人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质

12.3角的平分线的性质第1课时角平分线性质一、新课导入1.导入课题：投影教材第48页开头的“思考”中的文字和图形，让学生说明道理后提出问题：你能从“思考”中得到的启示通过运用尺规作一个角的平分线吗？2.学习目标：（1）学会角平分线的画法.（2）探究并认知角平分线的性质.（3）熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.3.学习重、难点：重点：角的平分线的性质.难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究“角平分线的作法”.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读、作图、总结、归纳.（4）自学参考提纲：①投影中AE平分∠DAB是由什么方法得到∠DAE=∠BAE？证明△ABC≌△ADC(SSS).②由平分角的仪器尝试画∠AOB的平分线.③由导入得到作角平分线的方法：a.作法(1)能得到OM=ON；b.作法(2)能得到MC=NC；c.由SSS方法判定△OMC≌△ONC，得到∠MOC＝∠NOC，∴OC是∠AOB的平分线;d.在作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？不行.2.自学：学生结合自学指导进行探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：利用角平分仪悟出画角平分线的方法，由实物抽象出几何图形，应用了数学里面的建模思想，部分学生理解起来还存在一定的困难.②差异指导：a.引导学生理解角平分仪平分角的道理是证明两角相等，回忆前面证明角相等的方法是证明三角形全等.b.在尺规作图的过程中引导学生运用三角形三边关系定理，理解“大于12MN的长”这个条件.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）让学生口述角平分线的作法步骤.（2）尝试练习：作出△ABC的三条角平分线（保留作图痕迹，写出作法）.（3）练习：平分平角∠AOB，通过作角平分线得到射线OC，然后反向延长OC得到直线CD，直线CD与直线AB存在什么样的位置关系？互相垂直.（4）给一张三角形纸片，你能不借助任何工具找到某一个角的平分线吗？能，将这个三角形沿过一个顶点的线折叠，使在该顶点的角的两边重合，则该线就是这个角的平分线.1.自学指导：（1）自学内容：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”.（2）自学时间：5分钟.（3）学习方法：先通过折纸画图、测量得出角平分线的性质，再探究几何证明方法.（4）探究提纲：①如图，OC平分∠AOB，点P是OC上任一点，P点到OA、OB的距离怎么找？过点P分别向OA、OB作垂线，P点与垂足之间的线段的长就是P点到OA、OB的距离.②这两个距离可采用什么方法得到它们的大小关系？证三角形全等，然后得出这两个距离相等.③用你采用的方法，得到了什么结论？结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等..④将性质用图形、几何语言表示（填写下表）：图形：已知事项：已知∠AOB,OC是∠AOB的平分线，P为OC上一点，且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.由已知事项推出的事项：PD=PE⑤根据探究的内容，写出已知、求证及证明结论的过程.已知：∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE.⑥由上述证明过程，总结证明一个几何命题的一般步骤：1.明确命题中的已知和求证;2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证;3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.2.自学：学生可结合自学指导探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：通过第二层次的学习，学生能够理解角平分线的性质定理，但在证明过程中，大部分学生不习惯把文字语言改成几何语言，教师应了解学生在几何表述中存在的问题.②差异指导：得出结论之后，要通过证明，才能确定命题的正确性，引导学生学会证明文字语言描述的几何题的步骤.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)用文字及几何语言表述定理；(2)证明题的基本步骤.三、评价1.学生的自我评价：学生相互交谈自己的收获和学习困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法.从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感性.所以本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的，不是之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步加强巩固和训练.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是(D)A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO第2题图第3题图第4题图3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于(A)A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm4.如图，P是∠AOB角平分线上的点，C、D分别是OA、OB上的点，且PC=PD，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：CE=DF.证明：∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEC=∠PFD=90°,PE=PF,在Rt△PEC和Rt△PFD中，PC=PD,PE=PF,∴Rt△PEC≌Rt△PFD(HL),∴CE=DF.二、综合应用（第5题10分，第6题20分，共30分）5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数是（D）A.1个B.2个C.3个D.4个第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.证明：∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠B=90°.∵AD为∠BAC的平分线，∴DB=DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中，DE=CD,DB=DF,∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）.∴BE=CF.三、拓展延伸（20分）7.如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.求证：CE=CF.证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD,BC=DC,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠DAC=∠BAC.∴AC平分∠MAN.∵CE⊥AM,CF⊥AN,∴CE=CF.12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定一、新课导入1.导入课题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们对这个问题进行探究.2.学习目标：（1）能说出角平分线的性质的逆定理，并能给予证明.（2）能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题.3.学习重、难点：重点：正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论.难点：角平分线定理和逆定理的互用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论.（4）自学参考提纲：①知识回顾：角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等，用几何语言表示：如右图，∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE②把角平分线的性质定理的题设与结论互换，就可以得到它的逆命题，试写出这个逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示：如右图，∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）,③小组合作完成教材第49页的思考：a.所建的集贸市场要符合哪些条件？到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.b.集贸市场应该建在什么位置？画一画，并说明理由.如图所示:P点即为所求，理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.c.实际距离500米能否转换成图上距离？写出计算过程.能,∵图上距离/500m=，∴图上距离=0.025m=2.5cm.④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：学生已经具备了一些几何概念定理学习方法，对于性质定理的逆命题，学生能很快得出来，但在语言表达上还存在一定问题；教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度.②差异指导：引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论，认识它们的区别与联系，学会文字语言和几何语言的转换.(2)生助生：生生间互助交流.4.强化：（1）进一步明确角平分线的性质定理和它的逆定理的题设与结论的互换关系，以及文字语言向几何语言的转换方法.（2）角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.1.自学指导：（1）自学内容：教材第50页例题.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：思考辅助线的作用和为什么要这样作辅助线的道理.（4）自学参考提纲：研究例题，我知道了：①推出PD=PE的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②“同理”这里省略的过程是∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上；③推出PE=PF的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④推出PD=PE=PF的依据是等量代换；⑤由点P在∠A的内部，且PD=PF可知，点P在∠A的平分线上，其依据是角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；⑥归纳：三角形的三条角平分线交于一点，而且这一点到三角形三边的距离相等.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：看学生能否根据今天学习的内容很快完成例题的学习，看是否明白作辅助线的道理.②差异指导：例题中隐含有两个重要结论：一是三角形三条中线交于一点；二是确定到三角形三边的距离相等的点的方法.对此部分学生理解上存在困难，注意分类指导.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）三角形三条角平分线交于一点.（2）要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.（3）教材第50页小练习.练习1：作∠BOA的平分线交于MN于P即可.练习2：证明：过P作PM⊥AC于M，过P作PN⊥BC于N，过P作PQ⊥AB于Q.∵CE为∠MCN的平分线，∴PM=PN，同理PN=PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.三、评价1.学生的自我评价：学生之间交谈自己的学习收获和学习体会.2.教师对学生的评价（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4、5题每题20分，共70分）1.如右图，因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE.依据是角的平分线的性质.2.如右图，因为点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，所以OP平分∠AOB.即∠AOP=∠BOP.3.要在三角形内部找到一点，使这一点到三角形三边的距离都相等，这个点是三角形的三条角平分线的交点.4.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（D）A.1处B.2处C.3处D.4处第4题图第5题图5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直平分AB交AB于E.若DE=12AD=1.5cm，则BC=（D）A.3cmB.7