矩形截面波导的纵向传播常数

矩形截面波导的纵向传播常数

1传播常数的计算在集成光路上，矩形耳波不仅形成了光的传播路径，而且是集成光学设备的基本组件。在矩形截面波导的各参数中,光的纵向传播常数(简称传播常数)是最重要的参数之一。它对光波导及其所构成的光器件的设计都起着指导性的作用。因此传播常数的计算在一定程度上成了集成光路设计成败的关键。传播常数的计算方法有很多种,大致可分为两大类:第一类方法可将传播常数用一个解析式表达出来,这类方法的计算过程较简单,但误差较大;第二类算法为数值算法,精度较高,但运算过程相对复杂。在第一类方法中,应用最广泛的一种为有效折射率法(EIM),这种方法较简单,而且在一些非矩形截面场合也可得到应用。但由文献可知,利用这种算法得出的传播常数比实际传播常数偏大,而且从矩形的长边或短边开始计算时得到的结果不一致。本文首先回顾了有效折射率法,并在分析其误差产生原因的基础上,提出了一种改进的有效折射率法。2突出正截面滤波器的叠加矩形截面波导的剖面如图1所示,折射率为n1的波导被四个折射率分别为n2,n3,n4,n5的介质所环绕(n1>n2,n3,n4,n5),矩形边长为2a和2b(a>b)。由于光波能量的大部分被限制在波导中,另有少部分进入与矩形四边相邻的区域,而在阴影区域所包含能量极少,因而可忽略阴影区域的影响。有效折射率法的基本出发点是将矩形截面波导等效成两个三层平板波导的叠加,如图2所示(从矩形的长边开始计算)。通过式(1)～(4)可算得该矩形截面波导的有效折射率Nmn,再由βmn=kNmn可算得波导的传播常数。(n21-Ν2n)12k⋅2b=nπ+tg-1[(Ν2n-n22n21-Ν2n)12η12]+tg-1[(Ν2n-n24n21-Ν2n)12η14](1)(n21−N2n)12k⋅2b=nπ+tg−1[(N2n−n22n21−N2n)12η12]+tg−1[(N2n−n24n21−N2n)12η14](1)式中,η1j={1‚Exmn模n21/n2j,j=2,4,Eymn模(2)(Ν2n-Ν2mn)12k⋅2a=mπ+tg-1[(Ν2mn-n23Ν2n-Ν2mn)12ηn3]+tg-1[(Ν2mn-n25Ν2n-Ν2mn)12ηn5](3)η1j={1‚Exmn模n21/n2j,j=2,4,Eymn模(2)(N2n−N2mn)12k⋅2a=mπ+tg−1[(N2mn−n23N2n−N2mn)12ηn3]+tg−1[(N2mn−n25N2n−N2mn)12ηn5](3)式中,ηnj={1‚Eymn模Ν2n/n2j,j=3,5,Exmn模(4)ηnj={1‚Eymn模N2n/n2j,j=3,5,Exmn模(4)3等效折射分布在相同条件下分别应用有效折射率法和由Goell给出的数值算法计算矩形截面波导的传播常数,所得结果如图3所示。由图中可知,用有效折射率法得出的结果比Goell算法得出的结果稍大。由于Goell算法为数值算法,精度很高,所得结果可认为与实际传播常数近似相等,因此可知,用有效折射率法算得的传播常数比实际值偏大。下面对这一偏差产生的原因进行分析。由图2可知,有效折射率法将矩形截面波导等效成两个三层平板波导的叠加,而式(1)、(3)这两个计算平板波导有效折射率的公式是通过解波动方程(5)、(7),并利用连续性边界条件得到的。d2Ψndy2+k2[n2(y)-Ν2n]Ψn=0(5)d2Ψndy2+k2[n2(y)−N2n]Ψn=0(5)式中:Ψn为如图2(a)所示平板波导中的模场;n2(y)为n2(y)={n21,|y|＜bn22,y＞bn24,y＜-b(6)d2Ψmdx2+k2[n2(x)-Ν2mn]Ψm=0(7)n2(y)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪n21,n22,n24,|y|＜by＞by＜−b(6)d2Ψmdx2+k2[n2(x)−N2mn]Ψm=0(7)式中:Ψm为如图2(b)所示平板波导中的模场;n2(x)为n2(x)={Ν2n,|x|＜an23,x＜-an25x＞a(8)n2(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪N2n,n23,n25|x|＜ax＜−ax＞a(8)在三维矩形波导情况下,对Helmhotz方程进行推导可得下列波动方程:∂2φmn∂x2+∂2φmn∂y2+k2[n2(x,y)-Ν2mn]φmn=0(9)∂2φmn∂x2+∂2φmn∂y2+k2[n2(x,y)−N2mn]φmn=0(9)式中:φmn为矩形截面波导中的模场;n2(x,y)应为如图1中所示各区域中的折射率分布。求解方程(9)并利用连续性边界条件即可得矩形截面波导的有效折射率,从而求得传播常数。由变分法可知,φmn=ΨmΨn,代入式(9)可得1Ψm⋅∂2Ψm∂x2+1Ψn⋅∂2Ψn∂y2+k2[n2(x,y)-Ν2mn]=0(10)1Ψm⋅∂2Ψm∂x2+1Ψn⋅∂2Ψn∂y2+k2[n2(x,y)−N2mn]=0(10)将式(5)代入式(10)可得1Ψm⋅∂2Ψm∂x2+k2[n2(x,y)-n2(y)+Ν2n-Ν2mn]=0(11)1Ψm⋅∂2Ψm∂x2+k2[n2(x,y)−n2(y)+N2n−N2mn]=0(11)将式(7)代入式(11)可得n2(x,y)=n2(x)+n2(y)-Ν2n(12)将式(6)、(8)代入式(12)可得利用有效折射率法计算时各区域中的等效折射率分布,如图4。由图4可知,当利用有效折射率法时,实际用于计算的等效n2(x,y)分布不再如图1所示,而是在区域3(x<-a,│y│<b)和区域5(x>a,│y│<b)中均有了增量,使得这两区域与区域1(│x│<a,│y│<b)之间的等效折射率差值变小,进入这两区域的模场能量增大,从而使算得的有效折射率偏大。以上的分析均以图2为基础,即从矩形的长边开始计算。若从矩形的短边开始计算,可得n2(x,y)分布如图5所示,区域2(│x│<a,y>b)和区域4(│x│<a,y<-b)中的n2(x,y)有了增量,同样使算得的传播常数比实际值偏大。另外值得注意的是,由于这一情况下n2(x,y)的增大是沿矩形的短边方向(a>b),因此进入区域2和区域4的模场能量比上一情况中进入区域3和区域5的模场能量还要大,从而使算得的传播常数较实际值偏大得更多。由以上的分析可得出以下结论:利用有效折射率法计算矩形截面波导的传播常数,所得值比实际值偏大;从矩形的长边或短边开始计算时所得结果不一致;从矩形长边开始计算时所得结果较为精确。4改进的eim及其其他算法通过对有效折射率法偏差产生原因的分析,可对有效折射率法进行改进。改进后的有效折射率法仍将矩形截面波导等效成两个三层平板波导的叠加,但对部分区域的折射率分布进行了修正(见图6)。具体计算方法如下:(1)与有效折射率法相同,利用式(1)和(2)计算Nn;(2)对n23与n25进行修正,使n′23=n23-(n21-Ν2n)‚n′25=n25-(n21-Ν2n)(13)(3)将式(3)中的n23、n25分别用式(13)中的n′23、n′25代替,再利用式(3)计算Nmn;(4)βmn=kNmn。将式(8)中的n23、n25分别用n′23、n′25代替,然后将式(6)、(8)代入式(12)可得n2(x,y)的分布正如图1所示,各区域的折射率即为实际折射率。因此用这种改进算法可得到准确结果,而且无论从矩形的长边还是短边开始计算,都能得到一致的结果。在相同条件下分别应用改进的EIM和Goell的数值算法计算矩形截面波导的传播常数,所得结果如图7所示。由图可知,用两种算法得到的曲线并非吻合得很好,这说明改进的EIM也存在偏差。这是因为以上所有的分析讨论均以图1为基础,即忽略了阴影区域的影响。若考虑其影响,则由式(6)、(8)、(12)和(13)可得改进的EIM的等效折射率分布n2(x,y)如图8所示。一般情况下阴影区域同与其相邻的两区域中的一个为同一种介质,具有相同的折射率,但由图8可知,用改进的EIM计算时,阴影区域的等效折射率较实际值偏小,从而使算得的传播常数也偏小。但进入阴影区域的模场能量很少,因此用改进的EIM算得的传播常数与实际值之间的偏差也很小,特别是当导模远离截止时,这种算法与Goell的数值算法所得结果已极其接近(图7)。5法的特点分析在回顾了有效折射率法的基础上,对其计算偏差及其产生原因进行了分析并提出了一