第1篇考点聚焦31讲图形相似

第31讲图形的相似比例式第四比例项比例中项黄金分割AB·BC0.618两3．平行线分线段成比例定理(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成__________；(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成_______．4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做_____________．相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的___________．比例比例相似三角形相似比5．相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．6．相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．7．射影定理：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC.8．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角________，对应边_________．(2)相似多边形周长之比等于_________，面积之比等于________________．相等成比例相似比相似比的平方9．位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅_______，而且对应顶点的连线相交于________，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做_______________．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于____________．(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或－k.相似一点位似中心位似比3．判定两个三角形相似的技巧(1)先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；(4)若题目出现平行线，则直接运用基本定理得出相似的三角形．4．五种基本思路(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．A

命题点2：平行线分线段成比例2．(2017·长春)如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为____．6命题点3：相似三角形的性质3．(2017·重庆)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(

)A．3∶2B．3∶5C．9∶4D．4∶9AA

命题点5：相似三角形的应用5．(2017·天水)如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为____米．5相似三角形的性质及判定D

(2)(2017·潍坊)如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：___________________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)DF∥AC或∠BFD＝∠A1．(1)(2017·深圳)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝____．3(2)(2017·宿迁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．①求证：△BDE∽△CEF；②当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.相似三角形的应用【例2】

(2017·兰州)如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为(

)A．8.5米B．9米C．9.5米D．10米A[对应训练]2．(1)(2017·吉林)如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝14m，则旗杆AB的高为____m.9(2)(2017·通辽)志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费(

)A．540元B．1080元C．1620元D．1800元C相似三角形综合问题[对应训练]3．(导学号：65244038)(2017·南通)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．(1)等边三角形“内似线”的条数为____；(2)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求证：BD是△ABC的“内似线”；3(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别在边AC，BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．解：(1)等边三角形“內似线”的条数为3条；理由：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，∴MN，EF，GH是等边三角形ABC的内似线”；故答案为：3

(2)∵AB＝AC，BD＝BC，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∴△BCD∽△ABC，又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，即BO过△ABC的内心，∴BD是△ABC的“内似线”

答题思路第一步：审题，理解问题，清楚问题中的已知条件与未知结论；第二步：过三角形边上的点作欲求分比线段的平行线，构成两对相似三角形；第三步：根据相似三角形的性质，得出与欲求分比线段相关联的两线段的比值；第四步：根据比例的性质逐步求得欲求分比线段的比值；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．试题如图，在Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2，问：当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？剖析

(1)此题中，在Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠B可能与∠ACD相等，也可能与∠CAD相等，△ABC与△A