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文档简介
2024届安徽省蚌埠二中数学高二上期末质量检测试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的两个顶点分别为A、B,点P为双曲线上除A、B外任意一点,且点P与点A、B连线的斜率为,若,则双曲线的离心率为()A. B.C.2 D.32.在空间直角坐标系中,点关于轴的对称点为点,则点到直线的距离为()A. B.C. D.63.2021年6月17日9时22分,搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭,在酒泉卫星发射中心点火发射.此后,神舟十二号载人飞船与火箭成功分离,进入预定轨道,并快速完成与“天和”核心舱的对接,聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”,并在轨驻留3个月,开展舱外维修维护,设备更换,科学应用载荷等一系列操作.已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆,设地球半径为R,其近地点与地面的距离大约是,远地点与地面的距离大约是,则该运行轨道(椭圆)的离心率大约是()A. B.C. D.4.已知、、、是直线,、是平面,、、是点(、不重合),下列叙述错误的是()A.若,,,,则B.若,,,则C.若,,则D.若,,则5.已知椭圆的两焦点分别为,,P为椭圆上一点,且,则的面积等于()A.6 B.C. D.6.动点到两定点,的距离和是,则动点的轨迹为()A.椭圆 B.双曲线C.线段 D.不能确定7.曲线为四叶玫瑰线,这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用,苜蓿叶型立交桥有两层,将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现,即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路,四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是()①曲线C关于点(0,0)对称;②曲线C关于直线y=x对称;③曲线C的面积超过4π.A.0 B.1C.2 D.38.已知是定义在上的奇函数,对任意两个不相等的正数、都有,记,,,则()A. B.C. D.9.点到直线的距离为A.1 B.2C.3 D.410.数列满足,,,则数列的前8项和为()A.25 B.26C.27 D.2811.设函数是定义在上的函数的导函数,有,若,,则,,的大小关系是()A. B.C. D.12.已知随机变量X服从二项分布X~B(4,),()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在数列中,,且,则_______.14.等差数列中,若,,则______,数列的前n项和为,则______15.设,分别是椭圆C:的左、右焦点,点M为椭圆C上一点且在第一象限,若为等腰三角形,则M的坐标为___________16.已知,是椭圆:的两个焦点,点在上,则的最大值为________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:的一个焦点坐标为,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设为坐标原点,椭圆与直线相交于两个不同的点A、B,线段AB的中点为M.若直线OM的斜率为-1,求线段AB的长;(3)如图,设椭圆上一点R的横坐标为1(R在第一象限),过R作两条不重合直线分别与椭圆交于P、Q两点、若直线PR与QR的倾斜角互补,求直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.18.(12分)已知是公差不为零的等差数列,,且,,成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和19.(12分)如图,四边形为矩形,,且平面平面.(1)若,分别是,的中点,求证:平面;(2)若是等边三角形,求平面与平面夹角的余弦值.20.(12分)已知双曲线与双曲线的渐近线相同,且经过点.(1)求双曲线的方程;(2)已知双曲线的左右焦点分别为,直线经过,倾斜角为与双曲线交于两点,求的面积.21.(12分)已知椭圆F:经过点且离心率为,直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线,它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D,O为坐标原点,直线AB和直线CD相交于M.记直线的斜率分别为,且(1)求椭圆F的标准方程(2)是否存在定点P,Q,使得为定值.若存在,请求出P、Q的坐标,若不存在,请说明理由22.(10分)【2018年新课标I卷文】已知函数(1)设是的极值点.求,并求的单调区间;(2)证明:当时,
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意设设,根据题意得到,进而求得离心率【详解】根据题意得到设,因为,所以,所以,则故选:C.2、C【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意,,,的方向向量,,则点到直线的距离为.故选:C.3、A【解析】以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为右焦点建立平面直角坐标系,设椭圆方程为,根据题意列出方程组,解方程组即可.【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为右焦点建立平面直角坐标系,设椭圆方程为,其中,根据题意有,,所以,,所以椭圆的离心率故选:A4、D【解析】由公理2可判断A选项;由公理3可判断B选项;利用平行线的传递性可判断C选项;直接判断线线位置关系,可判断D选项.【详解】对于A选项,由公理2可知,若,,,,则,A对;对于B选项,由公理3可知,若,,,则,B对;对于C选项,由空间中平行线的传递性可知,若,,则,C对;对于D选项,若,,则与平行、相交或异面,D错.故选:D.5、B【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得,结合三解形面积公式即可求解【详解】由与是椭圆上一点,∴,两边平方可得,即,由于,,∴根据余弦定理可得,综上可解得,∴的面积等于,故选:B6、A【解析】根据椭圆的定义,即可得答案.【详解】由题意可得,根据椭圆定义可得,P点的轨迹为椭圆,故选:A7、C【解析】根据图像或解析式即可判断对称性①②;估算第一象限内图像面积即可判断③.【详解】①将点(-x,-y)代入后依然为,故曲线C关于原点对称;②将点(y,x)代入后依然为,故曲线C关于y=x对称;③曲线C在四个象限的图像是完全相同的,不妨只研究第一象限的部分,∵,∴曲线C上离原点最远的点的距离为显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积,又∵,∴第一象限内曲线C的面积小于,则曲线C的总面积小于4π.故③错误.故选:C.8、A【解析】由题,可得是定义在上的偶函数,且在上单调递减,在上单调递增,根据函数的单调性,即可判断出的大小关系.【详解】设,由题,得,即,所以函数在上单调递减,因为是定义在R上的奇函数,所以是定义在上的偶函数,因此,,,即.故选:A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题,其中涉及到构造函数的运用.9、B【解析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】,答案为B【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,属于简单题.10、C【解析】根据通项公式及求出,从而求出前8项和.【详解】当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,则数列的前8项和为.故选:C11、C【解析】设,求导分析的单调性,又,,,即可得出答案【详解】解:设,则,又因为,所以,所以在上单调递增,又,,,因为,所以,所以.故选:C12、D【解析】利用二项分布概率计算公式,计算出正确选项.【详解】∵随机变量X服从二项分布X~B(4,),∴.故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、##【解析】根据数列的递推公式,发现规律,即数列为周期数列,然后求出即可【详解】根据题意可得:,,,故数列为周期数列可得:故答案为:14、①.②.【解析】设等差数列公差为d,根据等差数列的性质即可求通项公式;,采用裂项相消的方法求.【详解】设等差数列公差为d,,,;∵,∴.故答案为:;.15、【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出,即可求出,即得到M的横坐标为,代入椭圆C:求出.【详解】椭圆C:,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MA⊥x轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C:上一点且在第一象限,所以,解得:所以M的坐标为.故答案为:16、9【解析】根据椭圆的定义可得,结合基本不等式即可求得的最大值.【详解】∵在椭圆上∴∴根据基本不等式可得,即,当且仅当时取等号.故答案为:9.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2);(3).【解析】(1)根据给定条件求出椭圆长半轴长a即可计算得解.(2)将代入椭圆的方程,再结合给定条件求出k值即可计算出AB的长.(3)设出直线PR的方程,再与椭圆的方程联立求出点P坐标,同理可得点Q坐标,计算PQ的斜率即可作答.【小问1详解】依题意,椭圆的半焦距c=1,而,解得,则,所以椭圆的方程是:.【小问2详解】由消去y并整理得:,解得,,于是得线段AB的中点,直线OM斜率为,解得,因此,,所以线段AB的长为.【小问3详解】由(1)知,点,依题意,设直线PR的斜率为,直线PR方程为:,由消去y并整理得,,设点,则有,显然直线QR的斜率为-t,设点,同理有,于是得直线PQ的斜率,所以直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.【点睛】方法点睛:求椭圆的标准方程有两种方法:①定义法:根据椭圆的定义,确定,的值,结合焦点位置可写出椭圆方程②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.18、(1);(2)【解析】(1)由等差数列以及等比中项的公式代入联立求解出,再利用等差数列的通项公式即可求得答案;(2)利用分组求和法,根据求和公式分别求出等差数列与等比数列的前项和再相加即可.【详解】(1)由题意,,,即,联立解得,所以数列的通项公式为;(2)由(1)得,,所以【点睛】关于数列前项和的求和方法:分组求和法:两个数列等差或者等比数列相加时利用分组求和法计算;裂项相加法:数列的通项公式为分式时可考虑裂项相消法求和;错位相减法:等差乘以等比数列的情况利用错位相减法求和.19、(1)证明见解析(2)【解析】(1)通过构造平行四边形,在平面中找到即可证明(2)建立直角坐标系,通过两个面的法向量夹角的余弦值求出面面夹角的余弦值【小问1详解】证明:设为的中点,连接,,因为,分别为,的中点.所以且,又,为的中点,所以,且,所以四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面;【小问2详解】取的中点,连接,,则,∵平面平面,平面平面,∴平面,∵是等边三角形,为中点,∴,分别以,,所在直线为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,,.设为平面的一个法向量,则有即取可取,设为平面的一个法向量,则有即可取,所以,设平面与平面的夹角为,则,∴,即平面与平面夹角的余弦值为.20、(1);(2).【解析】(1)由两条双曲线有共同渐近线,可令双曲线方程为,求出即可得双曲线的方程;(2)根据已知有直线为,由其与双曲线的位置关系,结合弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求的面积.【详解】(1)设所求双曲线方程为,代入点得:,即,∴双曲线方程为,即.(2)由(1)知:,即直线方程为.设,联立得,满足且,,由弦长公式得,点到直线的距离.所以【点睛】本题考查了双曲线,根据双曲线共渐近线求双曲线方程,由直线与双曲线的相交位置关系求原点与交点构成三角形的面积,综合应用了弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式,属于基础题.21、(1);(2)存在点,使得为定值.【解析】(1)设,,,结合条件即求;(2)由题可设直线方程,利用韦达定理法可得,再结合条件可得点的轨迹方程为,然后利用椭圆的定义即得结论.【小问1详解】设,,,椭圆方程为:,椭圆过点,,解得t=1,所以椭圆F的方程是【小问2详解】由题可得焦点的坐标分别为,当直线AB或CD的斜率不存在时,点M的坐标为或,当直线AB和CD的斜率都存在时,设斜率分别为,点,直线AB为,联立,得则,,同理可得,,因为,所以,化简得由题意,知,所以设点,则,所以,化简得,当直线或的斜率不存在时,点M的坐标为或,也满足此方程所以点在椭圆上,根据椭圆定义可知,存在定点,使得为定值【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程,再结合椭圆的定义,从而问题得到解决.22、(1)a=;f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)证明见解析.【解析】分析:(1)先确定函数的定义域,对函数求导,利用f′(2)=0,求得a=,从而确定出函数的解析式,之后观察导函数的解析式,结合极值点的位置,从而得到函数的增区间和减区间;(2)结合指数函数的值域,可以确定当a≥时,f(x)≥,之后构造新函数g(x)=,利用导数研究函数的单调性,从而求得g(x)≥g(1)=0,利用不等式的传递性,证得结果.详解:(1)f(x)的定义域为,f′(x)=aex–由题设知,f′(2)=0,所以a=从而f(x)=,f′(x)=当0<x<2时,f′(x)<0;
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