人教版八年级数学上册 （多边形的内角和）三角形 教学课件

多边形的内角和

学习目标1.掌握多边形的内角和与外角和公式.（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）回顾旧知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.1.什么是多边形？3.从n边形的一个顶点出发，可以引出_______条对角线，将多边形

分割成了________个三角形.2.什么是多边形的对角线？

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.n－3n－2合作探究---多边形内角和思考1：三角形的内角和等于180°，长方形、正方形的内角和都等于______.任意四边形的内角和是否也等于360°呢？你能用三角形内角和证明四边形的内角和等于360？360°合作探究---多边形内角和方法1：如图，连接AC,所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.ABCD想一想，还有别的做法吗？合作探究---多边形内角和ABCDE方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.合作探究---多边形内角和方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.ABCDE合作探究---多边形内角和ACDEBABCDEF思考2：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.合作探究---多边形内角和23180°×3=540°34180°×4=720°n－3n－2180°×(n－2)由特殊到一般：n边形的内角和等于（n－2）×180°小试牛刀1.七边形的内角和等于()A.360°B.900°C.1080°D.1260°B2.在四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角的度数是

.120°小试牛刀3、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：

如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，因为∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.所以ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.小试牛刀

变式训练：如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°，∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°，故△DCF为直角三角形．小试牛刀4、已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；解：∵360°÷180°=2，630°÷180°=3......90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4；小试牛刀（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．解：依题意有（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．合作探究---多边形外角和思考3：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.你能求出六边形的外角和吗？解：∵六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，∴六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.∴六边形外角和=总和－内角和=6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°合作探究---多边形外角和由特殊到一般：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°=n个平角-n边形内角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考4：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是150°,那么这是正____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.十二正八合作探究---多边形外角和小试牛刀1、已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的

边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n－2)•180°，多边形外角和等于360°，∴(n－2)•180°=2×360º.解得n=6.∴这个多边形的边数为6.小试牛刀2、

一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，（8-2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．能力提升1.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.(1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出

∠C的度数；解：(1)∵BE∥AD，∴∠A＋∠ABE＝180°，即140°＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝40°，∴∠ABC＝80°，由∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°，得∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°能力提升2、已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解：设这个多边形的内角为7x°,外角为2x°,根据题意得:7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°.360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.能力提升1.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.(2)如图②,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.(2)∵∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，由∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°得140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°，∴∠EBC＋∠ECB＝70°，∴∠BEC＝110°能力提升3、一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．能力提升4、

一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：∵1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.思维拓展1、如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6