲线用经验公式来表示。按双对数坐标上的3s-S-N近似直线，寿命为N的零件疲劳强度均值3.5疲劳强度的概率法设计寿命为N时的零件疲劳强度的标准差3.5疲劳强度的概率法设计

3s-σm-σa曲线绘制和可靠度验算

图中实线为σm-σa曲线的均值，虚线与均值曲线间隔为三倍的标准差，即-3s线

C’AOCB’BaA’3.5疲劳强度的概率法设计工作中应力循环特性r为常量，可按工作应力在图中描得一点A，过原点O和该点引一直线应力和强度均按

线方向的向量和计算

类似，若工作中平均应力σml为常量工作中最小应力σmin为常量，可按σmin在图上引45°斜线3.5疲劳强度的概率法设计对最常用的r为常量的情况，工作应力的均值工作应力的标准差疲劳强度可直接从图上量取

3.5疲劳强度的概率法设计疲劳强度也可按近似的经验公式来求。这时常假设疲劳极限线图为谢林森折线，如图3-11所示。疲劳强度的均值和标准差3.5疲劳强度的概率法设计3.5疲劳强度的概率法设计按等效应力验算可靠度

当应力循环特性r为常数时，非对称循环的变应力可近似转化为疲劳等效的对称循环变应力。这时，强度的均值为

变异系数为

应力的均值为等效应力的均值

等效应力的变异系数3.5疲劳强度的概率法设计受复合应力时验算可靠度

受复合应力时，可根据相应的强度理论求计算应力。受非对称循环变应力时仍可用等效应力的概念。例如，轴的危险截面上同时受有非对称循环的正应力和剪应力

3.5疲劳强度的概率法设计若按第四强度理论，则计算应力例3-10

某回转心轴用40Cr制造，调质后抗拉强度极限

=939.6N/mm2，D=120mm，d=100mm，ρ=10±2mm，精车。受弯矩M=30000Nm作用，试验算N=105时不疲劳失效的可靠度。

危险截面为变断面，圆角过渡，D=120mm，3.5疲劳强度的概率法设计解

1）绘制零件的近似p-S-N曲线取

在图上描点连接成光滑试件的近似S-N曲线取一般常规设计修正系数作为均值：

综合修正系数均值

3.5疲劳强度的概率法设计时零件疲劳强度均值

由图3-6查得

N0时的有效应力集中系数均值3.5疲劳强度的概率法设计N0时零件疲劳强度均值

在图上描点连接成零件的近似均值S-N曲线

取时零件疲劳强度的变异系数

3.5疲劳强度的概率法设计零件疲劳强度的标准差

指定p=0.10，0.01，0.001，由附表1查得相应的zp=-1.282，-2.326，-3.090时不同失效概率p时零件的疲劳强度3.5疲劳强度的概率法设计取N0时零件疲劳强度的变异系数

零件疲劳强度的标准差

3.5疲劳强度的概率法设计N0时不同失效概率p时零件的疲劳强度用这些值在图上描点，并将相同p的点用直线相连，得近似p-S-N曲线3.5疲劳强度的概率法设计2）验算零件不疲劳失效的可靠度求工作应力，按材料力学公式由指定的N=105，即lgN=5，以及工作应力σ=305.58在图3-7中描点。由图知，此点约在p=0.01的S-N线上，故不疲劳失效的可靠度3.5疲劳强度的概率法设计例3-11

数据同例3-10。若危险截面的弯应力σ~N（300，212）N/mm2，求N=105时疲劳强度的可靠度解由例3-10得N∞=106时N0=103时

3.5疲劳强度的概率法设计现按双对数坐标的经验公式求均值线的试验指数

均值线的寿命系数

3.5疲劳强度的概率法设计N=105时疲劳强度的均值-3s线的试验指数3.5疲劳强度的概率法设计-3s线上的寿命系数N=105时-3s线上疲劳强度N=105时的零件疲劳强度的标准差3.5疲劳强度的概率法设计设强度也服从正态分布，按表3-1由zR=0.8262查附表1得R=Φ(zR)=Φ(0.8262)=0.79553.5疲劳强度的概率法设计可靠度计算的应力-寿命模型

疲劳曲线是在几个不同的应力水平下做成组寿命试验，通过对试验数据的统计处理后得到每个应力水平下的寿命分布。大量试验结果表明：在一定应力水平下机械零件（或材料）的疲劳寿命较好地服从对数正态分布，其概率密度为

∣3.5疲劳强度的概率法设计通过试验数据的统计处理表明：在双对数坐标系lgσ-lgN下，失效概率相同时的疲劳曲线可用一斜直线表示，用公式表示则为

式中系数A、B可用最小二乘法得3.5疲劳强度的概率法设计式中

当p=0.5时，寿命分布的对数均值为当p=0.00135时3.5疲劳强度的概率法设计寿命分布的对数标准差为上二式中A1、B1为p=0.5时的系数；A2、B2为p=0.00135时的系数恒幅常应力的可靠度计算

恒幅常应力就是作用在零件上的应力幅（或等效应力幅）为常数

前已述及的可靠度计算模型是根据疲劳强度理论和应力-强度模型在指定寿命N*处获得的。但是，疲劳强度的概率分布是根据疲劳寿命分布转换得到的，这种转换会带来一定的误差3.5疲劳强度的概率法设计不论疲劳强度和疲劳寿命服从何种分布，疲劳强度和疲劳寿命的可靠度是等价的因此，零件的疲劳强度可靠度可用疲劳寿命可靠度来表示，公式为R(N*︱σ)=P(N＞N*︱σ)=︱σ)dN

当在恒幅应力σ作用下疲劳寿命服从对数正态分布时R(N*︱σ)=3.5疲劳强度的概率法设计

恒幅变应力的可靠度计算

对于在相同条件下工作的一批零件，虽然对每个个体而言应力幅为常数，但对母体而言工作时应力幅确是随机变量，将这种情况称为恒幅变应力情况。在这种情况下疲劳可靠度的计算公式推导如下

3.5疲劳强度的概率法设计如图3-12所示，当工作应力在

区间内取值时，由于dσ为微量，故此时疲劳寿命N＞N*的概率为而应力落入小区间内的概率为

3.5疲劳强度的概率法设计应力落入小区间

同时发生的概率，根据概率乘法定理得与（N＞N*）这两个事件3.5疲劳强度的概率法设计可靠度是对应力σ所有可能值寿命N均大于指定寿命N*的概率，故可靠度为式（3-65）就是寿命可靠度的加权平均值。当给定应力水平下疲劳寿命服从对数正态分布时，上式变为3.5疲劳强度的概率法设计当工作应力服从不同的概率分布时，上式可以写出具体的表达式。例如，工作应力服从指数分布时可靠度为

工作应力服从正态分布时可靠度为3.5疲劳强度的概率法设计工作应力服从对数正态分布时可靠度为工作应力服从威布尔分布时可靠度为关于可靠度的计算可用数值积分法或蒙特卡洛模拟法进行求解3.5疲劳强度的概率法设计例3-12

材料为45钢正火处理，在四级应力水平下做成组寿命试验（旋转弯曲），试验结果见表3-11。若工作应力为300N/mm2（恒幅常应力）和工作应力服从对数正态分布（恒幅变应力），均值为300N/mm2，标准差为30N/mm2。试求N=105时的可靠度

表3-1145钢旋转弯曲疲劳试验结果应力水平

N/mm2379.65348.60330.46316.34寿命的对数均值4.50684.85655.20715.3472寿命的对数标准差0.03830.04200.10110.23793.5疲劳强度的概率法设计解由式（3-59）、（3-60）得系数A1=32.8255，B1=－10.9834A2=15.0954，B2=－4.1141代入式（3-61）、（3-62）中得3.5疲劳强度的概率法设计1）恒幅常应力（σ=300N/mm2）由式（3-64），N*=105时可靠度R(N*︱σ)=

2）恒幅变应力（服从对数正态分布）由题知，工作应力服从对数正态分布，其均值为300N/mm2，标准差为30N/mm23.5疲劳强度的概率法设计通过计算得工作应力的对数均值对数标准差

3.5疲劳强度的概率法设计非恒幅应力的疲劳可靠度计算

非恒幅应力的疲劳可靠性计算，由于既存在应力的横向分布，又存在应力的纵向分布

虽然对非恒幅应力的疲劳可靠性计算方法已由一些研究，但都在一定程度上存在一些问题。这里从疲劳损伤理论出发，直接建立这种情况下的可靠度计算模型3.5疲劳强度的概率法设计工程中，有些变量之间的关系是确定性的有些变量之间并没有明确的函数关系，有些变量之间的关系是通过试验数据的拟合来确定的。例如，疲劳曲线方程就是通过试验获得的，应力与寿命之间并不存在确定的函数关系

因此方程σmN=C不能作为一个函数关系使用

应力与寿命存在上述关系的条件是失效概率相等

3.5疲劳强度的概率法设计目前都使用疲劳损伤累积理论

疲劳损伤累积理论在各自假设的基础上各变量之间满足这一函数关系式。因此，这些疲劳损伤累积理论都可以直接用于疲劳强度的可靠性计算中。由于Miner定理简单，故目前基本上都在使用该定理进行寿命计算。这里也以该定理论述疲劳可靠性的计算，至于其它的疲劳损伤累积理论，其分析方法类似3.5疲劳强度的概率法设计Miner定理的文字表述为：在疲劳试验中，试样在给定应力水平循环作用下，损伤可以认为与应力循环次数成线性累积的关系，当损伤累积到某一临界值时就发生破坏。用公式表达即为当时正好破坏。式中的ni和Ni是应力水平为σi时的工作应力循环次数和达到破坏时的应力循环次数（寿命）；n是应力水平数，建议取全部应力水平数3.5疲劳强度的概率法设计规律性非恒幅应力的可靠度计算规律性非恒幅常应力的情况在规律性非恒幅常应力下，虽然每级应力σi都是常数，即只有应力的纵向分布，但疲劳极限或应力水平下的疲劳寿命仍为随机变量。而且实际的工作应力循环次数ni也可能是随机变量。因此，在这种情况下应进行可靠性计算。最直接的方法就是利用疲劳损伤累积理论

3.5疲劳强度的概率法设计根据不发生疲劳失效的可靠度定义得可采用中心点法、一次二阶矩法或蒙特卡洛模拟法求解规律性非恒幅变应力的情况

在这种情况中既有应力的纵向分布，又有应力的横向分布。因为每一级应力对于个体而言是常数，但对于母体（一批零件）而言，每级应力又都是随机变量，即存在有应力的横向分布

3.5疲劳强度的概率法设计每级应力σi（i=1,2,…,n）在任意小区间内取值的条件下的概率为而每级应力同时在各自小区间

内取值的概率为（i=1,2,…,n）

3.5疲劳强度的概率法设计上述两个事件同时发生的概率，根据概率乘法定理得

将每级应力在所有可能的取值都累加起来，即为零件不发生疲劳失效的可靠度可采用数值积分法或蒙特卡洛模拟法进行求解

3.5疲劳强度的概率法设计随机应力的可靠性计算

与前述应力分类法一样，随机应力仍可分为随机常应力（只有应力的纵向分布）和随机变应力（同时存在有应力的纵向分布和横向分布）

随机常应力的情况设应力的纵向分布的概率密度为p(σ)（这里使用p(σ)主要是为了区别用于应力-强度干涉模型中应力的概率密度）。p(σ)可通过实测应力时间历程经计数统计后得到。随机常应力即认为母体中每一个个体的应力时间历程都相同，均为p(σ)3.5疲劳强度的概率法设计应力在σ至σ+dσ区间内的应力循环数与总应力循环数之比（概率）为p(σ)dσ，令N∑为总工作循环数（常数），在应力（σ，σ+dσ）区间内的工作循环数为dn，则用dn代替Miner定理中的ni，并将求和换成积分，则此时不疲劳失效的可靠度为3.5疲劳强度的概率法设计随机变应力的情况这里仅讨论一种解决这一问题的方法

在规定的相同条件下多次重复采集样本，每次采集的样本可